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第6课时分式方程1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.未知数考点一分式方程的概念及解法考点聚焦图6-10最简公分母【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.考点二分式方程的实际应用列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同,不同的是要检验两次:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验求出的解是否符合变量的实际意义.题组一必会题对点演练1.下列方程中是分式方程的是()A.2𝑥3-3x=1B.2x-𝑥-12=1C.𝑥2-2x=0D.1𝑥-1-2=0D2.已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同,并且乙车每小时比甲车多行驶15千米.若设甲车的速度为x千米/时,依题意列方程正确的是()A.30𝑥=40𝑥+15B.30𝑥-15=40𝑥C.30𝑥=40𝑥-15D.30𝑥+15=40𝑥3.[2019·淮安]方程1𝑥+2=1的解是_________.Ax=-1题组二易错题[答案]b≤3且b≠2[解析]去分母,得2x-b=3x-3,∴x=3-b.∵x≥0,∴3-b≥0,解得b≤3.又∵x-1≠0,∴x≠1,即3-b≠1,b≠2.则b的取值范围是b≤3且b≠2.【失分点】解分式方程忽略检验;列方程找不到等量关系从而列不出方程.4.若关于x的方程2𝑥-𝑏𝑥-1=3的解是非负数,则b的取值范围是.[答案]18[解析]设小丽每小时做x朵,根据题意,得100𝑥+2=90𝑥,解得x=18.经检验,x=18是原方程的解且符合题意.5.[八下P118习题第3题改编]小丽与小明同时为艺术节做小红花,小明比小丽每小时多做2朵.已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等,则小丽每小时做小红花朵.例1[2018·张家界]若关于x的分式方程𝑚-3𝑥-1=1的解为x=2,则m的值为()A.5B.4C.3D.2考向一分式方程的概念[答案]B[解析]∵关于x的分式方程𝑚-3𝑥-1=1的解为x=2,∴x=2满足关于x的分式方程𝑚-3𝑥-1=1.∴𝑚-32-1=1,解得m=4.|考向精练|下列关于x的方程中,是分式方程的是()A.3x=12B.𝑥+25=3+𝑥4C.1𝑥=2D.3x-2y=1C考向二一元一次方程的解法解:去分母,得:x-2+x-3=-2,解得x=32,检验:当x=32时,x-3≠0,所以原方程的解为x=32.例2[2019·徐州]解方程:𝑥-2𝑥-3+1=23-𝑥.【方法点析】解分式方程的一般步骤:(1)去分母,在方程两边同乘最简公分母,化分式方程为整式方程;(2)解整式方程;(3)检验;(4)写出原方程的解.|考向精练|1.如果解关于x的分式方程2𝑥𝑥-3−𝑎3-𝑥=5时出现了增根,那么a的值是()A.-6B.-3C.6D.3[答案]A[解析]去分母,得2x+a=5x-15,由分式方程有增根,得到x-3=0,即x=3,代入整式方程,得6+a=0,解得a=-6.故选A.[答案]a5且a≠3[解析]去分母得:1-a+2=x-2,解得:x=5-a,∵解为正数,∴5-a0,解得:a5,当x=2时,原方程无解,∴5-a≠2,故a5且a≠3.故填a5且a≠3.2.[2019·宿迁]关于x的分式方程1𝑥-2+𝑎-22-𝑥=1的解为正数,则a的取值范围是.解:两边都乘x-2,得1=x-1-3(x-2),解得x=2,检验:当x=2时,x-2=0,∴x=2是分式方程的增根,则原分式方程无解.3.[2018·无锡]解方程:1𝑥-2=1-𝑥2-𝑥-3.解:(1)方程两边同乘x-2,得5+3(x-2)=-1,解得x=0.经检验,x=0是原分式方程的解.(2)设方程中“?”代表的数为m,方程两边同乘x-2,得m+3(x-2)=-1,由于x=2是原分式方程的增根,所以把x=2代入上面的等式得m+3(2-2)=-1,解得m=-1.所以,原分式方程中“?”代表的数是-1.4.小华想复习分式方程,由于印刷问题,有一个数“?”看不清楚:?𝑥-2+3=12-𝑥.(1)她把这个数“?”猜成5,请你帮小华解这个分式方程;(2)小华的妈妈说:“我看到标准答案是:方程的增根是x=2,原分式方程无解”,请你求出原分式方程中“?”代表的数是多少?考向三分式方程的应用例3[2016·淮安]王师傅检修一条长600米的自来水管道,计划用若干小时完成,在实际检修过程中,每小时检修管道长度是原计划的1.2倍,结果提前2小时完成任务,王师傅原计划每小时检修管道多少米?解:设原计划每小时检修管道x米.根据题意,得600𝑥−6001.2𝑥=2.解得x=50.经检验,x=50是原方程的解且符合题意.答:原计划每小时检修管道50米.【方法点析】对于列分式方程解应用题,一定要注意检验,检验要考虑两方面:一是方程的解是否是原方程的解,二是方程的解是否符合题意.|考向精练|1.[2019·苏州]小明用15元买售价相同的软面笔记本,小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完),已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元,且小明和小丽买到相同数量的笔记本,设软面笔记本每本售价为x元,根据题意可列出的方程为()A.15𝑥=24𝑥+3B.15𝑥=24𝑥-3C.15𝑥+3=24𝑥D.15𝑥-3=24𝑥A[答案]80[解析]设甲车的速度为xkm/h,则乙车的速度为54xkm/h.根据题意,得200𝑥−20054𝑥=3060.解得x=80.经检验x=80是原方程的解,且符合题意.故答案为80.2.[2019·绥化]甲、乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的B地,甲、乙两车的速度之比是4∶5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车的速度为km/h.解:设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(30-x)个零件,根据题意,得180𝑥=12030-𝑥,解得x=18.经检验,x=18是原方程的解且符合题意,则30-x=12.答:甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件.3.[2019·常州]甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件?