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第11课时一次函数的应用1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.考点一次函数的应用考点聚焦2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定变量的取值范围.题组一必会题对点演练1.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:h)(0≤t≤4)之间的关系式是.2.土地沙漠化是人类的大敌,某地现有绿地8万公顷,由于人们的环保意识薄弱,植被遭到严重破坏,经观察,土地沙漠化速度为每年0.4万公顷.写出t年后该地所剩的绿地面积S(万公顷)与时间t(年)的关系式.h=-5t+20S=8-0.4t3.[八上P156练习第2题改编]某市出租车的收费标准:不超过3千米计费为7.0元,3千米后按2.4元/千米计费.(1)车费y(元)与路程x(千米)之间的函数表达式为;(2)小亮乘出租车出行,付费19元,则小亮乘车的路程为千米.y=𝟕.𝟎(𝟎𝒙≤𝟑),𝟐.𝟒𝒙-𝟎.𝟐(𝒙𝟑)84.[八上P157问题2改编]某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同,以每月用车里程xkm计算,甲汽车租赁公司的月租费是y1元,乙汽车租赁公司的月租费是y2元.如果y1,y2与x之间的关系如图11-1,那么:(1)每月用车里程为km时,租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同;(2)每月用车里程在x范围内时,租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少;(3)如果每月用车的里程约为2300km,那么租用汽车租赁公司的车所需费用较少.(填“甲”或“乙”)图11-120002000乙题组二易错题【失分点】忽视自变量的取值范围而致错.[答案]B5.若等腰三角形的周长是20cm,则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系的图象是()图11-2[解析]根据题意得2y+x=20,∴y=10-12x,由y+yx,即20-xx,得x10,又x0,∴0x10,∴y关于x的函数关系式为y=10-12x(0x10),故选B.6.[2018·义乌]实验室里有一个水平放置的长方体容器,从内部量得它的高是15cm,底面的长是30cm,宽是20cm,容器内的水深为xcm.现往容器内放入如图11-3的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面),过顶点A的三条棱的长分别是10cm,10cm,ycm(y≤15),当铁块的顶部高出水面2cm时,x,y满足的关系式是.图11-3[答案]y=120-15𝑥2(6≤x8)或y=6𝑥+1050x≤656[解析]①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体容器的底面时,铁块浸在水中的高度为8cm,此时,水位上升了(8-x)cm(x8),铁块浸在水中的体积为10×8×y=80y(cm3),∴80y=30×20×(8-x),∴y=120-15𝑥2,∵y≤15,∴x≥6,即:y=120-15𝑥2(6≤x8);②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体容器的底面时,同①的方法得,y=6𝑥+1050x≤656.故答案为:y=120-15𝑥2(6≤x8)或y=6𝑥+1050x≤656.考向一利用一次函数进行方案选择例1[2019·内江]某商店准备购进A,B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元,用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元?(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A,B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?(3)端午节期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠m(10m20)元,B种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.解:(1)设A种商品每件的进价是x元,则B种商品每件的进价是(x-20)元,根据题意,得3000𝑥=1800𝑥-20.解得x=50.经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,50-20=30.答:A种商品每件的进价是50元,B种商品每件的进价是30元.例1[2019·内江]某商店准备购进A,B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元,用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A,B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?(2)设购买A种商品a件,则购买B种商品(40-a)件,根据题意,得50𝑎+30(40-𝑎)≤1560,𝑎≥40-𝑎2,解得403≤a≤18.∵a为正整数,∴a=14,15,16,17,18,∴商店共有5种进货方案.例1[2019·内江]某商店准备购进A,B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元,用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(3)端午节期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠m(10m20)元,B种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.(3)设销售A,B两种商品共获利y元,根据题意,得y=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)=(15-m)a+600.①当10m15时,15-m0,y随a的增大而增大,∴当a=18时,获利最大,即购进18件A商品,22件B商品.②当m=15时,15-m=0,y与a的值无关,即(2)问中所有进货方案获利相同.③当15m20时,15-m0,y随a的增大而减小,∴当a=14时,获利最大,即购进14件A商品,26件B商品.[2018·广州]友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台,最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售.方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.(1)当x=8时,应选择哪种方案,使得该公司购买费用最少?最少费用是多少元?(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.解:(1)当x=8时,方案一费用:0.9a×8=7.2a(元),|考向精练|方案二费用:5a+0.8a(8-5)=7.4a(元),∵a0,∴7.2a7.4a,∴选择方案一费用最少,最少费用是7.2a元.[2018·广州]友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台,最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售.方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.(2)若x≤5,方案一每台按售价的九折销售,方案二每台按售价销售,所以采用方案一购买合算;若x5,方案一的费用:0.9ax;方案二的费用:5a+0.8a(x-5)=0.8ax+a.由题意:0.9ax0.8ax+a,解得x10.所以若该公司采用方案二购买更合算,x的取值范围是:x10且x为正整数.考向二利用一次函数解决分段函数问题例2[2019·黄冈]某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图11-4所示(0≤x≤100),已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.(1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;(2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;图11-4(3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户,为确保合作社所获利润w‘不低于55万元,产量至少要达到多少吨?图11-4解:(1)y=2.4(0≤𝑥≤30),-0.01𝑥+2.7(30𝑥≤70),2(70𝑥≤100).例2[2019·黄冈]某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图11-4所示(0≤x≤100),已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.(1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;例2[2019·黄冈]某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图11-4所示(0≤x≤100),已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.(2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;图11-4(2)w=y·x-p.当0≤x≤30时,w=2.4x-(x+1)=1.4x-1;当30x≤70时,w=(-0.01x+2.7)x-(x+1)=-0.01x2+1.7x-1;当70x≤100时,w=2x-(x+1)=x-1.综上所述,w=1.4𝑥-1(0≤𝑥≤30),-0.01𝑥2+1.7𝑥-1(30𝑥≤70),𝑥-1(70𝑥≤100).例2[2019·黄冈]某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图11-4所示(0≤x≤100),已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.(3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户,为确保合作社所获利润w‘不低于55万元,产量至少要达到多少吨?图11-4(3)每吨奖励0.3万元后的利润w'=1.1𝑥-1(0≤𝑥≤30),-0.01𝑥2+1.4𝑥-1(30𝑥≤70),0.7𝑥-1(70𝑥≤100).当0≤x≤30时,w'随x的增大而增大,∴当x=30时,w'最大=3255.当30x≤70时,w'=-0.01(x-70)2+48,∴当x=70时,w'最大=4855.当70x≤100时,w'=0.7x-1,w'随x的增大而增大,∴当x=100时,w'最大=6955,此时,0.7x-1≥55,解得x≥80.故产量至少要达到80吨.【方法点析】(1)一次函数在现实生活中有着广泛的应用,在解答一次函数的应用题时,应从给定的信息中抽象出一次函数关系,理清哪个是自变量,哪个是自变量的函数,确定出一次函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时要注意自变量的取值范围.(2)在实际问题中,由于自变量的取值范围一般受到限制,一次函数的图象就由直线变成线段或射线,根据函数图象的性质,就存在最大值或最小值.|考向精练|[2016·淮安]甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同,销售价格也相同.五一假期,两家均推出了优惠方案,甲采摘园的优惠方案是:游客进园需购买60元的门票,采摘的草莓六折出售;乙采摘园的优惠方案是:游客进园不需购买门票,采摘的草莓超过一定数量后,超