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第15课时二次函数的图象和性质(二)考点一二次函数图象的平移考点聚焦抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图15-1所示(假设h,k均为正数):图15-1【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.考点二二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个①的实数根1个b2-4ac=0两个②的实数根没有b2-4ac0③实数根不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于④的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方题组一必会题对点演练1.[九下P27练习第1(3)题改编]抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点情况是()A.有两个交点B.有一个交点C.没有交点D.交点个数不能确定C2.[九下P37复习题1第3(1)题]抛物线y=3x2先向左平移2个单位,得到抛物线;接着向上平移1个单位,得到抛物线.y=3(x+2)2y=3(x+2)2+13.[九下P39复习题1第14题改编]抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点,抛物线的顶点为P,则△PAB的面积是.[答案]1[解析]∵抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点,∴A,B两点的横坐标分别为方程x2-4x+3=0的两根,解得x1=1,x2=3.∵顶点P的纵坐标为12-164=-1,∴△PAB的面积为12|x2-x1|·|-1|=12×2×1=1.4.[九下P28A组第3题改编]抛物线y=2x2-2x+5,当x=时,y=9.5.[九下P28B组第4题改编]当t=时,抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴只有一个交点.-1或2±𝟓题组二易错题【失分点】忽略了二次函数y=ax2+bx+c的隐含条件a≠0;求平移后的抛物线的表达式时,弄错符号;当函数类型没有明确指出时,其图象与x轴的交点要分情况讨论,因为一次函数、二次函数的图象均与x轴有交点;忽略与坐标轴的交点和与x轴的交点的区别.6.已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k≤4且k≠3B.k4且k≠3C.k4D.k≤4A7.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得抛物线的表达式为()A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-2C8.二次函数y=x2-3x+4的图象与坐标轴的交点个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个9.若y关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.B0或-1考向一二次函数图象的平移例1[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位[答案]B[解析]y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,抛物线y=(x+5)(x-3)的顶点坐标是(-1,-16).y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,抛物线y=(x+3)(x-5)的顶点坐标是(1,-16).所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),故选B.|考向精练|1.[2019·济宁]将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2[答案]D[解析]y=x2-6x+5=(x-3)2-4,将其向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得y=(x-3-1)2-4+2,即y=(x-4)2-2.2.[2019·温州]如图15-2,在平面直角坐标系中,二次函数y=-12x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m0,n0,求m,n的值.图15-2解:(1)令y=0,则-12x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y≥0时,x的取值范围为-2≤x≤6.2.[2019·温州]如图15-2,在平面直角坐标系中,二次函数y=-12x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m0,n0,求m,n的值.图15-2解:(2)由题意得B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=-2+62=2.∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,∴6-𝑛+(-𝑛)2=2,∴n=1,∴m=-12×(-1)2+2×(-1)+6=72,∴m,n的值分别为72,1.考向二二次函数与一元二次方程、不等式的关系例2(1)抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.m2B.m2C.0m≤2D.m-2[答案](1)A[解析]∵抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,∴Δ=b2-4ac0,即4-4m+40,解得m2.例2(2)已知二次函数y=2x2-mx-m2.①求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点;②若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐标.(2)解:①证明:Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,∴对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点.例2(2)已知二次函数y=2x2-mx-m2.②若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐标.(2)解:②由题意得,2×12-m-m2=0,整理得,m2+m-2=0,解得m1=1,m2=-2,当m=1时,二次函数为y=2x2-x-1,当y=0时,2x2-x-1=0,解得x1=1,x2=-12,则点A的坐标为-12,0;当m=-2时,二次函数为y=2x2+2x-4,当y=0时,2x2+2x-4=0,解得x1=1,x2=-2,则点A的坐标为(-2,0).综上所述,点A坐标为-12,0或(-2,0).|考向精练|1.[2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个公共点,则m的值为.-12.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为.[答案]x1=2,x2=4[解析]∵二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,∴-𝑏2=2,∴b=-4,∴原方程化为x2-4x-5=2x-13,解得x1=2,x2=4.3.[2019·济宁改编]如图15-3,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2-mx+cn的解集是.x-1或x3图15-34.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是.[答案]b1且b≠0[解析]∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,∴𝛥=(-2)2-4𝑏0,𝑏≠0,解得b1且b≠0.考向三二次函数与几何综合题例3如图15-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数解析式(用两种方法).(2)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.(3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.(4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图15-4解:(1)方法一:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),又∵抛物线过点C(0,3),∴3=-3a,解得a=-1,∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.方法二:∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,∴𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=3,解得𝑎=-1,𝑏=2,𝑐=3,∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.例3如图15-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(2)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.图15-4解:(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴D(1,4),对称轴为直线x=1.例3如图15-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.图15-4解:(3)如图,连接BC,交直线l于点P,则点P为使△PAC的周长最小的点,设直线BC的解析式为y=kx+n,将B(3,0),C(0,3)的坐标代入得3𝑘+𝑛=0,𝑛=3,解得𝑘=-1,𝑛=3,∴直线BC的解析式为y=-x+3,∵对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=2,即点P的坐标为(1,2).例3如图15-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图15-4解:(4)∵点M在直线x=1上,∴设M(1,m),∵A(-1,0),C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10,∵△MAC为等腰三角形,∴有MA=MC,MA=AC和MC=AC三种情况,①若MA=MC,则MA2=MC2,即m2+4=m2-6m+10,解得m=1,此时M点坐标为(1,1);②若MA=AC,则MA2=AC2,即m2+4=10,解得m=±6,此时M点坐标为(1,6)或(1,-6);③若MC=AC,则MC2=AC2,即m2-6m+10=10,解得m=0或m=6,当m=6时,M,A,C三点共线,不能构成三角形,舍去,此时M点坐标为(1,0),综上可知存在符合条件的点M,其坐标为(1,1)或(1,6)或(1,-6)或(1,0).|考向精练|[2019·怀化]如图15-5,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标.图15-5(2)过定点Q的直线l:y=kx-k+3与二次函数图象相交于M,N两点.①若S△PMN=2,求k的值;②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出抛物线的表达式.图15-5解:(1)∵OB=1,tan∠ABO=3,∴OA=OB·tan∠ABO=3,∴A(0,3).根据旋转的性质可得Rt△AOB≌Rt△COD,∴OC=OA=3,∴C(3,0),根据题意可