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第4课时分式分式的概念定义形如𝐴𝐵(A,B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式有意义的条件分母不为①值为0的条件分子为0,但②不为00分母考点一分式的概念考点聚焦考点二分式的基本性质及相关概念分式的基本性质𝐴𝐵=𝐴×(③)𝐵×𝑀,𝐴𝐵=𝐴÷(④)𝐵÷𝑀(其中A,B,M是整式,B≠0,M≠0)分式的约分根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式,叫做分式的约分应用注意:约分的最终目标是将分式化为最简分式,即分式的分子和分母没有公因式MM分式的通分根据分式的基本性质,把几个异分母的分式变形成同分母的分式,叫做分式的通分应用注意:通分的关键是确定几个分式的公分母最简分式分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简公分母几个分式中各分母系数(都是整数)的最小公倍数与各分母的所有因式的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母(续表)分式的加减同分母分式相加减𝑎𝑐±𝑏𝑐=⑤异分母分式相加减𝑎𝑏±𝑐𝑑=⑥±⑦=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑分式的乘除乘法法则𝑎𝑏·𝑐𝑑=⑧除法法则𝑎𝑏÷𝑐𝑑=𝑎𝑏·⑨=𝑎𝑑𝑏𝑐(b≠0,c≠0,d≠0)分式的乘方𝑎𝑏𝑛=⑩(n为整数)考点三分式的运算𝒂±𝒃𝒄𝒂𝒅𝒃𝒅𝒃𝒄𝒃𝒅𝒂𝒄𝒃𝒅𝒅𝒄𝑎𝑛𝑏𝑛题组一必会题对点演练1.若分式𝑥-3𝑥+3的值为0,则x的值是()A.3B.-3C.3或-3D.0A2.若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是()A.2+𝑥𝑥-𝑦B.2𝑦𝑥2C.2𝑦33𝑥2D.2𝑦2(𝑥-𝑦)2D3.已知1𝑥−1𝑦=3,则代数式2𝑥+3𝑥𝑦-2𝑦𝑥-𝑥𝑦-𝑦的值是()A.-72B.-112C.92D.34[答案]D[解析]∵1𝑥−1𝑦=3,∴y-x=3xy,∴x-y=-3xy,∴原式=2(𝑥-𝑦)+3𝑥𝑦(𝑥-𝑦)-𝑥𝑦=-6𝑥𝑦+3𝑥𝑦-3𝑥𝑦-𝑥𝑦=-3𝑥𝑦-4𝑥𝑦=34,故选D.4.[2019·泰州]若分式12𝑥-1有意义,则x的取值范围是.x≠𝟏𝟐5.(1)化简:𝑎𝑎-𝑏−𝑏𝑎-𝑏=.(2)约分:6𝑎2𝑏2𝑎𝑏=.[答案]1[解析]𝑎𝑎-𝑏−𝑏𝑎-𝑏=𝑎-𝑏𝑎-𝑏=1.3a题组二易错题6.[2019·贵港]若分式𝑥2-1𝑥+1的值等于0,则x的值为()A.±1B.0C.-1D.1【失分点】忽视分式的分母不等于0的隐含条件;分式运算出现运算顺序的错误或者结果忽视约分;分式化简求值时要考虑整个算式有意义,分母不为0.D7.下面计算过程中,从哪一步开始出现错误()A.①B.②C.③D.④B图4-18.先化简:𝑎2+1𝑎+1-𝑎÷𝑎2-2𝑎+1𝑎+1,再从-1,0,1中选取一个数并代入求值.解:原式=𝑎2+1-𝑎2-𝑎𝑎+1×𝑎+1(𝑎-1)2=-𝑎-1𝑎+1×𝑎+1(𝑎-1)2=-1𝑎-1,其中a≠1,且a≠-1,所以取a=0,原式=1.例1求当x取何值时,分式𝑥-22𝑥+4:(1)有意义;(2)无意义;(3)值为0.考向一分式的有关概念解:(1)2x+4≠0,即x≠-2时分式有意义.(2)2x+4=0,即x=-2时分式无意义.(3)𝑥-2=0,2𝑥+4≠0,解得x=2,即x=2时分式值为0.【方法点析】(1)分式有意义的条件:分母不为零.(2)分式的值为零的条件:分式的分子为零,分母不为零.|考向精练|1.[2018·镇江]若分式5𝑥-3有意义,则实数x的取值范围是.x≠32.[2019·贵阳]若分式𝑥2-2𝑥𝑥的值为0,则x的值是.2例2分式22-𝑥可变形为()A.22+𝑥B.-22+𝑥C.2𝑥-2D.-2𝑥-2考向二分式的基本性质的运用D【方法点析】(1)在应用分式的基本性质进行变形时,要注意“都”“同一个”“不等于0”这些字词的意义,否则容易出现错误;(2)在进行通分和约分时,如果分式的分子或分母是多项式,先要将这些多项式进行因式分解;(3)分式的加减运算过程中,注意与解分式方程区别开来,不能“去分母”.|考向精练|1.下列式子:(1)𝑏-𝑎𝑐-𝑎=𝑎-𝑏𝑎-𝑐;(2)𝑚-𝑛𝑚2-𝑛2=1𝑚-𝑛;(3)|𝑥-𝑦|𝑦-𝑥=-1;(4)-𝑎+𝑏-𝑎-𝑏=𝑎-𝑏𝑎+𝑏,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.化简𝑥2-𝑦2(𝑦-𝑥)2的结果是.[答案]B[解析](1)(4)正确.[答案]𝑥+𝑦𝑥-𝑦[解析]𝑥2-𝑦2(𝑦-𝑥)2=(𝑥-𝑦)(𝑥+𝑦)(𝑥-𝑦)2=𝑥+𝑦𝑥-𝑦.例3先化简,再求值:𝑎𝑎+1÷a-1-2𝑎-1𝑎+1,并从-1,0,1,2四个数中,选一个合适的数代入求值.考向三分式的化简与求值解:原式=𝑎𝑎+1÷𝑎2-1𝑎+1−2𝑎-1𝑎+1=𝑎𝑎+1÷𝑎2-2𝑎𝑎+1=𝑎𝑎+1·𝑎+1𝑎(𝑎-2)=1𝑎-2.由题意可知a+1≠0,a≠0,a-2≠0,所以a≠-1,a≠0,a≠2,当a=1时,原式=-1.【方法点析】分式化简求值的一般方法(1)先化简,在分式的混合运算中,应先算乘方,再算乘除,进行约分,最后进行加减运算.遇到有括号的,先算括号里面的.(2)后求值;①如果字母的值已知,代入化简后的代数式计算;②如果字母表示的数未明确告知,而是隐藏在方程、不等式等题设条件中,解答时,一方面从中求出未知数或未知代数式的值,另一方面把所求代数式化简;有时需要整体代入求值;③自己选取一个值代入计算求值时,选取字母的值必须要保证原式有意义.|考向精练|1.[2018·南京]计算:𝑚+2-5𝑚-2÷𝑚-32𝑚-4.解:𝑚+2-5𝑚-2÷𝑚-32𝑚-4=(𝑚+2)(𝑚-2)-5𝑚-2·2𝑚-4𝑚-3=𝑚2-9𝑚-2·2(𝑚-2)𝑚-3=(𝑚-3)(𝑚+3)𝑚-2·2(𝑚-2)𝑚-3=2m+6.2.[2019·淮安]先化简,再求值:𝑎2-4𝑎÷1-2𝑎,其中a=5.解:𝑎2-4𝑎÷1-2𝑎=𝑎2-4𝑎÷𝑎𝑎−2𝑎=(𝑎+2)(𝑎-2)𝑎·𝑎𝑎-2=a+2,当a=5时,原式=5+2=7.考向四分式的创新应用例4[2018·安徽]观察以下等式:第1个等式:11+02+11×02=1,第2个等式:12+13+12×13=1,第3个等式:13+24+13×24=1,第4个等式:14+35+14×35=1,第5个等式:15+46+15×46=1,……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.解:(1)16+57+16×57=1.(2)1𝑛+𝑛-1𝑛+1+1𝑛×𝑛-1𝑛+1=1.证明如下:∵左边=1𝑛+𝑛-1𝑛+1+1𝑛×𝑛-1𝑛+1=𝑛+1+𝑛(𝑛-1)+𝑛-1𝑛(𝑛+1)=1,右边=1,∴左边=右边,∴原等式成立.1.[2019·十堰]一列数按某种规律排列如下:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,若第n个数为57,则n=()A.50B.60C.62D.71[答案]B[解析]11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,可写为:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,∴以111开头的一组数有11个,分别为111,210,39,48,57,66,75,84,93,102,111,∵第n个数为57,∴n=1+2+3+4+…+10+5=60.故选B.|考向精练|2.[2019·铜仁]按一定规律排列的一列数依次为:-𝑎22,𝑎55,-𝑎810,𝑎1117,…(a≠0),按此规律排列下去,这列数中的第n个数是.(n为正整数)[答案](-1)n·𝑎3𝑛-1𝑛2+1[解析]第1个数为(-1)1·𝑎3×1-112+1,第2个数为(-1)2·𝑎2×3-122+1,第3个数为(-1)3·𝑎3×3-132+1,第4个数为(-1)4·𝑎3×4-142+1,…,所以这列数中的第n个数是(-1)n·𝑎3𝑛-1𝑛2+1.