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第13课时反比例函数及其应用考点一反比例函数的概念考点聚焦【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).一般地,如果两个变量可以表示成y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,y是函数.x≠0考点二反比例函数的图象与性质一般形式k的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值k(续表)k的符号k②0k③0增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题增大减小原点1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.考点三反比例函数比例系数k的几何意义2.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧=⑨S△APP1|𝒌|𝟐|k|2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.题组一必会题对点演练1.[九上P12习题1.2第4(2)题改编]已知点(-2,y1),(-3,y2)在函数y=-2𝑥的图象上,则()A.y1y2B.y1=y2C.y1y2D.y1与y2无法比较大小A2.[九上P13习题1.2第7题改编]在同一直角坐标系中,函数y=kx与y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象可能是()A图13-1(3,-4)3.[九上P11例3改编]已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交于点P(-3,4),则它们的另一个交点坐标是.4.[九上P13习题1.2第6题改编]如图13-2,点A在反比例函数的图象上,AC⊥x轴于点C,且△AOC的面积为2,则反比例函数的表达式为.图13-2y=𝟒𝒙题组二易错题【失分点】根据反比例函数定义求待定字母的值时,忽视比例系数不能为0这一重要条件;运用反比例函数性质时忽视“在每个象限内”这个前提条件;画实际问题中反比例函数图象时,不注意自变量的取值范围.5.若函数y=(m-1)𝑥𝑚2-2为反比例函数,则m的值为()A.±1B.1C.3D.-1D6.已知反比例函数y=-3𝑥,下列结论不正确的是()A.图象必经过点(-1,3)B.若x1,则-3y0C.图象在第二、四象限内D.y随x的增大而增大D7.已知点(x1,y1),(x2,y2)是反比例函数y=2𝑥图象上的点,若x1x20,则一定成立的是()A.y2y10B.y10y2C.0y1y2D.y20y1A8.红星中学冬季储煤120吨,若每天用煤x吨,则使用天数y与x的函数关系的大致图象是()A图13-3考向一反比例函数的图象和性质例1(1)[2019·海南]如果反比例函数y=𝑎-2𝑥(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是()A.a0B.a0C.a2D.a2D(2)[2019·黔三州]若点A(-4,y1),B(-2,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=-1𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y1y3y2[答案](2)C[解析]如图:y2y1y3,故选C.【方法点析】(1)反比例函数的图象与性质是由k的正负决定的,在叙述反比例函数的性质时,必须要分象限说明;(2)利用反比例函数的性质比较大小时,要先判断各点是在同一象限内还是在不同象限内,在同一象限内可根据反比例函数的性质比较大小,不在同一象限内可根据纵坐标的正、负进行比较,更直观的方法是利用反比例函数的图象进行比较.|考向精练|1.[2019·柳州]反比例函数y=2𝑥的图象位于()A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限A2.[2018·天津]若点A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数y=12𝑥的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1x2x3B.x2x1x3C.x2x3x1D.x3x2x1B3.[2018·益阳]若反比例函数y=2-𝑘𝑥的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是.k24.[2017·海淀一模]如图13-4,在平面直角坐标系xOy中,A(1,1),B(2,2),双曲线y=𝑘𝑥与线段AB有公共点,则k的取值范围是.图13-41≤k≤4考向二求反比例函数的表达式例2已知反比例函数y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).(1)求这个函数的表达式;(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;(3)当-3x-1时,求y的取值范围.解:(1)∵反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点A(2,3),把点A(2,3)的坐标代入表达式,得3=𝑘2,解得k=6,∴这个函数的表达式为y=6𝑥.例2已知反比例函数y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;解:(2)点B不在函数图象上,点C在函数图象上.理由:分别把点B,C的坐标代入y=6𝑥,可知点B的坐标不满足函数表达式,点C的坐标满足函数表达式,∴点B不在这个函数的图象上,点C在这个函数的图象上.例2已知反比例函数y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).(3)当-3x-1时,求y的取值范围.解:(3)∵当x=-3时,y=-2;当x=-1时,y=-6.又由k0知,在x0时,y随x的增大而减小,∴当-3x-1时,-6y-2.|考向精练|[2019·吉林]已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.(1)求y关于x的函数解析式;(2)当x=4时,求y的值.解:(1)∵y是x的反比例函数,∴设y=𝑘𝑥(k≠0),∵当x=2时,y=6,∴k=xy=12,∴y关于x的函数解析式为y=12𝑥.[2019·吉林]已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.(2)当x=4时,求y的值.解:(2)当x=4时,代入y=12𝑥得,y=124=3.例3(1)[2019·巴中]如图13-5,反比例函数y=𝑘𝑥(x0)经过A,B两点,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,连接AD,已知AC=1,BE=1,S矩形BDOE=4,则S△ACD=.图13-5考向三反比例函数y=𝒌𝒙中k的几何意义[答案](1)32[解析]如图,连接AO,由反比例函数的比例系数k的几何意义可知,S△AOC=12S矩形BDOE=2,因为AC=1,所以CO=4,因为DO=BE=1,所以CD=3,所以S△ACD=32.(2)[2019·随州]如图13-6,矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上,D为AB的中点,反比例函数y=𝑘𝑥(k0,x0)的图象经过点D,且与BC交于点E,连接OD,OE,DE,若△ODE的面积为3,则k的值为.图13-6[答案](2)4[解析]如图,过点D作DH⊥OC于点H,交OE于点M.∵反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象经过点D,E,∴S△ODH=S△OEC=𝑘2,∴S△ODH-S△OMH=S△OEC-S△OMH,即S△OMD=S四边形EMHC,∴S△ODE=S梯形DHCE=3,设D(m,n),∵D为AB的中点,∴B(2m,n),∵反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象经过点D,E,∴E2m,𝑛2,∴S梯形DHCE=12𝑛2+nm=3,∴mn=4,∴k=4.|考向精练|1.[2019·无锡]如图13-7,已知A为反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B.若△OAB的面积为2,则k的值为()A.2B.-2C.4D.-4图13-7D2.[2019·兰州]如图13-8,矩形OABC的顶点B在反比例函数y=𝑘𝑥(k0,x0)的图象上,S矩形OABC=6,则k=.图13-86考向四反比例函数与一次函数的综合题例4[2019·贺州]已知ab0,一次函数y=ax-b与反比例函数y=𝑎𝑥在同一直角坐标系中的图象可能是()图13-9[答案]A[解析]若反比例函数的图象经过第一、三象限,则a0,所以b0.则一次函数y=ax-b的图象应该经过第一、二、三象限;若反比例函数的图象经过第二、四象限,则a0,所以b0.则一次函数y=ax-b的图象应该经过第二、三、四象限.故选项A正确.例5[2019·常德]如图13-10,一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标.图13-10解:(1)∵A(1,a)在y=-x+3的图象上,∴a=-1+3=2,把A(1,2)代入y=𝑘𝑥中,得k=2,∴反比例函数解析式为y=2𝑥.例5[2019·常德]如图13-10,一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标.图13-10解:(2)∵点P在x轴上,∴设P(m,0),∵S△APC=12PC×2,∴5=12PC×2,∴PC=5.∵y=-x+3,当y=0时,x=3,∴C(3,0),∴m-3=5或3-m=5,即m=8或-2,∴点P的坐标为(8,0)或(-2,0).|考向精练|[2019·陇南]如图13-11,已知反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点.(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)已知点P(a,0)(a0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M,交反比例函数y=𝑘𝑥的图象于点N.若PMPN,结合函数图象直接写出a的取值范围.图13-11解:(1)∵反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于点A(1,3),∴3=𝑘1,3=-1+b,∴k=3,b=4,∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3𝑥,y=-x+4.[2019·陇南]如图13-11,已知反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点.(2)已知点P(a,0)(a0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M,交反比例函数y=𝑘𝑥的图象于点N.若PMPN,结合函数图象直接写出a的取值范围.图13-11解:(2)由图象可得:当1a3时,PMPN.考向五反比例函数的实际应用例6[2018·乐山]某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜,图13-12是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB,BC表示恒温系统开启