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第7课时一元二次方程1.一般形式:考点一一元二次方程及其解法考点聚焦图7-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+𝑏𝑎x+𝑐𝑎=0⇒x+𝑏2𝑎2=𝑏2-4𝑎𝑐4𝑎2,开方求解配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数±-𝒄𝒂-n±𝑏𝑎（续表）方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎考点二一元二次方程的根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等没有-𝑏𝑎𝑐𝑎考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量（续表）应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)𝑎-𝑥2·x(a-x)(b-x)题组一必会题对点演练1.[2019·兰州]x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A.-2B.-3C.-1D.-6[答案]A[解析]把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0,所以a+2b=-1.所以2a+4b=2(a+2b)=2×(-1)=-2.故选A.2.用配方法解方程3x2-9x+1=0时,配方结果正确的是()A.x+322=2312B.x-322=2512C.x-342=2312D.x-322=2312D3.[2019·徐州]方程x2-4=0的解是.4.[2018·淮安]一元二次方程x2-x=0的根是.5.受季节变化影响,某品牌衬衣经过两次降价,由每件256元降至169元,则平均每次降价的百分率x所满足的方程为.x1=2,x2=-2x1=0,x2=1256(1-x)2=169题组二易错题【失分点】用公式法解一元二次方程时,未先将其化为一般形式;忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件;建立方程模型时,不能准确利用题中的数量关系而出错.6.用公式法解方程4y2=12y+3,得到()A.y=-3±62B.y=3±62C.y=3±232D.y=-3±232C7.若关于x的方程(a-1)=1是一元二次方程,则a的值是.8.[2018·扬州]关于x的一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是.9.一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是m.-1m𝟏𝟑且m≠012考向一一元二次方程的有关概念例1[2018·盐城]已知一元二次方程x2+kx-3=0有一根为1,则k的值为()A.-2B.2C.-4D.4B[答案]-2[解析]当𝑚2-2=2,𝑚-2≠0,即m=-2时,原方程是一元二次方程.例2若(m-2)+5x+4=0是关于x的一元二次方程,则m=.|考向精练|1.[2019·遂宁]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a的值为()A.0B.±1C.1D.-1[答案]D[解析]∵关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,∴a2-1=0,且a-1≠0,则a的值为-1.故选D.32.关于x的方程xa-1+2x-5=0是一元二次方程,则a=.考向二一元二次方程的解法解:方法一(因式分解法):x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,x-3=0或x+1=0,即x1=3,x2=-1.例3解方程:x2-2x-3=0.方法一(因式分解法)方法二(配方法)方法三(公式法)方法二(配方法):移项,得x2-2x=3,配方,得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4,开方,得x-1=±2,x=1±2,即x1=3,x2=-1.例3解方程:x2-2x-3=0.方法二(配方法)例3解方程:x2-2x-3=0.方法三(公式法)方法三(公式法):a=1,b=-2,c=-3,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=4+12=16,x=-(-2)±162×1=2±42,即x1=2+42=3,x2=2-42=-1.【方法点析】解一元二次方程时,要先思考,然后选择解法.一般地,首选直接开平方法,因式分解法,再选配方法,公式法是通法,但一般都是“没有办法的办法”.|考向精练|1.[2019·怀化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=2C[答案]1或2[解析]x(x-2)=x-2,x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(x-1)=0,x-2=0或x-1=0,x1=2,x2=1.故答案为1或2.2.[2019·扬州]一元二次方程x(x-2)=x-2的根是.3.[2019·无锡]解方程:x2-2x-5=0.解:∵a=1,b=-2,c=-5,∴Δ=(-2)2-4×1×(-5)=240,则x=2±262=1±6,∴x1=1+6,x2=1-6.考向三一元二次方程根的判别式微专题例4[2017·扬州]一元二次方程x2-7x-2=0的实数根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定角度1判断根的情况A解:因为b2-4ac=[-(2k+1)]2-4(k2-1)=4k+5.所以(1)当b2-4ac0,即4k+50,k-54时,方程有两个不相等的实数根.(2)当b2-4ac=0,即4k+5=0,k=-54时,方程有两个相等的实数根.(3)当k2-1=0,即k=±1时,方程有一根为0.(4)当b2-4ac0,即4k+50,k-54时,方程无实数根.例5当k取什么实数时,方程x2-(2k+1)x+k2-1=0符合下列要求:(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)有一根为0?(4)无实数根?角度2根据方程根的情况,确定系数的取值范围解:(1)∵关于x的一元二次方程(a-2)x2+2ax+a+3=0有实数根,∴𝑎-2≠0,𝛥=(2𝑎)2-4(𝑎-2)(𝑎+3)≥0.解得a≤6且a≠2.(2)当a=6时,原方程为4x2+12x+9=0,(2x+3)2=0,解得x1=x2=-32.例6已知关于x的一元二次方程(a-2)x2+2ax+a+3=0有实数根.(1)求a的取值范围;(2)当a取最大数值时,解此一元二次方程.证明:把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,所以Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4=(3a-2)2,因为无论a为何值,(3a-2)2≥0,即Δ≥0,所以直线与抛物线一定有公共点.例7[2017·福建改编]已知直线y=2x-2与抛物线y=ax2+ax-2a,其中a为常数,且a≠0.求证:不论a为何值,直线与抛物线一定有公共点.角度3根的判别式的应用|考向精练|1.[2019·淮安]若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k-1B.k-1C.k1D.k1[答案]B[解析]∵关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac=4-4×1×(-k)=4+4k0,∴k-1.故选B.2.[2019·镇江]若关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值等于.[答案]1[解析]∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-2)2-4m=0.解得m=1.证明:因为y=(x-m)2-(x-m)=x2-2mx+m2-x+m=x2-(2m+1)x+m2+m,Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=10,所以不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.3.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.考向四一元二次方程的应用例8[2018·盐城]一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?26解：(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20.又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.例8[2018·盐城]一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?|考向精练|C1.[2018·宜宾]某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为()A.2%B.4.4%C.20%D.44%2.[2019·襄阳]改善小区环境,争创文明家园.如图7-2所示,某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为多少?图7-2解:设小路的宽应为xm,由题意可得方程为:(16-2x)(9-x)=112,解得:x1=1,x2=16,x2=169,不合题意,舍去,∴x=1,答:小路的宽应为1m.