曲面论曲面上曲线的曲率(六)

微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3213.2曲面上曲线的曲率上面介绍了曲面的第二基本形式，它是曲面到其切平面有向距离的2倍，它刻画了曲面的弯曲性。曲面在一点沿不同方向弯曲程度不同，或说曲面离开切平面的速度不同。这个弯曲性可由曲面在一点沿这个方向的一种曲率（即法曲率）来刻画。为介绍法曲率，我们先看曲面上的曲线在一点的曲率。一曲面上任一曲线的曲率设2C类曲面S：(,)rruv，P(u,v)为其上一点，S上过P点的一曲线（C）方程为u=u(s),v=v(s)，或()[(),()]rrsrusvs，S为曲线(C)的自然参数，(C)在P点的曲率为k，则有cos，其中为曲线(C)在P点的主法向量与曲面在P点的单位法向量n的夹角。证设,为曲面上曲线(C)：()rrs在P点的单位切向量与主法向量，则,,cosrrrnn。另一方面22rndsrnds，所以cos=222222LduMdudvNdvEduFdudvGdv。说明：对于曲面上已给定点和曲面曲线在该点的切方向，上式右端都有确定的值。因此若在曲面上一个给定点给出相切的两条曲面曲线，且它们有相同的主法向量，则它们的主法向量与曲面在这点的法向量所成的角度也相同，所以据上式，它们的曲率k也相同。特别nP微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.322的，曲线(C)在P点的密切平面与曲面的交线就与(C)在P点有相同的切线和主法线,所以曲率相同。因此对于曲面曲线曲率的研究可以转化为这曲面上一条平面截线的曲率的讨论。所以这一小结讨论的是曲面在一点沿一方向的不同曲线，曲面离开切平面的速度。二曲面上法截线的曲率给出曲面S上一点P和P点处的一个方向(d)=du:dv,设n为曲面在P点的单位法向量，则由P和(d)、n确定的平面称为曲面在P点的沿方向(d)的法截面，这法截面与曲面的交线称为曲面在P点沿方向(d)的法截线。设曲面在P点由方向(d)所确定的法截线为0()C，0()C在P点的曲率为0，由于0()C的主法向量0,0n或，所以0（0）为0=。当n与0同向，即法截线向n的正向弯曲时，取“+”，n与0反向，即法截线向n的反向弯曲时，取“－”。nn00du:dvdu:dv0(C)0(C)微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.323可见，曲面上一点在一方向上的弯曲性仅由0（0）还不能完全确定，还要考虑曲面的弯曲方向，因此再引入法曲率的概念。三法曲率定义曲面在给定点沿一方向du:dv的法曲率记为n，定义为注：1.由定义及0，得n；2.n的绝对值是法截线的曲率0。n不仅刻画了曲面在P点沿方向du:dv的弯曲程度，还说明了弯曲的方向：曲面向正侧弯曲时n0；曲面向负侧弯曲时n0.3.由前面例题知，半径为R的球面上任一点处沿任意方向的法曲率1nR或1nR；平面上每一点处沿任意方向的法曲率为n0；4.设曲面上过曲面上一点P的一曲线()C和过P与()C相切的法截线为0()C，()C与0()C相切的方向是du:dv，()C在P点的曲率为k,曲面在P点沿方向du:dv的法曲率为n，则由cos和n可得cosn。由此可知，曲面曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论。5.设法截线在P点向n的正向弯曲,则0n,这时0n。则法截线0()C的曲率半径01nR。在P点曲线()C的曲率半径1R。则由cosn知cosnRR。cosnRR的几何意义可以由梅尼埃定理表述。00n当法截线向n的正侧弯曲当法截线向n的反侧弯曲微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.324()C0()C0CC四梅尼埃定理定理曲面曲线()C在给定点P的曲率中心就是在P点与曲线()C具有共同切线的法截线0()C的曲率中心0C在曲线()C的密切平面上的投影。例如若给出的曲面是球面，球面的切平面垂直于过切点的半径，这个半径就是球面的法线。所以球面的所有法线过它的球心。因此在球面的每一点处所取的法截面必过球心。由此推出所有法截线是大圆，且任意法截线0()C的曲率中心0C就是这个球面的中心.另一方面,若取球面的任意平面截线为()C,则所得到的()C是圆,因此()C的曲率中心是这个圆的圆心（如图）.现在从0()C的曲率中心0C(也即球心)作圆()C所在平面的垂线,则垂足是圆()C的圆心,也就是曲线()C的曲率中心C。习题：P1144,5思考：6微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.325PurNvr1n3.3杜邦（Dupin）指标线一杜邦（Dupin）指标线定义定义设曲面S；(,)rruv，P为S上一点。对S在P的一个切方向()d=du:dv,设n为对应方向（d）的法曲率。在P点的切平面上沿方向（d）画一线段PN,使其长度等于1n，则对于切平面上所有的方向，N点的轨迹称为曲面在P点的杜邦指标线。二杜邦(Dupin)指标线方程取P点为坐标原点，在P点的切向量ur和vr为基向量，则它们构成S在P点的切平面上的一个坐标系。切方向(d)=du:dv即uvdrrdurdv。在此坐标系下，N点的坐标为（x,y）,则1uvuvnnuvrdurdvdrPNxryrdrrdurdv，两边平方，并注意n得：222222222EduFdudvGdvExFxyGyLduMdudvNdv，由于x:y=du:dv,带入上式得杜邦指标线方程：2221LxMxyNy，其中L,M,N与曲面微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.326的方向du:dv无关，对曲面上的已知点为常数由于曲面的杜邦指标线方程不含一次项，所以它是以P为中心的有心二次曲线。例马鞍面22{,,}ruvuv在原点处的L=2,M=0,N=2,故在原点的杜邦指标线方程为222()1xy。三曲面上的点按杜邦指标线的分类设P点的杜邦指标线是2221LxMxyNy1如果20LNM，则点P称为曲面的椭圆点。这时杜邦指标线是一椭圆。注：按二次曲线的不变量判断，曲线为椭圆2130,0。当20LNM时，L与N同号（否则20）。若L+N=10,则方程右边取1，这时30，所以130；若L+N=10，则方程右边取1，这时3130,0。计算可知，椭圆抛物面上的点都是椭圆点。2如果20LNM，则点P称为曲面的双曲点。这时杜邦指标线是一对共轭双曲线。注：按二次曲线的不变量判断，曲线为双曲线230,0。计算可知，双曲抛物面上的点都是双曲点。Pn微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3273如果20LNM,则点P称为曲面的抛物点。这时杜邦指标线是一对平行直线。注：按二次曲线的不变量判断，因为这时230,0，故为直线而非抛物线。因为这时二次曲线的半不变量10K，所以它是一对平行直线。如，柱面上的点是抛物点。4如果L=M=N=0，则P点称为曲面的平点。这时杜邦指标线不存在。例如,平面上的点都是平点。例如若曲面是yoz平面上的曲线()zy绕y轴旋转而成，则在曲线的上凹点1P是曲面上的双曲点，凸点2P是椭圆点，拐点0P处是抛物点。nPPnxyz0P2P1PO