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第15课时二次函数的综合应用考点一建立平面直角坐标系,运用数形结合思想考点聚焦建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题互相转化,充分运用三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,充分运用几何知识,求解析式是解题关键.考点二利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考查,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解.考点三综合多个知识点,运用等价转换思想许多数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注重不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用.题组一必会题对点演练1.如图15-1,等腰直角三角形ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG的边长均为2,且AC与DE在同一直线上,开始时点C与点D重合,让△ABC沿这条直线向右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是()图15-1图15-2[答案]A[解析]由题意知当C从D点运动到E点,即0≤x≤2时,y=12×(2-x+2)x=-12x2+2x.当A从D点运动到E点,即2x≤4时,y=12×[2-(x-2)]×[2-(x-2)]=12x2-4x+8,∴y与x之间的函数关系式为y=-12𝑥2+2𝑥(0≤𝑥≤2),12𝑥2-4𝑥+8(2𝑥≤4).由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.故选A.[答案]B2.如图15-3,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与直线y=2交于B,C两点,△ABC为正三角形.若A点坐标为(-3,0),则此抛物线与y轴的交点坐标为()A.0,92B.0,272C.(0,9)D.(0,19)[解析]作AD⊥BC于D,则AD=2,∵△ABC为正三角形,∴BD=CD=𝐴𝐷3=233,∴C-3+233,2.设抛物线解析式为y=a(x+3)2,将C点坐标代入,得a-3+233+32=2,∴a=32,∴y=32(x+3)2,当x=0时,y=272.故选B.图15-33.[2018·绵阳]图15-4是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加m.图15-4[答案](42-4)[解析]如图所示,建立平面直角坐标系,横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过抛物线顶点C,O为原点.则抛物线以y轴为对称轴,A(-2,0),B(2,0),C(0,2),通过以上条件可设抛物线解析式为y=ax2+2,代入A点坐标(-2,0),解得a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2,当水面下降2m时,水面的宽度即为直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离,把y=-2代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2,解得:x=±22,故水面此时的宽度为42m,比原先增加了(42-4)m.故答案为(42-4).题组二易错题【失分点】忽略实际问题中自变量取值范围的限制.4.某中学有一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状均如图15-5①所示.如图②,建立直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=-x2+3x+4.请问:若不计其他因素,水池的半径至少要米,才能使喷出的水流不至于落在池外.图15-5[答案]4[解析]在y=-x2+3x+4中,当y=0时,-x2+3x+4=0,∴x1=4,x2=-1,又∵x0,∴x=4,即水池的半径至少要4米,才能使喷出的水流不至于落在池外.考向一以坐标系为桥梁,运用数形结合思想例1[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线形,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-6所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?图15-6(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图15-6解:(1)∵抛物线的顶点为(3,5),∴设y=a(x-3)2+5,将(8,0)代入,得a=-15,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5,即y=-15x2+65x+165(0x8).例1[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线形,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-6所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?图15-6(2)当y=1.8时,1.8=-15(x-3)2+5,解得x1=7,x2=-1(舍去).答:王师傅必须站在离水池中心7米以内.例1[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线形,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-6所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图15-6(3)由y=-15x2+65x+165可得原抛物线与y轴的交点为0,165,在原平面直角坐标系内构建新抛物线.∵装饰物的高度不变,∴新抛物线也经过0,165,∵直径扩大到32米,∴新抛物线也过点(16,0),∵喷出水柱的形状不变,∴设新抛物线的表达式为y新=-15x2+bx+c(0x16),将0,165和(16,0)代入,得b=3,c=165,∴y新=-15x2+3x+165,即y新=-15x-1522+28920,当x=152时,𝑦新max=28920.答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米.|考向精练|1.如图15-7,一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN,高度为1.6米,支架部分的形状为开口向下的抛物线,其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米,距地面的高度为2.4米,灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米,则灯罩顶端D距地面的高度为米.图15-7[答案]1.95[解析]如图,以点B为原点,建立直角坐标系.根据题意,点A(0,1.6),点C(0.8,2.4),则设抛物线解析式为y=a(x-0.8)2+2.4.将点A的坐标代入上式,得1.6=a(0-0.8)2+2.4,解得a=-1.25.∴该抛物线的解析式为y=-1.25(x-0.8)2+2.4.∵点D的横坐标为1.4,∴y=-1.25×(1.4-0.8)2+2.4=1.95.故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米.2.[2019·温州一模]图15-8①是一款优雅且稳定的抛物线形落地灯,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.86米,最高点C距灯柱的水平距离为1.6米,灯柱AB及支架的相关数据如图②所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几中心到灯柱的距离AE为米.图15-8[答案]2.88[解析]在题图②所示平面内,以点A为坐标原点,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为y=a(x-1.6)2+2.5.把x=0,y=1.5代入上式,得1.5=a(0-1.6)2+2.5.解得a=-12.56.∴y=-12.56(x-1.6)2+2.5.∵DE的高为1.86米,∴令y=1.86,得-12.56(x-1.6)2+2.5=1.86.解得x=2.88或x=0.32(舍去).故答案为2.88.考向二解决图形运动问题,运用分类讨论思想例2[2019·天津]在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°,矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.(1)如图15-9①,求点E的坐标.(2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形C'O'D'E',点C,O,D,E的对应点分别为C',O',D',E',设OO'=t,矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为S.图15-9①如图15-9②,当矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分为五边形时,C'E',E'D'分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;②当≤S≤5时,求t的取值范围(直接写出结果即可).图15-9解:(1)由题意知OA=6,OD=2,∴AD=4,由矩形CODE得DE∥BO,∴∠AED=∠ABO=30°,∴DE=𝐴𝐷tan30°=43,∴点E的坐标为(2,43).例2[2019·天津]在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°,矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.(2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形C'O'D'E',点C,O,D,E的对应点分别为C',O',D',E',设OO'=t,矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为S.①如图15-9②,当矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分为五边形时,C'E',E'D'分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;图15-9(2)①由平移得,O'C'=D'E'=43,O'D'=C'E'=2,ME'=OO'=t,根据E'D'∥BO,得∠E'FM=∠OBA=30°,Rt△ME'F中,E'F=3t,S△ME'F=12ME'·FE'=12·t·3t=32t2,S矩形C'O'D'E'=C'O'·O'D'=43×2=83,∴S=S矩形C'O'D'E'-S△ME'F=-32t2+83,∵重叠部分是五边形,∴t的取值范围是0t2.例2[2019·天津]在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°,矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.(2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形C'O'D'E',点C,O,D,E的对应点分别为C',O',D',E',设OO'=t,矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为S.①如图15-9②,当矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分为五边形时,C'E',E'D'分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;②当≤S≤5时,求t的取值范围(直接写出结果即可).图15-9[解析]当S=3时,-32t2+83=3,此时t=142,∴重叠部分不是五边形.当S=53时,-32t2+83=53,此时t=62,∴重叠部分不是五边形.当2t4时,重叠部分是四边形,如图①所示,当4t6时,重叠部分是三角形,如图②所示.[答案]2.5≤t≤6-2当2t4时,S=12(MO'+FD')·O'D'=12[3(6-t)+3(4-t)]·2=3(10-2t),当4t6时,S=12O'A·O'M=12(6-t)·3(6-t)=32(6-t)2,∴当S=3时,3(10-2t)=3,此时t=4.5,不在2t