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第14课时二次函数的图象和性质(一)考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.y=ax2+bx+ca≠0考点二二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸对称轴直线⑤向下向上x=-𝒃𝟐𝒂(续表)函数a0a0顶点坐标⑥增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”增大减小增大减小(续表)函数a0a0最值二次项系数a的特性|a|的大小决定抛物线的开口大小,|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最⑪值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最⑫值,y最大值=4ac-b24a小大考点三二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与系数的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向⑬a0开口向⑭bb=0对称轴为⑮轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴⑯侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑰侧下上y左右(续表)项目字母字母的符号图象的特征cc=0经过点⑱c0与y轴⑲相交c0与y轴⑳相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有㉑个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(0,0)两负半轴正半轴(续表)项目字母字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=㉒若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=㉓时,y0a-b+c-1考点四二次函数图象的画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=-𝑏2𝑎为对称轴的抛物线.一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:画对称轴→确定顶点位置→确定与x轴,y轴的交点位置→确定与y轴的交点关于对称轴的对称点→用平滑的曲线连接上述各点.考点五二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:㉔.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是㉕.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为㉖.y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)题组一必会题对点演练1.[九下P19习题1.2第6题]二次函数y=2x2-8x+6的图象大致是()A图14-13.[九下P18习题1.2第3(2)题改编]二次函数y=2(x-3)2+5的图象的顶点坐标是.2.[九下P18习题1.2第2(1)题改编]二次函数y=-14x2+3的图象的对称轴是.4.[九下P17例6改编]已知二次函数y=-12x2+2x-1,当x=时,函数值y取得最大值.y轴(3,5)21题组二易错题【失分点】求抛物线对称轴方程、顶点坐标时,符号错误;求二次函数的最值时,忽略自变量取值范围对结果的影响.5.二次函数y=x2-6x-7图象的对称轴为直线;顶点坐标为.6.当-2≤x≤4时,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.x=3(3,-16)160考向一二次函数的图象与性质例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(1)画出该二次函数的图象.(2)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?(4)若点P1(1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)都在该二次函数的图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.解:(1)略.解:(2)∵y=-12x2+x+4=-12(x-1)2+92,∴抛物线开口向下,顶点坐标为1,92,对称轴为直线x=1.例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(2)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?解:(3)当x1时,y随x的增大而增大;当x≥1时,y随x的增大而减小.解:(4)y1y2y3.例1已知二次函数y=-12x2+x+4.(4)若点P1(1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)都在该二次函数的图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.|考向精练|1.[2019·衢州]二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是()A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)2.[2019·重庆B卷]抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是()A.直线x=2B.直线x=-2C.直线x=1D.直线x=-1AC3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax2+bx+3,得𝑎-𝑏+3=6,𝑎+𝑏+3=2,解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,得1-𝑏+𝑐=-2,1+𝑏+𝑐=2,解得b=2是正确的,∴y=x2+2x+3.3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…解:(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,∵二次项系数为1,故抛物线开口向上,∴当x≥-1时,y的值随x值的增大而增大.故答案为≥-1.3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…解:(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4(3-k)0,解得k2.考向二二次函数的系数与图象之间的关系例2[2019·广安]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图14-2所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc0;②bc;③3a+c=0;④当y0时,-1x3.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个图14-2[答案]D[解析]①对称轴位于y轴的右侧,则a,b异号,即ab0.抛物线与y轴交于正半轴,则c0.∴abc0,故①正确;②抛物线开口向下,∴a0.∵抛物线的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=1,∴b=-2a.∵x=-1时,y=0,∴a-b+c=0,而b=-2a,∴c=-3a,∴b-c=-2a+3a=a0,即bc,故②正确;③∵c=-3a,∴3a+c=0.故③正确;④由抛物线的对称性质得到:抛物线与x轴的另一交点坐标是(3,0),∴当y0时,-1x3,故④正确.综上所述,正确的结论有4个.|考向精练|1.[2019·绵阳]如图14-3,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0x11.下列四个结论:①abc0;②2a-c0;③a+2b+4c0;④4𝑎𝑏+𝑏𝑎-4,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4图14-3[答案]C[解析]①∵抛物线对称轴在y轴的右侧,a0,∴b0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c0,∴abc0,∴①正确;②∵图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0x11,∴2+02-𝑏2𝑎2+12,∴1-𝑏2𝑎32,当-𝑏2𝑎32时,b-3a,∵当x=2时,y=4a+2b+c=0,∴b=-2a-12c,∴-2a-12c-3a,∴2a-c0,故②正确;③当x=12时,y的值为14a+12b+c,14a+12b+c乘以4,即可化为a+2b+4c,∵抛物线的对称轴1-𝑏2𝑎32,∴x=12关于对称轴对称点的横坐标在32和52之间,由图象可知在32和2之间y为负值,2和52之间y为正值,∴a+2b+4c与0的关系不能确定,故③错误;④∵-𝑏2𝑎1,∴2a+b0,∴(2a+b)20,4a2+b2+4ab0,4a2+b2-4ab,∵a0,b0,∴ab0,∴4𝑎2+𝑏2𝑎𝑏-4,即4𝑎𝑏+𝑏𝑎-4,故④正确.故选C.2.[2019·荆门]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1m3,n0),下列结论:①abc0;②3a+c0;③a(m-1)+2b0;④a=-1时,存在点P使△PAB为直角三角形.其中正确结论的序号为.[答案]②③[解析]∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-1,0),B(m,0),∴𝑚-12=-𝑏2𝑎,∴-𝑏𝑎=m-1,∵1m3,∴-𝑏𝑎0,∴ab0,又∵抛物线y=ax2+bx+c过C(-2,n),n0,可画出大致图象,得a0,∴b0,∵a-b+c=0,∴c=b-a0,abc0,①错误;当x=3时,y0,∴9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)0,②正确;∵-𝑏𝑎=m-1,∴a(m-1)=-b,∴a(m-1)+2b=-b+2b=b0,③正确;a=-1时,y=-x2+bx+c,∴P𝑏2,b+1+𝑏24,若△PAB为直角三角形,则△PAB为等腰直角三角形,∴b+1+𝑏24=𝑏2+1,∴b=0或-2,∵b0,∴不存在点P使△PAB为直角三角形.④错误.故答案为②③.考向三求二次函数的表达式例3(1)已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),求这个二次函数的表达式.(2)已知抛物线的顶点坐标为(2,-3),与y轴交于点(0,-1),求这条抛物线的表达式.(3)抛物线与x轴交于点(1,0)和(3,0),且图象经过点(0,3),求抛物线的表达式.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,依题意得𝑎-𝑏+𝑐=-5,𝑐=-4,𝑎+𝑏+𝑐=1,解得𝑎=