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第10课时图形与坐标考点一平面直角坐标系内点的坐标特征考点聚焦1.各象限内点的坐标的符号特征(如图10-1)图10-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的特征(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.xx=y=03.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横横纵y=-x5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.(x,-y)图10-2(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮(x,y+b)(或(x,y-b))1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=⑱.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=⑲;PQ∥y轴⇔PQ=⑳.考点二点到坐标轴的距离|x1-x2|𝒙𝟐+𝒚𝟐|y|(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐+(𝒚𝟏-𝒚𝟐)𝟐|y1-y2|考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.题组一必会题对点演练1.[八下P89习题3.1第3题]如图10-3,象棋盘上若“帅”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),则“炮”位于点()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-2,2)C图10-32.[八下P86练习第1(2)题改编]下列各点中,在第四象限的点是()A.P(-2,-1)B.Q(3,-2)C.S(2,5)D.T(-4,3)3.[八下P97练习第1(2)题改编]点A(-5,3)关于y轴对称的点的坐标是()A.(5,-3)B.(5,3)C.(-5,-3)D.(-3,5)BB4.[八下P99练习第1(1)题]点A(-1,2)向右平移2个单位长度,平移后A点对应的点的坐标是.5.[八下P106复习题3第8题改编]如图10-4,△ABC的顶点坐标分别为A(6,6),B(-3,3),C(3,3),则△ABC的面积为.(1,2)图10-496.点P是第三象限内的点,且点P到x轴的距离为4,到y轴的距离为3,则点P的坐标是()A.(-4,3)B.(4,-3)C.(-3,-4)D.(3,-4)题组二易错题【失分点】用坐标表示位置时,忽略横、纵坐标特征导致出错;错误地认为P(x,y)到x轴的距离为│x│,到y轴的距离为│y│;混淆图形的变化与点的坐标的关系.C7.如果点P(m+3,m+1)在x轴上,那么点P的坐标为()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)8.点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为()A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)9.点P(2,-5)关于y轴对称的点的坐标为()A.(-2,5)B.(2,5)C.(-2,-5)D.(2,-5)BAC考向一坐标平面内点的坐标特征例1(1)若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(-a,b+1)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)点P(x-2,x+3)在第一象限,则x的取值范围是.[答案](1)A[解析]∵点A(a+1,b-2)在第二象限,∴a+10,b-20,解得a-1,b2,∴-a0,b+10,即点B(-a,b+1)在第一象限,故选A.x2|考向精练|1.[2019·株洲]在平面直角坐标系中,点A(2,-3)位于哪个象限()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D2.[2019·金华]如图10-5是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标,其中对目标A的位置表述正确的是()A.在南偏东75°方向处B.在5km处C.在南偏东15°方向5km处D.在南偏东75°方向5km处图10-5D考向二平面直角坐标系中点的平移与对称例2(1)[2019·杭州]在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则()A.m=3,n=2B.m=-3,n=2C.m=2,n=3D.m=-2,n=3(2)[2019·滨州]在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点B,则点B的坐标是()A.(-1,1)B.(3,1)C.(4,-4)D.(4,0)BA|考向精练|1.[2019·常德]点(-1,2)关于原点的对称点的坐标是()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(1,2)D.(2,-1)B2.[2019·黄冈]已知点A的坐标为(2,1),将点A向下平移4个单位长度,得到的点A'的坐标是()A.(6,1)B.(-2,1)C.(2,5)D.(2,-3)D3.[2019·滨州]已知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()图10-6[答案]C[解析]∵点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,∴点P(a-3,2-a)在第二象限,∴𝑎-30,2-𝑎0,解得𝑎3,𝑎2,∴不等式组的解集是a2,在数轴上表示如选项C所示.故选C.4.[2018·泰安]如图10-7,将正方形网格放置在平面直角坐标系中,其中每个小正方形的边长均为1,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,若AC上一点P(1.2,1.4)平移后对应点为P1,点P1绕原点顺时针旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为()A.(2.8,3.6)B.(-2.8,-3.6)C.(3.8,2.6)D.(-3.8,-2.6)A图10-7考向三简单图形的坐标表示例3如图10-8,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点,若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为.图10-8[答案](2,4),(2.5,4),(8,4),(3,4)[解析]过P作PM⊥OA于M,矩形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,所以OD=5.(1)当点D为顶角的顶点时,OD=PD=5,易得MD=3,从而CP=2或CP'=8,∴P(2,4)或(8,4).(2)当点P为顶角的顶点时,OP=PD,故PM是OD的垂直平分线,∴P(2.5,4).(3)当点O为顶角的顶点时,OP=OD=5,CO=4,易得CP=3,∴P(3,4).综上所述,点P的坐标为(2,4),(2.5,4),(8,4),(3,4).1.[2019·陇南]中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图10-9,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,-2),“马”位于点(4,-2),则“兵”位于点.|考向精练|(-1,1)图10-92.已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为.[答案](-a-2,-b)或(-a+2,-b)[解析]如图.∵A,C两点关于坐标原点对称,且A(a,b),∴C(-a,-b).∵平行四边形ABCD的一边AB与x轴平行且AB=2,∴CD=2.∴当点B在点A的右侧时,D(-a-2,-b);当点B在点A的左侧时,D(-a+2,-b).考向四平面直角坐标系中点的坐标规律探究例4[2019·娄底]如图10-10,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为120°的𝐴𝐵多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A(A为坐标原点)出发,以每秒23π米的速度沿曲线向右运动,则在第2019秒时点P的纵坐标为()A.-2B.-1C.0D.1图10-10[答案]B[解析]半径为2米,圆心角为120°的弧长为:120π×2180=4π3(米),∵点P从原点A出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒23π米,∴当点P从原点A出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为1秒时,点P的坐标为(3,1),运动时间为2秒时,点P的坐标为(23,0),运动时间为3秒时,点P的坐标为(33,-1),运动时间为4秒时,点P的坐标为(43,0),运动时间为5秒时,点P的坐标为(53,1),运动时间为6秒时,点P的坐标为(63,0),…,根据图象可得每移动4秒完成一个循环.∵2019÷4=504……3,∴在第2019秒时点P的横坐标为20193,纵坐标为-1.故答案为B.【方法点析】解决以循环为特征的规律探索性问题,首先从第一个图形进行分析,运用从特殊到一般的探索方式,如果以m次为一个循环,那么第n次的情形与n÷m的余数的情形是相同的,整除时与第m次情形相同.1.如图10-11,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过第2020次运动后,动点P的坐标是.|考向精练|图10-11[答案](2020,0)[解析]∵动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),∴第4次接着运动到点(4,0),第5次接着运动到点(5,1),…,∴横坐标为运动次数,纵坐标为1,0,2,0,每4次一个循环,∴经过第2020次运动后,动点P的横坐标为2020,∵2020÷4=505,故纵坐标为四个数中第四个,即为0,∴经过第2020次运动后,动点P的坐标是:(2020,0).2.如图10-12,正方形A1A2A3A4,正方形A5A6A7A8,正方形A9A10A11A12,…(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向,依次记为A1,A2,A3,A4;A5,A6,A7,A8;A9,A10,A11,A12;…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6,…,则顶点A20的坐标为.图10-12[答案](5,-5)[解析]∵204=5,∴A20在第四象限,∵A4所在正方形的边长为2,∴A4的坐标为(1,-1),同理可得A8的坐标为(2,-2),A12的坐标为(3,-3),∴A20的坐标为(5,-5).