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第11课时一次函数及其应用考点一一次函数的概念考点聚焦1.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.考点二一次函数的图象与性质k0k0图象经过的象限b0b=0b0b0b=0b0一、二、三一、三①②③二、三、四一、三、四一、二、四二、四（续表）增大减小增减性y随x的增大而④y随x的增大而⑤总结(1)直线y=kx+b(k≠0)可由直线y=kx(k≠0)平移得到;(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,k决定函数的增减性,b决定直线与y轴交点的纵坐标;(3)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,⑥)和(⑦,0)的一条直线,所以直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为S=12-bk·|b|;(4)直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1=k2且b1≠b2b-𝒃𝒌考点三一次函数的解析式的确定1.方法:待定系数法2.步骤:(1)设:设函数解析式y=kx+b(k≠0);(2)列:找出直线上两点的坐标,分别代入y=kx+b,得到关于k,b的方程组;(3)解:解方程组,求得k,b的值;(4)依据k,b的值,写出一次函数的解析式.考点四一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系1.一次函数与一次方程(组)的关系(1)一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程.(2)方程kx+b=0的解⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象与⑧轴交点的横坐标⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y=⑨时x的值;(3)如图11-1,已知两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2的图象,则:二元一次方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解𝑥=𝑚,𝑦=𝑛⇔两个一次函数图象的交点B的坐标,即B(m,n).图11-1x02.一次函数与不等式的关系(1)不等式kx+b0(kx+b0)的解集⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y⑩0(y⑪0)时x的取值;(2)如图11-1,不等式k1x+b1k2x+b2的解集是xm;不等式k1x+b1≤k2x+b2的解集是⑫.x≤m图11-1考点五一次函数的应用1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定自变量的取值范围.2.[八下P99习题19.2第7题改编]已知一次函数的图象经过点(-4,9)和点(6,3),则这个函数的解析式是.1.[八下P93练习第1题]直线y=2x-3与x轴交点坐标为,与y轴交点坐标为,图象经过象限,y随x的增大而.题组一教材题对点演练(0,-3)第一、三、四𝟑𝟐,𝟎增大y=-𝟑𝟓x+𝟑𝟑𝟓3.[八下P108复习题19第8题改编]匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图11-2所示(图中OABC为一折线),则图A对应图,图B对应图,图C对应图.(3)图11-2(1)(2)4.[八下P109复习题19第13题改编]一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4min内只进水不出水,在随后的8min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图11-3所示.(1)当0≤x≤4时,y关于x的函数解析式是;(2)当4x≤12时,y关于x的函数解析式是;(3)每分钟进水L,出水L.图11-3y=5xy=𝟓𝟒x+155𝟏𝟓𝟒5.[八下P99习题19.2第9题]点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为(6,0).设△OPA的面积为S.(1)用含x的式子表示S,写出x的取值范围,画出函数S的图象.(2)当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为多少?(3)△OPA的面积能大于24吗?为什么?解:(1)∵点A和点P的坐标分别是(6,0),(x,y),且点P在第一象限,∴△OPA的面积=12OA·|yP|,即S=12×6×|y|=3y.∵x+y=8,∴y=8-x,∴S=3(8-x)=24-3x.∵S=-3x+240,∴x8.∵点P在第一象限,∴x0,即x的取值范围为0x8.∵S=-3x+24,∴S是x的一次函数,且函数图象经过点(8,0),(0,24).所画图象如下:5.[八下P99习题19.2第9题]点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为(6,0).设△OPA的面积为S.(2)当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为多少?(2)∵S=-3x+24,∴当x=5时,S=-3×5+24=9,∴当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为9.5.[八下P99习题19.2第9题]点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为(6,0).设△OPA的面积为S.(3)△OPA的面积能大于24吗?为什么?(3)△OPA的面积不能大于24.理由如下:∵S=-3x+24,-30,∴S随x的增大而减小.又∵当x=0时,S=24,∴当0x8时,S24,即△OPA的面积不能大于24.题组二易错题【失分点】忽视分类或分类不全而致错;忽视一次函数的性质而致错;平移方向弄反.6.已知一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则k=.±𝟏𝟐k0,b≥07.如果一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限,那么k,b的取值范围分别为.1或98.已知一次函数y=kx+b,且当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则k+b的值为.9.将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数表达式为.y=2x-2考向一一次函数的图象与性质例1[2019·临沂]下列关于一次函数y=kx+b(k0,b0)的说法错误的是()A.图象经过第一、二、四象限B.y随x的增大而减小C.图象与y轴交于点(0,b)D.当x-𝑏𝑘时,y0[答案]D[解析]∵y=kx+b(k0,b0),∴图象经过第一、二、四象限,A正确;∵k0,∴y随x的增大而减小,B正确;当x=0时,y=b,∴图象与y轴的交点为(0,b),C正确;当y=0时,x=-𝑏𝑘,当x-𝑏𝑘时,y0,D不正确.故选D.【方法点析】k和b的符号作用:k的符号决定函数的增减性,当k0时,y随x的增大而增大;当k0时,y随x的增大而减小.b的符号决定函数图象与y轴的交点在x轴上方还是下方(上正,下负).|考向精练|1.[2015·长沙9题]一次函数y=-2x+1的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C图11-42.[2019·杭州]已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),则函数y1和y2的图象可能是()A[答案]A[解析]一次函数y=kx+b-x即为y=(k-1)x+b.∵函数值y随x的增大而增大,∴k-10,解得k1;∵图象与x轴的正半轴相交,∴-𝑏𝑘-10,∴b0.故选A.3.已知一次函数y=kx+b-x的图象与x轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则k,b的取值情况为()A.k1,b0B.k1,b0C.k0,b0D.k0,b0例2[2019·原创]根据下列条件,确定一次函数的解析式.(1)将直线y=2x-1向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后得到的直线的函数解析式为;(2)图象平行于直线y=2x-1,且过点(1,3);(3)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;(4)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.考向二用待定系数法求一次函数解析式y=2x-1例2[2019·原创]根据下列条件,确定一次函数的解析式.(2)图象平行于直线y=2x-1,且过点(1,3);(2)∵图象平行于直线y=2x-1,∴k=2.设函数解析式为y=2x+b,将(1,3)代入得3=2×1+b,∴b=1,∴y=2x+1.例2[2019·原创]根据下列条件,确定一次函数的解析式.(3)图象经过点(2,-1)且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;(3)∵图象与直线y=-12x+3相交于y轴上同一点,∴图象与y轴交于点(0,3).设函数解析式为y=kx+3.将(2,-1)代入得-1=2k+3,∴k=-2,∴y=-2x+3.例2[2019·原创]根据下列条件,确定一次函数的解析式.(4)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.(4)直线y=2x+b与x轴的交点坐标为-𝑏2,0,与y轴的交点坐标为(0,b).由题意得12·|b|·-𝑏2=4,∴𝑏24=4,∴b2=16,∴b=±4,∴y=2x+4或y=2x-4.|考向精练|1.如图11-5,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.图11-5解:(1)∵点A(2,0),∴OA=2.在Rt△AOB中,OB=𝐴𝐵2-𝑂𝐴2=13-4=3,∴点B的坐标是(0,3).(2)∵△ABC的面积为4,∴12BC·OA=4,∴BC=4,∴OC=BC-OB=4-3=1,∴点C的坐标为(0,-1).设直线l2的解析式为y=kx+b,把(2,0)和(0,-1)代入y=kx+b,得2𝑘+𝑏=0,𝑏=-1,解得𝑘=12,𝑏=-1,∴直线l2的解析式是y=12x-1.1.如图11-5,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.图11-5图11-62.[2019·江西]如图11-6,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为-32,0,32,1,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.(1)求点C的坐标;(2)求线段BC所在直线的解析式.解:(1)如图所示,过点B作BD⊥x轴于点D.∵点A,B的坐标分别为-32,0,32,1,∴AD=32--32=3,BD=1,∴AB=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=(3)2+12=2,tan∠BAD=𝐵𝐷𝐴𝐷=13=33,∴∠BAD=30°.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AC=AB=2,∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=30°+60°=90°,∴点C的坐标为-32,2.图11-62.[2019·江西]如图11-6,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为-32,0,32,1,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.(2)求线段BC所在直线的解析式.(2)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b.∵点C,B的坐标分别为-32,2,32,1,∴-32𝑘+𝑏=2,32𝑘+𝑏=1,解得𝑘=-33,𝑏=32,∴线段BC所在直线的解析式为y=-33x+32.考向三一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系例3如图11-7,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则(1)关于x的方程x+b=kx+6的解是;(2)方程组𝑦=𝑥+𝑏,𝑦=𝑘𝑥+6的解为;(3)关于x的不等式x+bkx+6的解集是;(4)关于x的不等式x+bkx+6的解集是.图11-7x=3𝒙=𝟑,𝒚=𝟓x3x3【方法点析】(1)两直线交点的坐标是这两条直线的解析式组成的方程组的解,反之也成立;(2)两函数图象交点处两函数值相等,从交点处分界,哪