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第3课时整式运算与因式分解考点一整式的概念内容单项式多项式定义数或字母的①组成的代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的②组成的代数式叫作多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数多项式中,次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数系数单项式中,与字母相乘的数叫作这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫作多项式的项积和考点二同类项、合并同类项c1.同类项:所含字母③,并且相同字母的指数也④的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.【温馨提示】(1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.相同相同考点三整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是⑤.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=⑥(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑦(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑧(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑨(a≠0,m,n都为整数)am+nanbnamnam-n合并同类项(续表)类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘m(a+b+c)=⑩多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=⑪ma+mb+mcma+mb+na+nb(续表)类别法则整式的除法单项式除以单项式单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式(am+bm)÷m=a+b乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=⑫完全平方公式(a±b)2=⑬常用恒等变形(1)a2+b2=⑭=⑮;(2)(a-b)2=⑯-4aba2±2ab+b2a2-b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab(a+b)2考点四因式分解1.定义:把一个多项式表示成若干个多项式的⑰的形式,称为把这个多项式因式分解.2.方法(1)提公因式法用字母表示:𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐=𝑚(𝑎+𝑏+𝑐)公因式的确定:取各项系数的最大公约数,取各项相同的因式及其最低次幂.乘积(2)公式法3.一般步骤一提(提公因式);二套(套公式);三检验(检验是否分解彻底).考向一代数式[答案]D1.[2019·攀枝花]一辆货车送货上山,并按原路下山.上山速度为a千米/时,下山速度为b千米/时,则货车上、下山的平均速度为()千米/时A.12(a+b)B.𝑎𝑏𝑎+𝑏C.𝑎+𝑏2𝑎𝑏D.2𝑎𝑏𝑎+𝑏[解析]设山路全程为1,则货车上山所用时间为1𝑎,下山所用时间为1𝑏.货车上、下山的平均速度=21𝑎+1𝑏=2𝑎𝑏𝑎+𝑏,故选D.2.[2019·泰州]若2a-3b=-1,则代数式4a2-6ab+3b的值为()A.-1B.1C.2D.3[答案]B[解析]因为2a-3b=-1,4a2-6ab+3b=2a(2a-3b)+3b=-2a+3b=-(2a-3b)=1,故选B.3.[2019·怀化]当a=-1,b=3时,代数式2a-b的值等于.4.[2019·娄底]按照如图3-1所示的操作步骤,若输入的值为3,则输出的值为.-555图3-15.[2018·青海]如图3-2,下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的,第①个图案中有2个正方形,第②个图案中有5个正方形,第③个图案中有8个正方形,…,则第⑤个图案中有个正方形,第个图案中有个正方形.图3-2[答案]14(3n-1)[解析]∵第①个图案中正方形的个数为2=3×1-1,第②个图案中正方形的个数为5=3×2-1,第③个图案中正方形的个数为8=3×3-1,第④个图案中正方形的个数为11=3×4-1,∴第⑤个图案中正方形的个数为3×5-1=14,第个图案中正方形的个数为(3n-1).考向二整式及其运算C6.[2019·株洲]下列各式中,与3x2y3是同类项的是()A.2x5B.3x3y2C.-12x2y3D.-13y57.[2019·衡阳]下列各式中,计算正确的是()A.8a-3b=5abB.(a2)3=a5C.a8÷a4=a2D.a2·a=a38.[2019·邵阳]以下计算正确的是()A.(-2ab2)3=8a3b6B.3ab+2b=5abC.(-x2)·(-2x)3=-8x5D.2m(mn2-3m2)=2m2n2-6m3DD9.[2019·武汉]观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;….已知按一定规律排列的一组数:250,251,252,…,299,2100.若250=a,则用含a的式子表示这组数的和是()A.2a2-2aB.2a2-2a-2C.2a2-aD.2a2+a[答案]C[解析]设y1=2+22+…+2100,y2=2+22+…+249,∴250+251+252+…+299+2100=y1-y2=(2+22+…+2100)-(2+22+…+249)=(2101-2)-(250-2)=2101-2-250+2=2101-250=250(251-1)=250(2×250-1).∵250=a,∴原式=a(2a-1)=2a2-a.故选C.10.[2019·潍坊]若2x=3,2y=5,则2x+y=.1511.[2019·河北]如图3-3,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.即4+3=7则:(1)用含x的式子表示m=;(2)当y=-2时,n的值为.图3-3示例:[答案](1)3x[解析](1)m=x+2x=3x.11.[2019·河北]如图3-3,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.即4+3=7则:(2)当y=-2时,n的值为.图3-3示例:[答案](2)1[解析](2)由题意得:x+2x+2x+3=-2,解得x=-1.∴n=2x+3=-2+3=1.12.[2019·长春]先化简,再求值:(2a+1)2-4a(a-1),其中a=18.解:原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1,当a=18时,原式=8a+1=2.【方法点析】整式化简求值的注意问题整式的化简求值,通常涉及单项式乘单项式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加减等,在运算过程中,要正确运用乘法法则、去括号法则及乘法公式,不要出现类似(x-y)2=x2-y2的错误.考向三因式分解13.[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)2[答案]D[解析]x2-1=(x+1)(x-1),故选项A错误;a3-2a2+a=a(a-1)2,故选项B错误;-2y2+4y=-2y(y-2),故选项C错误;m2n-2mn+n=n(m-1)2,故选项D正确.14.[2019·怀化]因式分解:a2-b2=.15.[2019·永州]分解因式:x2+2x+1=.(a-b)(a+b)(x+1)2