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第9课时平面直角坐标系与函数1.各象限内点的坐标的符号特征(如图9-1):考点一平面直角坐标系内点的坐标特征考点聚焦图9-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的特征:(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0xx=y=0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.y=-x纵横横纵5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.图9-2(x,-y)(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮.(x,y+b)(或(x,y-b))考点二点到坐标轴的距离1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=⑱.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=⑲;PQ∥y轴⇔PQ=⑳.|y|𝑥2+𝑦2(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2|x1-x2||y1-y2|考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.考点四函数基础知识1.函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.2.函数的三种表示方法:㉑法、㉒法和㉓法.3.描点法画函数图象的一般步骤:㉔→㉕→㉖.解析式列表图象列表描点连线4.自变量的取值范围函数表达式的形式自变量的取值范围举例分式型使分母㉗的实数若y=1𝑥,则x≠0二次根式型使被开方数㉘的实数若y=𝑥,则x≥0分式与二次根式结合型使分母不为0且使被开方数大于或等于0的实数若y=𝑥𝑥-1,则x≥0且x≠1不等于0大于或等于0【温馨提示】实际问题中自变量的取值还要符合变量的实际意义.题组一必会题对点演练1.[八上P132复习题第4题改编]点P(2,-5)关于x轴对称的点P'的坐标为()A.(-2,-5)B.(2,5)C.(-2,5)D.(-5,2)B[答案]A[答案]二[解析]由于点的横坐标是负数,纵坐标是正数,因此这个点在第二象限.[解析]因为点P(m,-2m)是第二象限的点,所以𝑚0,-2𝑚0,解得m0.故选A.2.[八上P129习题第2(3)题改编]点P(m,-2m)是第二象限的点,则m的取值范围是()A.m0B.m≤0C.m0D.m≥03.[八上P122练习第2题改编]在平面直角坐标系中,点(-2.5,3)在第象限.[答案](3,3)(5,5)[解析]方法一:利用坐标系中点的坐标平移变化规律解决;方法二:通过操作,利用图形的直观性直接观察.4.[八上P124数学实验室第3题改编]如图9-3,把线段AB先向右平移7个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到线段A'B'.则点A',B'的坐标分别是和.图9-3[答案]②④[解析]图中横轴表示时间,纵轴表示路程,则图象上的每一个点表示某一时刻甲或乙离家的路程情况,由图象的升降情况可以确定甲、乙离家的路程情况.5.[八上P140练习第2题改编]甲、乙两人出门散步,用20min走了900m后,甲随即按原速返回;乙遇到一位朋友,并与朋友交谈了10min后,用15min回到家里.在下列4个图象中,表示甲离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系的是;表示乙离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系的是(填序号).图9-4题组二易错题【失分点】自变量的取值范围考虑不全面;对确定物体位置的方法掌握不牢;忽略坐标系中点的坐标的符号;分类讨论不全.6.[2018·娄底]函数y=𝑥-2𝑥-3中自变量x的取值范围是()A.x2B.x≥2C.x≥2且x≠3D.x≠3C7.[2018·北京东城区二模]在平面直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2.写出一个符合条件的点P的坐标:.(2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1)考向一坐标平面内点的坐标特征例1已知点P(0,m)在y轴的负半轴上,则点M(-m,-m+1)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]A[解析]由点P(0,m)在y轴的负半轴上,得m0.由不等式的性质,得-m0,-m+11,则点M(-m,-m+1)在第一象限,故选A.【方法点析】解答此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征,建立不等式(组)或者方程(组),把点的问题转化为不等式(组)或方程(组)来解决.1.[2018·广安]已知点P(1-a,2a+6)在第四象限,则a的取值范围是()A.a-3B.-3a1C.a-3D.a12.在平面直角坐标系的第四象限内有一点P,点P到x轴距离为2,到y轴距离为1,则点P的坐标为.A(1,-2)|考向精练|[答案]二3.若点A(a+1,a-2)在二、四象限的角平分线上,则点B(-a,1-a)在第象限.[解析]∵点A(a+1,a-2)在二、四象限的角平分线上,∴a+1=-(a-2).解得a=12.∴-a=-12,1-a=1-12=12,∴点B(-a,1-a)在第二象限.考向二关于x轴、y轴及原点对称的点的坐标例2点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是;关于x轴对称的点的坐标是;关于原点对称的点的坐标是.(-1,-2)(1,2)(-1,2)【方法点析】有关点的对称的规律如下:(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),即横坐标不变,纵坐标互为相反数;(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),即纵坐标不变,横坐标互为相反数.|考向精练|1.[2019·杭州]在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则()A.m=3,n=2B.m=-3,n=2C.m=2,n=3D.m=-2,n=-32.[2018·常州]已知点P(-2,1),则点P关于x轴对称的点的坐标是.B(-2,-1)3.在如图9-5所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(-4,5),(-1,3).(1)请在如图9-5所示的网格平面内作出平面直角坐标系;(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C';(3)写出点B'的坐标.图9-5解:(1)(2)如图.(3)B'(2,1).考向三坐标与图形变化例3(1)[2019·滨州]在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点B,则点B的坐标是()A.(-1,1)B.(3,1)C.(4,-4)D.(4,0)[答案]A[解析]∵将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点B,∴点B的横坐标为1-2=-1,纵坐标为-2+3=1,∴B的坐标为(-1,1).故选A.例3(2)[2019·临沂]在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是.[答案](-2,2)[解析]∵点P(4,2),∴点P到直线x=1的距离为4-1=3,∴点P关于直线x=1的对称点P'到直线x=1的距离为3,∴点P'的横坐标为1-3=-2,∴对称点P'的坐标为(-2,2).图9-6【方法点析】求一个图形旋转、平移和轴对称后的图形对应点的坐标,一般要把握三点:一是图形变换的性质;二是图形的全等关系;三是点所在的象限.|考向精练|1.[2019·孝感]如图9-7,在平面直角坐标系中,将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P’,则P’的坐标为()A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)图9-7[答案]D[解析]作PQ⊥y轴于Q,如图,∵P(2,3),∴PQ=2,OQ=3.∵点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P',相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q',∴∠P'Q'O=90°,∠QOQ'=90°,P'Q'=PQ=2,OQ'=OQ=3,∴点P'的坐标为(3,-2).故选D.2.如图9-8所示,四边形OABC是矩形,且∠AOM=120°,CO=,BC=1.(1)求A,C两点的坐标.(2)直接写出点B的坐标.图9-8解:(1)如图,作两条垂线CD,AE,D,E两点在x轴上.易知A-12,32,C32,32.(2)B(1,3).3.[2018·南宁]如图9-9,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).(1)将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1.(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无需说明理由)图9-9解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.(3)等腰直角三角形.考向四函数的概念及函数自变量的取值范围例4函数y=1𝑥-3+𝑥-1的自变量x的取值范围是()A.x≥1B.x≥1且x≠3C.x≠3D.1≤x≤3[答案]B[解析]根据题意,得𝑥-1≥0,𝑥-3≠0,解得x≥1且x≠3,故选B.|考向精练|D1.下列各图中能说明y是x的函数的是()图9-102.[2019·眉山]函数y=𝑥+2𝑥-1中自变量x的取值范围是()A.x≥-2且x≠1B.x≥-2C.x≠1D.-2≤x1A考向五函数图象例5一天上午8时,小华去县城购物,到下午2时返回家,结合图象回答:(1)小华何时第一次休息?(2)小华离家最远的距离是多少?(3)返回时平均速度是多少?(4)请你描述一下小华购物的情况.图9-11解:(1)小华9时第一次休息.(2)小华离家最远的距离是30km.例5一天上午8时,小华去县城购物,到下午2时返回家,结合图象回答:(2)小华离家最远的距离是多少?图9-11(3)返回时平均速度是:30÷2=15(km/h).例5一天上午8时,小华去县城购物,到下午2时返回家,结合图象回答:(3)返回时平均速度是多少?图9-11(4)小华上午8时以15km/h的速度出发,9时休息,半小时后以10km/h的速度继续前进,上午11时到达县城,用1h的时间购物,12时开始以15km/h的速度返回,下午2时到家.例5一天上午8时,小华去县城购物,到下午2时返回家,结合图象回答:(4)请你描述一下小华购物的情况.图9-11【方法点析】对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点:①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示.②当两个阶段的图象关系式都是一次函数(或正比例函数)时,自变量变化量相同,而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大.③各个分段中,分别确定函数关系.④确定函数图象的最低点和最高点.|考向精练|1.[2018·镇江]甲、乙两地相距80km,一辆汽车上午9:00从甲地出发驶往乙地,匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h,并继续匀速行驶至乙地,汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图9-12所示,该车到达乙地的时间是当天上午()A.10:35B.10:40C.10:45D.10:50图9-12[答案]B[解析]由图象知,汽车行驶前一半路程(40km)所用的时间是1h,所以速度为40÷1=40(km/h),于是行驶后一半路程的速度是40+20=60(km/h),所以行驶后一半路程所用的时间为40÷60=23(h),因