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第8课时一元一次不等式(组)1.不等式:用符号“”“”表示大小关系的式子,以及用“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是①的不等式,叫做一元一次不等式.考点一不等式的有关概念考点聚焦1考点二不等式的性质性质1:如果ab,那么a±c②b±c;性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝑎𝑐④𝑏𝑐;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝑎𝑐⑥𝑏𝑐.考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀x≥a,x𝑏⑦同大取大x≤a,x𝑏⑧同小取小x≥a,x𝑏⑨大小小大中间找x≤a,x𝑏⑩大大小小没有解xbx≤aa≤xb无解考点四不等式的实际问题求解步骤:认真审题,找出题目中的不等关系,根据题目中的不等关系列出不等式,解不等式,检验作答.【温馨提示】列不等式解应用题时,应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词.题组一必会题对点演练1.如果不等式(a+1)xa+1的解集为x1,则a必须满足()A.a0B.a≤1C.a-1D.a-1DD3.若xy,则x-2y-2.(填“”“”或“=”)2.下列四个不等式组中,其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如图8-1所示,这个不等式组是()A.𝑥≥2,𝑥-3B.𝑥≤2,𝑥-3C.𝑥≥2,𝑥-3D.𝑥≤2,𝑥-3图8-1[答案]-124.已知不等式组𝑥+12𝑎,𝑥-𝑏1的解集是2x3,则关于x的方程ax+b=0的解为.[解析]∵不等式组𝑥+12𝑎,𝑥-𝑏1的解集是2x3,∴2𝑎-1=3,𝑏+1=2,解得𝑎=2,𝑏=1,∴方程ax+b=0为2x+1=0,解得x=-12.题组二易错题【失分点】应用不等式的性质时,忽略不等号的方向是否变化;去分母时漏乘某些项;不能用不等式模型解题.5.解不等式2+𝑥32𝑥-15的下列过程中错误的是()A.去分母,得5(2+x)3(2x-1)B.去括号,得10+5x6x-3C.移项,合并同类项得-x-13D.系数化为1,得x13D6.[2018·南宁]若mn,则下列不等式正确的是()A.m-2n-2B.𝑚4𝑛4C.6m6nD.-8m-8nB[答案]67.现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区,甲种车每辆载重5吨,乙种车每辆载重4吨,安排车辆不超过10辆,在每辆车都满载的情况下,甲种运输车需要安排辆.[解析]设甲种运输车运输x吨,则乙种运输车运输(46-x)吨,根据题意,得𝑥5+46-𝑥4≤10,去分母,得4x+230-5x≤200,-x≤-30,即x≥30,经验证知,当x=30时,46-x=16,此时甲、乙两种车都满载,30÷5=6(辆).故甲种运输车需要安排6辆.考向一不等式的概念及性质例1[2018·宿迁]若ab,则下列结论不一定成立的是()A.a-1b-1B.2a2bC.-𝑎3-𝑏3D.a2b2[答案]D[解析]A选项,不等式两边同时减去1,不等号方向不变,故A成立.B选项,不等式两边同时乘以2,不等号方向不变,故B成立.C选项,不等式两边同时乘以-13,不等号方向改变,故C成立.选项D,举例:-5-2,但(-5)2(-2)2,故D不成立.故选D.【方法点析】运用不等式的性质时,应注意当不等式的两边同时乘(或者除以)一个负数时,不等号的方向要改变.|考向精练|D1.[2019·上海]如果mn,那么下列结论错误的是()A.m+2n+2B.m-2n-2C.2m2nD.-2m-2n2.若a-1,则a+2019a+2018.(填“”或“”)考向二一元一次不等式的解法例2[2018·南京一模](1)解不等式𝑥3−𝑥-12≤1,并把它的解集在数轴上表示出来;(2)若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解,则a的取值范围是.解:(1)将不等式𝑥3−𝑥-12≤1两边同乘以6,得2x-3(x-1)≤6,整理,得2x-3x+3≤6,解得x≥-3,这个不等式的解集在数轴上表示如下:例2[2018·南京一模](2)若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解,则a的取值范围是.[答案]-4a≤-3[解析]∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解,∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是-3,-2,-1,∴a的取值范围是-4a≤-3.【方法点析】此类问题容易出错的地方有:(1)去分母过程中,整数忘记乘以各分母的最小公倍数;(2)移项忘记变号;(3)系数为负数时,系数化一过程中忘记改变不等号的方向;(4)用数轴表示不等式的解集时,忽略空心圆圈与实心圆点的区别.|考向精练|1.[2019·株洲]若a为有理数,且2-a的值大于1,则a的取值范围为.a1且a为有理数2.[2019·淄博]解不等式:𝑥-52+1x-3.解:将不等式𝑥-52+1x-3两边同乘以2,得x-5+22x-6,解得x3.考向三一元一次不等式组的解法例3[2017·淮安]解不等式组:3𝑥-1𝑥+5,𝑥-32𝑥-1,并写出它的整数解.解:解不等式3x-1x+5,得x3.解不等式𝑥-32x-1,得x-1.∴不等式组的解集为-1x3,它的整数解为0,1,2.|考向精练|1.[2019·扬州]解不等式组4(𝑥+1)≤7𝑥+13,𝑥-4𝑥-83,并写出它的所有负整数解.解:解不等式4(x+1)≤7x+13,得x≥-3,解不等式x-4𝑥-83,得x2,则不等式组的解集为-3≤x2,所以不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.解:解不等式x+10,得x-1.解不等式3x-8≤-x,得x≤2.∴不等式组的解集为-1x≤2,将解集表示在数轴上如下:2.[2019·常州]解不等式组𝑥+10,3𝑥-8≤-𝑥,并把解集在数轴上表示出来.考向四与不等式(组)的解集有关的问题例4已知关于x的不等式组4𝑥+23(𝑥+𝑎),2𝑥3(𝑥-2)+5仅有三个整数解,则a的取值范围是.[答案]-13≤a0[解析]由4x+23(x+a),解得x3a-2.由2x3(x-2)+5,解得x1,所以3a-2x1,由关于x的不等式组4𝑥+23(𝑥+𝑎),2𝑥3(𝑥-2)+5仅有三个整数解,得-3≤3a-2-2,解得-13≤a0.【方法点析】(1)解不等式或不等式组,若不等式或不等式组中含有参数,要把参数当已知数来解;(2)借助于数轴,可以形象准确地把握不等式组有解、无解,以及有几个整数解的问题;(3)注意端点值,这类问题一般都与端点有关,一是用数轴来说明是哪个端点,二是进行检验,看端点是不是满足题意.|考向精练|1.[2019·云南]若关于x的不等式组2(𝑥-1)2,𝑎-𝑥0的解集是xa,则a的取值范围是()A.a2B.a≤2C.a2D.a≥2[答案]D[解析]解不等式2(x-1)2,得x2,解不等式a-x0,得xa.∵解集是xa,∴a≥2.故选D.[答案]A2.若不等式组𝑥+13𝑥2-1,𝑥4𝑚无解,则m的取值范围为()A.m≤2B.m2C.m≥2D.m2[解析]解不等式𝑥+13𝑥2-1,得x8.∵不等式组无解,∴4m≤8,解得m≤2,故选A.[答案]B3.[2019·镇江]下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组𝑥+2𝑎,(2𝑎-1)𝑥-60的解集的是()图8-2[解析]由x+2a,得xa-2,A.由数轴知x-3,则a=-1,∴-3x-60,解得x-2,与数轴不符;B.由数轴知x0,则a=2,∴3x-60,解得x2,与数轴相符合;C.由数轴知x2,则a=4,∴7x-60,解得x67,与数轴不符;D.由数轴知x-2,则a=0,∴-x-60,解得x-6,与数轴不符.故选B.考向五一元一次不等式的应用例5[2019·宁夏]学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中,为学生化妆.其中5名男生和3名女生共需化妆费190元;3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同.(1)求每位男生和女生的化妆费分别为多少元;(2)如果学校提供的化妆总费用为2000元,根据活动需要至少应有42名女生化妆,那么男生最多有多少人化妆.解:(1)设每位男生的化妆费是x元,每位女生的化妆费是y元,根据题意,得5𝑥+3𝑦=190,3𝑥=2𝑦,解得𝑥=20,𝑦=30.答:每位男生的化妆费是20元,每位女生的化妆费是30元.例5[2019·宁夏]学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中,为学生化妆.其中5名男生和3名女生共需化妆费190元;3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同.(2)如果学校提供的化妆总费用为2000元,根据活动需要至少应有42名女生化妆,那么男生最多有多少人化妆.(2)设男生有a人化妆,依题意,得2000-20𝑎30≥42.解得a≤37.所以a的最大值是37.答:男生最多有37人化妆.|考向精练|1.某次知识竞赛共有20题,答对一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分要超过120分,他至少要答对的题的个数为()A.13B.14C.15D.16[答案]C[解析]设要答对x道题.根据题意,得10x+(-5)×(20-x)120,10x-100+5x120,15x220.解得x1423.因为x必须为整数,所以x取最小整数15,即小华参加本次竞赛得分要超过120分,他至少要答对15道题.故选C.[答案]76[解析]设这批电子手环有x块,则降价销售的有(x-50)块,根据题意,得550×50+500(x-50)40000.解得x75.∴这批手环至少有76块.故填76.2.[2019·南充模拟]某经销商销售一批电子手环,第一个月以550元/块的价格售出50块,第二个月起降价,以500元/块的价格,将这批电子手环全部售出,销售总额超过了4万元,这批电子手环至少有块.3.[2019·张家界]某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化,已知甲种树苗每棵30元,乙种树苗每棵20元,且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵.(1)购买两种树苗的总金额为9000元,求购买甲、乙两种树苗各多少棵?(2)为保证绿化效果,社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵,总费用不超过230元,求可能的购买方案.解:(1)设购买甲种树苗x棵,乙种树苗y棵,根据题意得𝑦=2𝑥-40,30𝑥+20𝑦=9000.解得𝑥=140,𝑦=240.答:购买甲种树苗140棵,乙种树苗240棵.3.[2019·张家界]某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化,已知甲种树苗每棵30元,乙种树苗每棵20元,且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵.(2)为保证绿化效果,社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵,总费用不超过230元,求可能的购买方案.(2)设购买甲种树苗a棵,则购买乙种树苗(10-a)棵,根据题意得30a+20(10-a)≤230,解得a≤3,所以有四种购买方案:方案一:购买甲种树苗0棵,乙种树苗10棵;方案二:购买甲种树苗1棵,乙种树苗9棵;方案三:购买甲种树苗2棵,乙种树苗8棵;方案四:购买甲种树苗3棵,乙种树苗7棵.