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第14课时二次函数的图象与性质(二)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征aa0开口向①a0开口向②bb=0对称轴为③轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴④侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑤侧考点一二次函数的图象与系数的关系考点聚焦上下y左右(续表)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征cc=0经过点⑥c0与y轴⑦相交c0与y轴⑧相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有⑨个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(0,0)正半轴负半轴两(续表)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=⑩若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=⑪时,y0a-b+c-1考点二二次函数图象的平移y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图14-1所示(假设h,k均为正数):图14-1【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.1.[九上P35例3改编]怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=-12(x+1)2-1()A.左移1个单位、上移1个单位B.左移1个单位、下移1个单位C.右移1个单位、上移1个单位D.右移1个单位、下移1个单位题组一教材题对点演练B题组二易错题【失分点】二次函数的图象左右平移时在顶点式中加减出现混乱;对于a-b+c=0等特别式子不能挖掘出内在含义.2.将抛物线y=x2-4x+3平移,使平移后图象的顶点为(-2,4),则需将该抛物线()A.先向右平移4个单位,再向上平移5个单位B.先向右平移4个单位,再向下平移5个单位C.先向左平移4个单位,再向上平移5个单位D.先向左平移4个单位,再向下平移5个单位[答案]C[解析]y=x2-4x+3=(x-2)2-1,则抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标为(2,-1),把点(2,-1)先向左平移4个单位,再向上平移5个单位得到点(-2,4),所以将抛物线y=x2-4x+3先向左平移4个单位,再向上平移5个单位,平移后图象的顶点为(-2,4).故选C.3.如图14-2是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()A.b24acB.ac0C.2a-b=0D.a-b+c=0D图14-2考向一二次函数的图象与系数a,b,c的关系例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-3所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根.判断正误:①b2-4ac0;()②abc0;()③a-b+c0;()④m-2.()图14-3[答案]①×[解析]直接利用二次函数图象与x轴的公共点个数以及二次函数与方程之间的关系、函数图象与各系数之间的关系分析.图象与x轴有两个公共点,则b2-4ac0,故①错误;例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-3所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根.判断正误:②abc0;()图14-3[答案]②√[解析]∵图象开口向上,∴a0,∵对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴b0,∵图象与y轴交于x轴下方,∴c0,∴abc0,故②正确;例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-3所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根.判断正误:③a-b+c0;()图14-3[答案]③×[解析]当x=-1时,a-b+c0,故③错误;例1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-3所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根.判断正误:④m-2.()图14-3[答案]④√[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点的纵坐标为-2,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,∴m-2,故④正确.|考向精练|1.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点()A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)[答案]D[解析]此题可将b+c=0代入二次函数,变形得y=x2+b(x-1),若图象一定过某点,则与b无关,令b的系数为0即可,则它的图象一定过点(1,1).故选D.2.[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-4所示,下列结论:①ac0,②b-2a0,③b2-4ac0,④a-b+c0,正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②④图14-4[答案]A[解析]∵抛物线开口向下,且与y轴的正半轴相交,∴a0,c0,∴ac0,故①正确;∵对称轴在-1与-2之间,∴-2-𝑏2𝑎-1,∴4ab2a,∴b-2a0,故②正确;∵抛物线与x轴有两个公共点,∴Δ=b2-4ac0,∴③错误;∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴④错误.∴正确的是①②.故选A.3.[2019·随州]如图14-5所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:①abc0;②a+b+c0;③ac+b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个图14-51214[答案]C[解析]∵抛物线开口向下,∴a0,又对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=1,∴b0,∵抛物线与y轴的交点C在y轴正半轴上,∴c0,∴abc0,故①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的交点A在x轴负半轴上,∴当x=2时,y0,即4a+2b+c0,∴a+12b+14c0,即②正确;∵OA=OC=c,∴A(-c,0),则ac2+b(-c)+c=0,∴ac-b+1=0,∴ac+b+1=ac-b+1+2b=2b0,故③错误;∵A(-c,0),对称轴为直线x=1,∴B(2+c,0),∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,故④正确.综上所述,①②④正确.故选项C正确.4.[2019·广安]二次函数的部分图象如图14-6所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc0;②bc;③3a+c=0;④当y0时,-1x3.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个图14-6[答案]D[解析]①对称轴位于y轴的右侧,则a,b异号,即ab0.抛物线与y轴交于正半轴,则c0,∴abc0.故①正确.②∵抛物线开口向下,∴a0.∵抛物线的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=1,∴b=-2a.∵当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0,而b=-2a,∴c=-3a,∴b-c=-2a+3a=a0,即bc,故②正确.③∵c=-3a,∴3a+c=0,故③正确.④由抛物线的对称性得,抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0).当y0时,-1x3,故④正确.综上所述,正确的结论有4个.故选D.考向二二次函数图象的平移例2[2019·济宁]将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线的解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2[答案]D[解析]y=x2-6x+5=(x-3)2-4,向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得y=(x-3-1)2-4+2,即y=(x-4)2-2.|考向精练|1.[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)·(x-5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位[答案]B[解析]y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16).y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16).所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位得到抛物线y=(x+3)(x-5).故选B.2.要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是()A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位[答案]D[解析]因为y=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以抛物线y=x2+2x+3的顶点为(-1,2),因为抛物线y=x2的顶点为(0,0),所以抛物线y=x2+2x+3应向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到抛物线y=x2.故选D.3.把抛物线y=x2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移3个单位,所得抛物线对应函数的最小值是.-1