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第13课时二次函数的图象与性质(一)考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.y=ax2+bx+c【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.a≠0函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口③,并向上无限延伸开口④,并向下无限延伸对称轴直线⑤顶点坐标⑥考点二二次函数的图象与性质向上向下x=-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0增减性在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑧,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑨;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑩,简记为“左增右减”（续表）减小增大增大减小函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最值,y最大值=4ac-b24a二次项系数a的特性𝑎的大小决定抛物线的开口大小,𝑎越大,抛物线的开口越小;𝑎越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c（续表）小大考点三二次函数图象的画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎为顶点,以直线x=-𝑏2𝑎为对称轴的抛物线.一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:画对称轴→确定顶点位置→确定与x轴,y轴的交点位置→确定与y轴的交点关于对称轴的对称点→用平滑的曲线连接上述各点.考点四二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:⑬.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是⑭.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为⑮.y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)题组一教材题对点演练1.[九上P41习题22.1第7题]填空:(1)已知函数y=2(x+1)2+1,当x时,y随x的增大而减小,当x时,y随x的增大而增大;(2)已知函数y=-2x2+x-4,当x时,y随x的增大而增大,当x时,y随x的增大而减小.-1-1𝟏𝟒𝟏𝟒2.[九上P41习题22.1第6(1)题改编]抛物线y=-3x2+12x-3的开口向,对称轴是直线,顶点坐标是.下x=2(2,9)[答案]x=1[解析]方法一:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),∴抛物线的解析式可设为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),即y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a≠0),∴抛物线的对称轴是直线x=1.3.[九上P47习题22.2第4题改编]抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),这条抛物线的对称轴是直线.方法二:∵抛物线关于其对称轴对称,且其对称轴直线x=h与x轴垂直,∴对称轴必过点(-1,0),(3,0)的对称中心,则h-(-1)=3-h,得h=-1+32=1,即抛物线的对称轴是直线x=1.4.[九上P40练习第2题改编]一个二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,这个二次函数的解析式是.y=4x2+5x题组二易错题【失分点】二次函数图象的顶点坐标公式中横坐标的符号选取记忆混乱;二次函数求最值忽视自变量取值范围对结果的影响.5.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,则h=,k=.[答案]12[解析]y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,则h=1,k=2,故答案为:1;2.6.在-2≤x≤4这个范围内,二次函数y=x2的最大值是,最小值是.160考向一二次函数的图象与性质例1已知抛物线y=12x2+x-52.(1)用配方法求抛物线的顶点坐标;(2)函数有最大值还是最小值?求最大或最小值;(3)x取何值时,y随x的增大而减小?(4)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴的交点为C,求S△ABC.解:(1)∵y=12x2+x-52=12(x2+2x)-52=12(x2+2x+1-1)-52=12(x2+2x+1)-12−52=12(x+1)2-3,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-3).例1已知抛物线y=12x2+x-52.(2)函数有最大值还是最小值?求最大或最小值;(2)函数有最小值.当x=-1时,y有最小值-3.例1已知抛物线y=12x2+x-52.(3)x取何值时,y随x的增大而减小?(3)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,∴当x-1时,y随x的增大而减小.例1已知抛物线y=12x2+x-52.(4)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴的交点为C,求S△ABC.(4)令y=0,即12x2+x-52=0,解得x1=6-1,x2=-6-1,∴AB=26,易知点C坐标为0,-52,∴S△ABC=12×26×52=562.|考向精练|1.[2017·长沙8题]抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)A2.[2018·成都]关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3D3.[2019·兰州]已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2y1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12A4.二次函数y=x2-ax+b的图象如图13-1所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是()A.a=4B.当b=-6时,顶点的坐标为(2,-10)C.b-5D.当x3时,y随x的增大而增大图13-1[答案]C[解析]选项A,由对称轴为直线x=2可得--𝑎2=2,∴a=4,正确;选项B,把a=4,b=-6代入解析式可得y=x2-4x-6,当x=2时,y=-10,∴顶点的坐标为(2,-10),正确;选项C,由图象可知,x=-1时,y0,代入解析式得b-5,∴错误;选项D,由图象可以看出当x3时,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,正确,故选C.考向二二次函数的解析式的确定例2[2019·原创]根据下列条件求解析式.(1)抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,0),,两点,试求抛物线的解析式;(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求二次函数解析式;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.(用两种方法)解:(1)由题意得4𝑎-2𝑏+2=0,𝑎+𝑏+2=92,解得𝑎=12,𝑏=2,∴抛物线的解析式为y=12x2+2x+2.C1,92例2[2019·原创]根据下列条件求解析式.(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求二次函数解析式;(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0).∵二次函数的图象过点B(2,-5),∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.∴二次函数的解析式是y=-(x+1)2+4.例2[2019·原创]根据下列条件求解析式.(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.(用两种方法)方法二:由题意知𝑎-𝑏+𝑐=0,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,𝑐=-3,解得𝑎=1,𝑏=-2,𝑐=-3,∴y=x2-2x-3.(3)方法一:设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入,得a×1×(-3)=-3,解得a=1,∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.【方法点析】(1)当已知抛物线上三点坐标求二次函数的解析式时,一般采用一般式y=ax2+bx+c(a≠0).(2)当已知抛物线的顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求二次函数的解析式时,一般采用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0).(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时,一般采用两点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).|考向精练|1.如图13-2,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.图13-2解:(1)∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,∴Δ=4a2-4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,∴抛物线对应的函数解析式为y=x2+2x+1.(2)∵y=x2+2x+1=(x+1)2,∴顶点A的坐标为(-1,0).∵点C是线段AB的中点,即点A与点B关于点C对称,∴点B的横坐标为1,当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4),设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b,把A(-1,0),B(1,4)代入,得-𝑘+𝑏=0,𝑘+𝑏=4,解得𝑘=2,𝑏=2,∴直线AB对应的函数解析式为y=2x+2.1.如图13-2,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(2)求直线AB对应的函数解析式.图13-2图13-32.[2019·宁波]如图13-3,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标.(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.解:(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,解得a=2,∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴图象的顶点坐标为(-1,2).图13-32.[2019·宁波]如图13-3,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.(2)①把x=2代入y=x2+2x+3,得y=11,∴当m=2时,n=11.②n的取值范围为2≤n11.[解析]当点Q到y轴的距离小于2时,即-2m2,函数可以取得最小值2,当x=-2时,y=3,当x=2时,y=11,∴n的取值范围为2≤n11.图13-43.[2019·泰州]如图13-4,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tan∠ABC.解:(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),所以设该二次函数表达式为y=a(x-4)2-3,因为图象与x轴相交于点A,点A的坐标为(1,0),把点A的坐标代入y=a(x-4)2-3,解得a=13,所以y=13(x-4)2-3.(2)在y=13(x-4)2-3中,令x=0,得y=73,所以C0,73,OC=73,令y=0,