搜索
第13课时二次函数的图象与性质考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中x是自变量,y是x的函数.图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=①为对称轴的抛物线用描点法画抛物线y=ax2+bx+c的步骤(1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图考点二二次函数的图象及画法-𝒃𝟐𝒂函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象a0a0开口方向抛物线开口向②,并向上无限延伸抛物线开口向③,并向下无限延伸考点三二次函数的性质上下增减性在对称轴的左侧,即当④时,y随x的增大而⑤;在对称轴的右侧,即当⑥时,y随x的增大而⑦,简记左减右增在对称轴的左侧,即当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而⑧;在对称轴的右侧,即当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而⑨,简记左增右减最值抛物线有最低点,当x=-𝑏2𝑎时,y有最⑩值,y最小值=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎抛物线有最高点,当x=-𝑏2𝑎时,y有最⑪值,y最大值=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎(续表)减小增大增大x-𝒃𝟐𝒂x-𝒃𝟐𝒂减小小大对称轴直线x=-𝑏2𝑎顶点坐标-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎二次项系数a的特性|a|的大小决定抛物线的开口大小:|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即当x=0时,y=c(续表)考点四二次函数图象的平移抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示(假设h,k均为正数):图13-1【温馨提示】抛物线的平移需将抛物线对应的函数解析式化成顶点式,再遵循“上加下减,左加右减”的原则.一般式y=ax2+bx+c的平移,左右平移给自变量x加减平移单位,上下平移给等号右端整体加减平移单位.项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向⑫a0开口向⑬bb=0对称轴为⑭轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过⑮c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交考点五二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系上下y原点项目字母字母的符号图象的特征b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有两个不同交点b2-4ac0与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=-1时,y0(续表)考点六二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个⑯的实数根1个b2-4ac=0两个⑰的实数根没有b2-4ac0⑱实数根不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于⑲的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方题组一必会题对点演练C1.[九下P20习题第6(1)题改编]抛物线y=2（x+2）2+1的对称轴是()A.y轴B.直线x=2C.直线x=-2D.直线x=12.[九下P13练习第1题改编]抛物线y=-3x2,y=13x2,y=5x2,y=-34x2的共同性质是()A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大[答案]B[解析]4条抛物线的开口方向分别为向下、向上、向上、向下,故选项A错误;4条抛物线的对称轴都为y轴,故选项B正确;4条抛物线分别有最高点、最低点、最低点、最高点,故选项C错误;任意抛物线在对称轴两侧的增减性都是相反的,故选项D错误.故选B.3.若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3,则k=.-1[答案]x1=-2,x2=14.[2018·孝感]如图13-2,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的方程ax2=bx+c的解是.图13-2[解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴𝑦=𝑎𝑥2,𝑦=𝑏𝑥+𝑐的解为𝑥1=-2,𝑦1=4,𝑥2=1,𝑦2=1.则方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.[答案]x3或x5[解析]由函数图象可知,当x1或x3时,函数y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方,∴函数y=a(x-2)2+b(x-2)+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为3,5,∴不等式a(x-2)2+b(x-2)+c0的解集为x3或x5.故答案为:x3或x5.5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-3所示,则不等式a(x-2)2+b(x-2)+c0的解集为.图13-3题组二易错题【失分点】对二次函数的意义理解不透,忽略隐含条件;求最值时,易忽略抛物线顶点的特征.6.已知函数y=(m+1)𝑥𝑚2+1+3x,当m=时,它是二次函数.[答案]1[解析]∵函数y=(m+1)𝑥𝑚2+1+3x是二次函数,∴m2+1=2且m+1≠0,解得m=1.故答案是:1.[答案]160[解析]当-2≤x≤0时,y随x的增大而减小,此时有y最大=(-2)2=4,y最小=0;当0≤x≤4时,y随x的增大而增大,此时有y最大=42=16,y最小=0.综上所述,在-2≤x≤4这个范围内,函数有最大值16,最小值0.7.在-2≤x≤4这个范围内,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.[答案]C8.抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.3[解析]抛物线y=2x2-22x+1,令x=0,得到y=1,即抛物线与y轴交点坐标为(0,1);令y=0,得到2x2-22x+1=0,即(2x-1)2=0,解得x1=x2=22,即抛物线与x轴交点坐标为22,0,则抛物线与坐标轴的交点个数是2,故选C.9.已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,则m的取值范围是.[答案]m≤-59且m≠-6[解析]因为关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,所以4(m-1)2-4(m+6)(m+1)≥0,解得m≤-59,又因为该函数是关于x的二次函数,所以m+6≠0,所以m≠-6,所以m的取值范围是:m≤-59且m≠-6.考向一二次函数的图象与性质例1二次函数y=x2-ax+b的图象如图13-4所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是()A.a=4B.当b=-4时,顶点的坐标为(2,-8)C.当x=-1时,b-5D.当x3时,y随x的增大而增大图13-4[答案]C[解析]∵二次函数y=x2-ax+b,∴对称轴为直线x=--𝑎2=2,∴a=4,故A选项正确.当b=-4时,y=x2-4x-4=(x-2)2-8,∴顶点的坐标为(2,-8),故B选项正确.当x=-1时,由图象知此时y0,即1+4+b0,∴b-5,故C选项不正确.∵对称轴为直线x=2且图象开口向上,∴当x3时,y随x的增大而增大,故D选项正确.故选C.|考向精练|在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-12x2+3x.(1)直接写出它的开口方向,顶点坐标;(2)点(x1,y1),(x2,y2)均在此抛物线上,若x1x24,则y1y2(填“”“=”或“”);(3)已知抛物线与x轴的一个交点为O(0,0),设抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求S△OCD的值.解:(1)∵y=-12x2+3x=-12(x-3)2+92,∴该抛物线开口向下,顶点坐标为3,92.[答案]＜在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-12x2+3x.(2)点(x1,y1),(x2,y2)均在此抛物线上,若x1x24,则y1y2(填“”“=”或“”);[解析]∵x1x24,对称轴为直线x=3,a=-120,∴y1y2.故答案为:.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-12x2+3x.(3)已知抛物线与x轴的一个交点为O(0,0),设抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求S△OCD的值.(3)令y=0,得-12x2+3x=0,解得x1=0,x2=6,则C(6,0).又抛物线的顶点坐标为3,92,所以S△OCD=12×6×92=272.考向二二次函数的平移例2[2019·徐州]已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为O(0,0),将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线的函数表达式为.[答案]y=12x2-4x+8[解析]设过点O(0,0)的抛物线的解析式为y=ax2,把P(2,2)的坐标代入,有2=4a,∴a=12,∴抛物线的解析式为:y=12x2,设这个图象向右平移m个单位长度后的解析式为:y=12(x-m)2,代入(2,2),有2=12(2-m)2,解得m1=0(舍去),m2=4,∴所得的抛物线的函数表达式为:y=12(x-4)2=12x2-4x+8.|考向精练|如图13-5,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点(0,0),它的顶点为P,PQ∥y轴交抛物线y=12x2于点Q,则图中阴影部分的面积为.图13-5[答案]272[解析]过点P作PM⊥y轴于点M,∵抛物线平移后经过原点O和点A(-6,0),∴平移后的抛物线对称轴为直线x=-3,得出二次函数解析式为:y=12(x+3)2+h,将(-6,0)代入得:0=12×(-6+3)2+h,解得:h=-92,∴点P的坐标是-3,-92,根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,∴S阴影=|-3|×-92=272.故答案为:272.考向三二次函数的解析式的求法微专题角度1利用一般式求二次函数表达式例3[2018·湖州]已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.解:把点(－1,0),(3,0)的坐标分别代入y=ax2+bx-3,得0=𝑎-𝑏-3,0=9𝑎+3𝑏-3,解得𝑎=1,𝑏=-2,即a的值为1,b的值为-2.角度2利用顶点式求二次函数表达式例4已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A,B两点随图象移至A',B',求△OA'B'的面积.解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4,将(2,-5)代入得:a=-1,∴该函数的解析式为:y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.例4已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).令y=0,得-x2-2x+3=0,解得:x1=-3,x2=1,即抛物线与x轴的交点坐标为:(-3,0),(1,0).例4已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A,B两点随图象移至A',B',求△OA'B'的面积.(3)设抛物线与x轴的交点为M,N(M在N的左侧),由(2)知:M(-3,0),N(1,0).当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位.故A'(2,4),B'(5,-5),∴S△OA'B