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第14课时二次函数的实际应用考点一二次函数的最值应用的一般方法考点聚焦(1)依据实际问题中的数量关系列出二次函数关系式,应用配方法得到顶点式;(2)依据实际问题,找出自变量的取值范围;(3)在自变量的取值范围内,根据二次函数的最值或增减性确定最大值或最小值.考点二建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的解析式,通过解析式解决一些测量问题或其他问题.题组一必会题对点演练1.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为()A.130元B.120元C.110元D.100元[答案]B[解析]设应涨价x元,则所获利润为:y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见涨价20元,即单价为100+20=120(元)时获利最大.故选B.[答案]5625[解析]设应降价x元,销售量为(20+x)个,根据题意得利润y=(100-x)(20+x)-70(20+x)=-x2+10x+600=-(x-5)2+625,故为了获得最大利润,则应降价5元,最大利润为625元.2.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1个,为了获得最大利润,则应降价元,最大利润为元.[答案]163.[九下P32习题第3题改编]用一条长为16m的篱笆围成面积为am2的长方形的生物园饲养小兔,a的最大值为.[解析]设所围成长方形的长为xm.根据题意,得a=x(8-x)=-x2+8x.∵-10,∴a有最大值.即当x=-82×(-1)=4时,a最大=-42+8×4=16.[答案]4[解析]把y=3.05代入y=-0.2x2+3.5中,得x1=1.5,x2=-1.5(舍去),∴l=1.5+2.5=4(m).故答案为4.4.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-0.2x2+3.5的一部分(如图14-1),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是m.图14-1题组二易错题【失分点】求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.5.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该蔬菜的单价定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.[答案]4.548[解析]设单价为x元,则每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20×𝑥-4.10.1=-200x+1020.设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-20,∴当x≤4.6时,W随x的增大而增大,∵物价局规定该蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2×(10×4.5-46)2+50=48(元).[答案]246.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-32t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.[解析]∵y=60t-32t2=-32(t-20)2+600,∴当t=20,滑行到最大距离600m时停止.当t=16时,y=576,所以最后4s滑行24m.考向一利用二次函数解决抛物线形问题例1[2018·滨州]如图14-2,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行的时间是多少?(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?图14-2解:(1)当y=15时,-5x2+20x=15,化简得x2-4x+3=0,故x=1或3,即飞行时间是1秒或者3秒.例1[2018·滨州]如图14-2,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?图14-2(2)飞出和落地的瞬间,高度都为0,即y=0.所以有0=-5x2+20x,解得x=0或4,所以从飞出到落地所用时间是4-0=4(秒).例1[2018·滨州]如图14-2,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?图14-2(3)当x=-𝑏2𝑎=-202×(-5)=2时,y=-5×22+20×2=20,故当x=2时,小球的飞行高度最大,最大高度为20米.|考向精练|[2019·山西]北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图14-3所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为()A.y=26675x2B.y=-26675x2C.y=131350x2D.y=-131350x2图14-3[答案]B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2,由题可知,点A的坐标为(-45,-78),代入表达式可得:-78=a×(-45)2,解得a=-26675,∴二次函数的表达式为y=-26675x2,故选B.考向二利用二次函数解决营销问题例2[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(1)请写出y与x之间的函数表达式.(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?解:(1)根据题意得y=-12x+50(0x≤20).例2[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(2)根据题意得(40+x)-12x+50=2250,解得:x1=50(舍去),x2=10,答:当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元.例2[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?(3)根据题意得w=(40+x)-12x+50=-12x2+30x+2000=-12(x-30)2+2450,∵a=-120,∴当x30时,w随x的增大而增大,∴当x=20时,w最大=2400,答:当x为20时w最大,最大值是2400元.|考向精练|1.[2019·通辽]当今,越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后,更加喜欢同名科幻小说,该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求,订购该科幻小说若干本,每本进价为20元.根据以往经验:当销售单价是25元时,每天的销售量是250本.销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10本,书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.(2)书店决定每销售1本该科幻小说,就捐赠a(0a≤6)元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元,求a的值.解:(1)根据题意,得y=250-10(x-25)=-10x+500(30≤x≤38).1.[2019·通辽]当今,越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后,更加喜欢同名科幻小说,该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求,订购该科幻小说若干本,每本进价为20元.根据以往经验:当销售单价是25元时,每天的销售量是250本.销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10本,书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.(2)书店决定每销售1本该科幻小说,就捐赠a(0a≤6)元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元,求a的值.(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w元.则w=(x-20-a)(-10x+500)=-10x2+(10a+700)x-500a-10000(30≤x≤38),对称轴为直线x=35+12a,∵0a≤6,∴3535+12a≤38,则当x=35+12a时,w取得最大值,∴35+12a-20-a-1035+12a+500=1960,∴a1=2,a2=58(不合题意,舍去),∴a=2.2.[2019·鄂尔多斯]某工厂制作A,B两种手工艺品,B每件获利比A多105元,获利30元的A与获利240元的B数量相等.(1)制作一件A和一件B分别获利多少元?(2)工厂安排65人制作A,B两种手工艺品,每人每天制作2件A或1件B,现在在不增加工人的情况下,增加制作C.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品),要求每天制作A,C两种手工艺品的数量相等.设每天安排x人制作B,y人制作A,写出y与x之间的函数关系式.(3)在(1)(2)的条件下,每天制作B不少于5件,当每天制作5件时,每件获利不变,若每增加1件,则当天平均每件获利减少2元,已知C每件获利30元,求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值.解:(1)设制作一件A获利a元,则制作一件B获利(105+a)元,由题意得:30𝑎=240𝑎+105,解得:a=15,经检验,a=15是原方程的根且符合题意,当a=15时,a+105=120,答:制作一件A获利15元,制作一件B获利120元.2.[2019·鄂尔多斯]某工厂制作A,B两种手工艺品,B每件获利比A多105元,获利30元的A与获利240元的B数量相等.(2)工厂安排65人制作A,B两种手工艺品,每人每天制作2件A或1件B,现在在不增加工人的情况下,增加制作C.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品),要求每天制作A,C两种手工艺品的数量相等.设每天安排x人制作B,y人制作A,写出y与x之间的函数关系式.(2)由每天安排x人制作B,y人制作A,则2y人制作C,于是有:y+x+2y=65,∴y=-13x+653.即y与x之间的函数关系式为y=-13x+653.2.[2019·鄂尔多斯]某工厂制作A,B两种手工艺品,B每件获利比A多105元,获利30元的A与获利240元的B数量相等.(3)在(1)(2)的条件下,每天制作B不少于5件,当