搜索
第2课时数的开方与二次根式2.立方根:实数a的立方根为𝑎3(a为任意实数),立方根只有一个,符号与被开方数③,立方根等于本身的数为±1,0.1.平方根、算术平方根:实数a(a≥0)的平方根为±𝑎,其中𝑎为a的算术平方根,正数的平方根有两个,互为①,算术平方根只有一个且为②,0的平方根是0.相反数正数相同考点一数的开方考点聚焦3.最简二次根式必须同时满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如:5,𝑥2+1是最简二次根式,而8,12,2𝑎2都不是最简二次根式.2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④.1.二次根式:形如𝑎(a≥0)的式子叫做二次根式.考点二二次根式的相关概念和性质04.同类二次根式:经过化简后,被开方数相同的二次根式.5.二次根式的性质(1)(𝑎)2=⑤(a≥0),(2)𝑎2=|a|=⑥(𝑎≥0),⑦(𝑎0).(3)𝑎·𝑏=𝑎·𝑏(a⑧0,b⑨0).(4)𝑎𝑏=𝑎𝑏(a⑩0,b0).aa-a≥≥≥4.把分母中的根号化去的方法(1)1𝑎=𝑎𝑎·𝑎=𝑎𝑎;(2)1𝑎-𝑏=𝑎+𝑏(𝑎-𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑏𝑎-𝑏.2.乘除运算:𝑎·𝑏=𝑎𝑏(a0,b0);𝑎𝑏=𝑎𝑏(a0,b0).1.加减运算:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.考点三二次根式的运算≥≥≥3.混合运算:与实数的运算顺序相同.运算结果必须为最简二次根式.考点四二次根式的估算2.找出与𝑏平方后所得数相邻的两个完全平方数,如4和9,并开方,如4=2,9=3;3.确定根式的值在开方后所得的两个相邻整数之间,如253;1.先把二次根式化为a±𝑏(a为整数,b0)的形式(以1+5为例);4.(1)若求a±𝑏的值在哪两个整数之间,则同时给不等号两边加上整数部分a,如35+14;(2)若确定离哪个整数较近,则再求这两个整数的平均数,如2+32=2.5,最后用平方法比较根式和平均数的大小.若根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近;若根式的平方小于平均数的平方,则离较小的整数近,如2.52=6.255,则5离2较近,1+5离3较近.考点五非负数1.概念:正数和零叫做非负数.常见的非负数有|a|,a2,(a≥0).2.性质若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.如:若a2+|b|+=0,则a2=0,|b|=0,=0,可得a=b=c=0.题组一必会题对点演练1.[八下P148例1(1)改编]若代数式𝑥-5在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥-5B.x-5C.x≥5D.x≤5C2.[八上P96例2(3)改编]7的算术平方根是()A.7B.49C.±49D.±7AD3.下列二次根式中,最简二次根式是()A.3𝑎2B.13C.27D.154.[八上P100习题第2题改编]计算--183=.𝟏𝟐5.计算(6+3)(6−3)的结果等于.6.如果|a+2|+𝑏-1+(c-3)2=0,那么a+b+c=.32题组二易错题7.[2019·通辽]16的平方根是()A.±4B.4C.±2D.2【失分点】求二次根式有意义的条件容易忽视取等号:注意(𝑎)2与𝑎2的区别.[答案]C[解析]16=4,±4=±2.故选C.10.[2019·甘肃]使得式子𝑥4-𝑥有意义的x的取值范围是.8.计算:(π-5)2=.5-πx≥-19.[2019·徐州]𝑥+1有意义的x的取值范围是.x4例1(1)[2019·桂林]9的平方根是()A.3B.±3C.-3D.9(2)[2018·泰州]8的立方根等于.(3)4的算术平方根等于.考向一求平方根、算术平方根与立方根B2𝟐|考向精练|1.[2019·济宁]下列计算正确的是()A.(-3)2=-3B.-53=53C.36=±6D.-0.36=-0.6D2.若𝑛是有理数,则n的值可以是()A.-1B.2.5C.8D.9D3.[2019·镇江]27的立方根为.3例2[2016·南京]若式子𝑥-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是.考向二二次根式的有关概念x≥1【方法点析】此类有意义的条件问题主要是根据二次根式的被开方数大于或等于零以及分式的分母不为零等列不等式(组),转化为求不等式(组)的解集.|考向精练|1.[2019·黄石]若式子𝑥-1𝑥-2在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥1且x≠2B.x≤1C.x1且x≠2D.x1A3.若式子𝑥-1在实数范围内无意义,则x的取值范围是.x1B2.[2018·绵阳]等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为()图2-1例3下列根式中,不是最简二次根式的是()A.10B.8C.6D.2[答案]B[解析]因为8=2×22=22,因此8不是最简二次根式.故选B.|考向精练|[2017·贵港]下列二次根式中,最简二次根式是()A.-2B.12C.15D.𝑎2A例4下列根式中,与3是同类二次根式的是()A.24B.12C.32D.18[答案]B[解析]24=26,12=23,32=62,18=32,所以12与3是同类二次根式.|考向精练|[2018·烟台]12与最简二次根式5𝑎+1是同类二次根式,则a=.[答案]2[解析]∵12=23与最简二次根式5𝑎+1是同类二次根式,∴a+1=3,∴a=2.考向三二次根式的运算例5[2019·聊城]下列各式不成立的是()A.18−89=732B.2+23=223C.8+182=4+9=5D.13+2=3−2[答案]C[解析]A.18−89=32−223=732,A正确;B.2+23=83=223,B正确;C.8+182=22+322=522,C错误;D.13+2=3-2(3+2)(3-2)=3−2,D正确.故选C.1.[2019·常德]下列运算正确的是()A.3+4=7B.12=32C.(-2)2=-2D.146=213[答案]D[答案]0[解析]3+4=3+2,A选项错误;12=23,B选项错误;(-2)2=4=2,C选项错误;146=73=213,D选项正确.2.[2019·南京]计算:147−28的结果是.|考向精练|[解析]原式=27-27=0.3.[2016·泰州]计算:1212−313+2.解:原式=1-3+3-(-2)=1+2=3.解:1212-313+2=3-(3+2)=3−3−2=-2.4.[2019·镇江模拟]计算:12×3-(π-3.14)0+2-2.解:原式=36-1+122=6-1+14=514.5.[2019·泰州一模]计算:tan45°-13-1+(-3)2−-83.考向四二次根式的估值例6(1)[2019·南京]下列整数中,与10-13最接近的是()A.4B.5C.6D.7(2)[2015·常州]已知a=22,b=33,c=55,则下列大小关系正确的是()A.abcB.cbaC.bacD.acb[答案]C[答案]A[解析]∵91316,∴3134,∵3.52=12.2513,∴3.5134,∴与13最接近的是4,∴与10-13最接近的是6,故选C.[解析]∵a=22=326=186,b=33=236=126,∴ab.∵b=33=5315=7515,c=55=3515=4515,∴bc,∴abc.【方法点析】比较两个二次根式大小的方法有很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外的数移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内;(2)根号外的正数要平方后才能从根号外移到根号内.1.[2019·陇南]下列整数中,与10最接近的整数是()A.3B.4C.5D.6[答案]A[答案]C[解析]∵91016,∴3104,∵3.52=12.2510,∴3103.5,∴与10最接近的整数是3,故选A.2.[2018·重庆B卷]估计56−24的值应在()A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间|考向精练|[解析]∵56−24=56-26=36=54,而7=495464=8,∴56−24的值在7和8之间,故选C.3.[2019·南京鼓楼区二模]若整数a满足103a20,则a的值为.[答案]3或4[解析]∵21033,4205,∴整数a=3或4.4.[2014·淮安]如图,M,N,P,Q是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示7的点是.P图2-2考向五非负性例7[2019·安顺]若实数a,b满足|a+1|+𝑏-2=0,则a+b=.[答案]1[解析]∵|a+1|+𝑏-2=0,∴𝑎+1=0,𝑏-2=0,解得𝑎=-1,𝑏=2,∴a+b=-1+2=1.1.[2016·泰州]实数a,b满足𝑎+1+4a2+4ab+b2=0,则ba的值为()A.2B.12C.-2D.-122.[2017·枣庄]实数a,b在数轴上对应的点的位置如图2-3所示,化简|a|+(𝑎-𝑏)2的结果是()A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b图2-3|考向精练|BA3.若y=𝑥-3+3-𝑥+2,则xy=.[答案]9[解析]因为y=𝑥-3+3-𝑥+2,所以x-3=0,故x=3,y=2,则xy=32=9.