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第1课时实数及其运算1.按定义分实数有理数整数分数:①小数或无限②小数无理数正无理数负无理数无限③小数有限循环不循环考点一实数的概念及分类考点聚焦2.按大小分(1)实数可分为正实数、0和负实数,0既不是正数,也不是负数.(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“-”.如规定向东为“+”,则向西为“-”;涉及温度时规定零上为“+”,则零下为“-”.【温馨提示】1.常见的4种无理数类型:(1)根号型:2,53等开方开不尽的数;(2)三角函数型:如sin60°,tan30°等;(3)构造型:如0.1010010001(每相邻两个1之间依次多一个0)等;(4)与π有关的数:如𝜋3,π-1等.判断一个数是不是无理数,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.2.判断实数的正负,一定要先化简,再根据定义判断,如-(-2)=2是正数;注意-a不一定是负数,要对a进行分类讨论.…1.数轴:规定了原点、④和⑤的直线.数轴上的点与实数一一对应.2.相反数:a的相反数是⑥,0的相反数是0.3.倒数:乘积是⑦的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.图1-1考点二实数的有关概念正方向单位长度-a14.绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|,离原点越远的数的绝对值越大.|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑧(𝑎0).-a1.定义:把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|10,n为整数.2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位:1亿=⑨,1万=⑩;1mm=10-3m,1nm=10-9m等.考点三科学记数法与近似数1081044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向⑪移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向⑫移动|n|位.5.近似数:一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.右左数轴比较法数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数⑬性质比较法(1)正数0负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而⑭;(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找差值比较法对于任意实数a,b:a-b0⇔⑮;a-b=0⇔⑯;a-b0⇔⑰考点四实数的大小比较大小aba=bab（续表）平方比较法a2b⇔a𝑏(a0,b≥0),𝑎𝑏⇔ab≥0(主要用于含有二次根式的无理数的大小比较或无理数的估算)求商比较法当b0时,𝑎𝑏1⇔ab,𝑎𝑏1⇔ab;当b≠0时,𝑎𝑏=1⇔a=b运算律交换律a+b=⑱,ab=⑲结合律(a+b)+c=⑳,(ab)c=㉑分配律a(b+c)=㉒几种常见的运算乘方an=a·a··a(n个a相乘)零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=㉓(a≠0)考点五实数的运算b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac在实数范围内,加、减、乘、除(除数不为零)、乘方运算都可以进行,但不一定能进行开方运算.1…（续表）几种常见的运算负整数次幂规定a-n=1𝑎𝑛(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=㉔(a≠0)-1的整数次幂(-1)n=㉕,𝑛为奇数;㉖,𝑛为偶数运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行㉗运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行-11括号内的𝟏𝒂【温馨提示】在进行负整数指数幂的运算时,防止出现以下错误:(1)3-2=-19;(2)2a-2=12𝑎2.题组一必会题对点演练[答案]D[解析]当原数的绝对值≥10时,n等于原数的整数位数减1.因为150000000的整数位数是9,所以n=8.所以150000000=1.5×108,故选D.1.[七上P53练习第1(3)题改编]地球与太阳的平均距离大约为150000000km,150000000用科学记数法表示为()A.1.5×106B.15×106C.15×107D.1.5×108[答案]C2.[八上P103练习改编]实数423,-93,0.6·,0.25,-1253,27,π3,-1649,0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)中,是无理数的有()A.2个B.3个C.4个D.5个[解析]-93,27是开方开不尽的数,𝜋3是含π的数,0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)是无限不循环小数,它们都是无理数.D3.给出四个实数5,2,0,-1,其中负数是()A.5B.2C.0D.-14.[七上P26练一练第1题改编]-23的相反数是,倒数是,绝对值是.𝟐𝟑𝟐𝟑-𝟑𝟐[答案]π5.[七上P19做一做改编]如图1-2,圆片的直径为1个单位长度,把圆片上的点A放在原点,然后把圆片沿数轴滚动1周,点A到达点A'的位置,则点A'表示的数是.图1-2[解析]AA'=直径为1的圆的周长=2π×12=π,则点A'表示的数为π-0=π.【失分点】误认为带根号的数都是无理数;数据带有单位时,将其转化为科学记数法表示时出错;对实数分类掌握不彻底;计算负整数指数幂过程中用错法则.题组二易错题6.下列实数中无理数是()A.1.21B.-83C.𝜋7D.227C7.[2019·苏州改编]苏州是全国重点旅游城市.2018年实现旅游总收入约为26000000万元,数据“26000000万”用科学记数法可表示为()A.0.26×108B.2.6×107C.26×1010D.2.6×1011D8.实数0是()A.有理数B.无理数C.正数D.负数A9.已知一个数的绝对值是4,则这个数是.±410.-12-2-|3-π|=.7-π例1下列实数sin30°,-78,0,2,-3.15,9,33中,无理数有()A.1个B.2个C.3个D.4个考向一实数的概念及分类B【方法点析】对无理数的判断,不能被表面形式迷惑,而应从最后结果去判断,如sin30°不是无理数.|考向精练|1.[2019·邵阳]下列各数中,属于无理数的是()A.13B.1.414C.2D.4C2.[2019·玉林]下列各数中,是有理数的是()A.πB.1.2C.2D.33B3.[2019·河北]规定:(→2)表示向右移动2,记作+2,则(←3)表示向左移动3,记作()A.+3B.-3C.-13D.+13B考向二与实数有关的概念例2[2019·宿迁模拟]关于字母a所表示的数,下列说法正确的是()A.a一定是正数B.a的相反数是-aC.a的倒数是1𝑎D.a的绝对值等于a[答案]B[解析]A.a也可能是0或负数,故本选项错误;B.a的相反数是-a,故本选项正确;C.a若是0,则没有倒数,故本选项错误;D.a是非负数时,a的绝对值是a,a是负数时,a的绝对值是-a,故本选项错误.故选B.|考向精练|1.[2019·淮安]-3的绝对值是()A.-13B.-3C.13D.3D2.[2019·眉山]下列四个数中,是负数的是()A.|-3|B.-(-3)C.(-3)2D.-3D3.[2019·南京]-2的相反数是;12的倒数是.22[答案]7[解析]由数轴可知AB=3-1=2,则BC=2AB=4,又C在B的右侧,故点C表示的数是7.4.[2017·福建]已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图1-3所示.若BC=2AB,则点C表示的数是.图1-3考向三科学记数法与近似数例3(1)[2019·徐州]如图1-4,数轴上有O,A,B三点,O为原点,OA,OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中,与点B表示的数最为接近的是()A.5×106B.107C.5×107D.108图1-4[答案]C[解析]本题考查了数轴的应用以及科学记数法,由于点A表示的数为2.5×106,靠近B的整数应该是2.5×106的20倍,于是与点B表示的数最接近的数约为2.5×106×20=5×107,故选C.例3(2)[2019·扬州一模]长度单位1纳米=10-9米,目前发现一种新型病毒直径为25100纳米,用科学记数法表示该病毒直径是米.(3)[2019·无锡模拟]用四舍五入法对437540取近似数,精确到千位为(用科学记数法表示).2.51×10-54.38×105【方法点析】小心带有计数单位的数(1)一个带有计数单位的数,精确的位数由计数单位和末位数字所在的位置共同确定,一般是把数还原成不用计数单位的数,再看末位数字落在哪一位.(2)有计量单位的科学记数法,先把计量单位转化为数字表示,再用科学记数法表示.|考向精练|DC1.[2019·淮安]同步卫星在赤道上空大约36000000米处.将36000000用科学记数法表示应为()A.36×106B.0.36×108C.3.6×106D.3.6×1072.[2019·徐州三模]徐州日报社记者从市铁路运输部门获悉,2019年4月5日至7日清明节小长假期间,徐州铁路运输部门累计发送旅客17.8万人次.17.8万用科学记数法表示为()A.17.8×105B.17.8×106C.1.78×105D.1.78×1063.[2019·镇江]氢原子的半径约为0.00000000005m,把0.00000000005用科学记数法表示为.4.[2019·贵港]将实数3.18×10-5用小数表示为.5×10-110.0000318考向四实数的大小比较例4(1)[2019·长沙]下列各数中,比-3小的数是()A.-5B.-1C.0D.1A例4(2)[2019·自贡]实数m,n在数轴上对应点的位置如图1-5所示,则下列判断正确的是()A.|m|1B.1-m1C.mn0D.m+10[答案]B[解析]由数轴可知,m-10,n10.∴|m|1,mn0,m+10,-m0,∴1-m1.∴选项A,C,D错误,故选B.图1-5【方法点析】(1)比较含有字母的代数式的大小,可在字母的取值范围内取特殊值,代入需比较的代数式,计算出结果再进行比较(一般在客观题中应用,主观题中可以用来验证判断结果的正确与否).(2)比较两个实数的大小,除了利用实数的性质外,还有数轴比较法、作差比较法、作商比较法、平方比较法、倒数比较法等.1.以下四个选项表示某天四个城市的平均气温,其中平均气温最低的是()A.-3℃B.15℃C.-10℃D.-1℃|考向精练|C[答案]A2.[2019·黄石]下列四个数:-3,-0.5,23,5中,绝对值最大的数是()A.-3B.-0.5C.23D.5[解析]∵|-3|=3,|-0.5|=0.5,23=23,|5|=5,且0.52353,∴绝对值最大的数是-3.故选A.3.数轴上实数b的对应点的位置如图1-6所示,比较大小:12b+10.图1-6[答案][答案]a-b[解析]∵-1b0,∴-bb,0b2-b,∴a-ba+b,a-ba+b2,又∵0a1,∴0a2a,∴a-ba2+b,综上可得,在代数式a-b,a+b,a+b2,a2+b中,最大的是a-b.[解析]∵32=9,(10)2=10,而910,∴310.4.[2018·陕西]比较大小:3.(填“”“”或“=”)5.[2018·徐州一模]已知-1b0,0a1,则代数式a-b,a+b,a+b2,a2+b中值最大的是.考向五实数的运算例5计算:-22+(π-2019)0-2sin60°+|1-3|.解:原式=-4+1-2×32+3-1=-4