搜索
第3课时整式及因式分解名称识别次数系数与项整式单项式(1)数与字母或字母与字母相乘组成的代数式;(2)单独一个数或一个字母所有字母的指数的和系数:单项式中的数字因数多项式几个单项式的和或差次数最高的项的次数项:多项式中的每个单项式考点一整式的相关概念考点聚焦考点二同类项、合并同类项的概念或法则名称概念或法则同类项所含字母①,并且相同字母的指数也②的项叫做同类项.几个常数项也是同类项合并同类项根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项合并同类项的法则同类项的系数③,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变相同相同相加类别法则整式的加减整式的加减实质就是合并同类项.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=④(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑤(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑥(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑦(a≠0,m,n都是整数)考点三整式的运算am+namnanbnam-n类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、相同字母的幂分别⑧,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加,如m(a+b+c)=⑨多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.如(m+n)(a+b)=⑩乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=⑪完全平方公式(a±b)2=⑫常用恒等变换(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab(续表)相乘ma+mb+mcma+mb+na+nba2-b2a2±2ab+b2考点四因式分解1.因式分解的概念及法则积名称概念或法则因式分解把一个多项式写成几个整式的⑬的形式,叫做多项式的因式分解公因式一个多项式各项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式提取公因式法ma+mb+mc=⑭运用公式法a2-b2=⑮a2+2ab+b2=⑯a2-2ab+b2=⑰m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a+b)2(a-b)22.因式分解的一般步骤图3-11.[2019·贵港]下列运算正确的是()A.a3+(-a)3=-a6B.(a+b)2=a2+b2C.2a2·a=2a3D.(ab2)3=a3b52.[2018·宿迁]分解因式:x2y-y=.3.某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是元.(用含字母a的代数式表示)4.计算(x-1)(x+1)的结果是.题组一必会题对点演练Cy(x+1)(x-1)0.8ax2-15.[七下P90复习题第9题改编]已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.那么:(1)ab=;(2)a2+b2=.[答案](1)1(2)5[解析](1)由(a+b)2=7,(a-b)2=3,得a2+2ab+b2=7,①a2-2ab+b2=3.②①-②,得4ab=4,所以ab=1.(2)把ab=1代入①,得a2+2×1+b2=7,所以a2+b2=5.题组二易错题【失分点】对同类项等概念理解不清;把同底数幂的乘法和整式的加减混淆;平方差公式与完全平方公式混淆;因式分解时出现符号错误.6.下列结论正确的是()A.xyz的系数为0B.3x2-x+1中一次项系数为-1C.a2b3c的次数为5D.a2-33是一个三次二项式B7.下列选项中的两项不是同类项的是()A.a3与b3B.-2与3C.a3b与ba3D.-a2b2与0.2a2b28.下列去括号正确的是()A.a+(b-c)=a+b+cB.a-(b-c)=a-b-cC.a-(b-c)=a-b+cD.a+(b-c)=a-b+c9.[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)2ACD10.某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)=a2+2ab-a2-b2(第二步)=2ab-b2.(第三步)(1)该同学解答过程从第步开始出错,错误原因是;(2)此题正确的结果为.二去括号时没有变号2ab+b2例1[2019·毕节]如果3ab2m-1与9abm+1是同类项,那么m等于()A.2B.1C.-1D.0考向一同类项A【方法点析】同类项需满足以下两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指数分别相同.[2019·株洲]下列各式中,与3x2y3是同类项的是()A.2x5B.3x3y2C.-12x2y3D.-13y5|考向精练|C例2判断正误:(1)a2+a4=a6;()(2)a2·a3=a6;()(3)(a3)3=a6;()(4)a5÷a2=a3;()(5)(3a2)3=9a6;()(6)(a+b)(a-b)=a2-b2;()(7)(a-b)2=a2-b2;()(8)(a+b)2=a2+b2;()(9)-2x(x-y)=-2x2-2xy;()(10)(x+1)(3x-2)=3x2-x+2.()考向二整式的运算×××√×√××××【方法点析】套用整式运算法则时“张冠李戴”,如:①合并同类项时相同字母的指数相加,②同底数幂相乘时指数相乘,③受积的乘方公式影响,认为(a+b)2=a2+b2正确.|考向精练|A1.[2018·巴中]下列运算正确的是()A.3a2-2a2=a2B.-(2a)2=-2a2C.(a+b)2=a2+b2D.-2(a-1)=-2a+1[答案]B[解析]a6·a=a7,(a2)3=a6,a3+a3=2a3,a6÷a=a5.2.[2017·扬州]下列算式的运算结果为a6的是()A.a6·aB.(a2)3C.a3+a3D.a6÷a解:原式=a2+6a+9-(a2-1)-4a-8=2a+2.当a=-12时,原式=2×-12+2=1.例3[2019·凉山州]先化简,再求值:(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-12.|考向精练|已知ab=3,a+b=5,则a3b+2a2b2+ab3的值为.[答案]75[解析]∵a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.又∵ab=3,a+b=5,∴原式=3×52=75.例4[2019·宿迁]分解因式:a2-2a=.考向三因式分解微专题a(a-2)角度1提公因式法例5[2019·淮安]因式分解:1-x2=.角度2公式法(1-x)(1+x)例6[2019·扬州]分解因式:a3b-9ab=.角度3综合法ab(a+3)(a-3)【方法点析】(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式,再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解.(2)提公因式后,若括号内合并的项有公因式应再次提取;注意符号的变换,如y-x=-(x-y),(y-x)2=(x-y)2.(3)应用公式法分解因式时,要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点.(4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止.|考向精练|1.[2019·泸州]把2a2-8分解因式,结果正确的是()A.2(a2-4)B.2(a-2)2C.2(a+2)(a-2)D.2(a+2)22.[2019·苏州]因式分解:x2-xy=.[答案]C[解析]原式=2(a2-4)=2(a+2)(a-2),故选C.x(x-y)[答案](a+b)2[解析](a-b)2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2.3.[2019·南京]分解因式(a-b)2+4ab的结果是.例7[2017·衢州]如图3-2,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是.考向四因式分解的应用图3-2[答案]a+6[解析]根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理.拼成的长方形的面积=(a+3)2-32=(a+3+3)(a+3-3)=a(a+6),∵拼成的长方形一边长为a,∴另一边长是a+6.【方法点析】(1)分解因式应用于求值时,主要思路是先分解因式再代入求值,这个过程常需要运用整体代入;(2)分解因式应用于解决几何问题时,根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决问题的关键.|考向精练|[答案]-15[解析]x2-4y2=(x-2y)(x+2y)=5×(-3)=-15.[答案]-12[解析]∵a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-3×22=-12.1.[2018·宁波]已知x,y满足方程组𝑥-2𝑦=5,𝑥+2𝑦=-3,则x2-4y2的值为.2.[2018·菏泽]若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.例8如图3-3,根据图形计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪个等式成立()A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.a(a-b)=a2-ab考向五乘法公式的几何背景图3-3[答案]B[解析]从整体计算正方形ABCD的面积:(a+b)2,从局部计算正方形ABCD的面积:a2+ab+ab+b2,∴(a+b)2=a2+2ab+b2.故选B.|考向精练|[答案]a2-b2=(a+b)(a-b)[解析]从整体计算图中阴影部分的面积是:a2-b2,从局部计算阴影部分的面积为:a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b),∴a2-b2=(a+b)(a-b).故答案为:a2-b2=(a+b)(a-b).[2019·北京平谷区一模]如图3-4,从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b(ab)的正方形,剩余(阴影)部分正好能够表示一个乘法公式,则这个乘法公式是(用含a,b的等式表示).图3-4例9[2019·安顺]将从1开始的自然数按如图3-5规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是.考向六用代数式表示规律图3-5[答案]2019[解析]观察图表可知:第n行的第一列数是n2,∴第45行第一列数是2025,∴第45行、第7列的数是2025-6=2019.故答案为2019.|考向精练|[2019·武汉]观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2,…,已知按一定规律排列的一组数:250,251,252,…,299,2100.若250=a,则用含a的式子表示这组数的和是()A.2a2-2aB.2a2-2a-2C.2a2-aD.2a2+a[答案]C[解析]∵2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2,∴250+251+252+…+299+2100=(2+22+23+…+2100)-(2+22+23+…+249)=(2101-2)-(250-2)=2101-250,∵250=a,∴2101=(250)2·2=2a2,∴原式=2a2-a.故选C.