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第10课时平面直角坐标系与函数考点一平面直角坐标系内点的坐标特征考点聚焦1.各象限内点的坐标的符号特征(如图10-1):图10-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的坐标特征:(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0xx=y=0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横横纵y=-x5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.图10-2(x,-y)(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮(x,y+b)(或(x,y-b))考点二点到坐标轴的距离1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若点P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=⑱.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=⑲;PQ∥y轴⇔PQ=⑳.|y|𝒙𝟐+𝒚𝟐(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐+(𝒚𝟏-𝒚𝟐)𝟐|x1-x2||y1-y2|考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.考点四函数基础知识1.函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.2.函数的三种表示方法:㉑法、㉒法和㉓法.3.描点法画函数图象的一般步骤:㉔→㉕→㉖.解析式列表图象列表描点连线函数表达式的形式自变量的取值范围举例分式型使分母㉗的实数若y=1x,则x≠0二次根式型使被开方数㉘的实数若y=x,则x≥0分式与二次根式结合型使分母不为0且使被开方数大于或等于0的实数若y=xx-1,则x≥0且x≠1不为0大于或等于04.自变量的取值范围【温馨提示】实际问题中自变量的取值还要符合变量的实际意义.题组一教材题对点演练[答案]C[解析]由题意可知此题平移规律是(x+2,y+3),照此规律计算可知原三个顶点(-1,4),(-4,-1),(1,1)平移后的对应点的坐标是(1,7),(-2,2),(3,4).1.[七下P79习题7.2第4题]如图10-3,将三角形向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则平移后三个顶点的坐标是()A.(2,2),(3,4),(1,7)B.(-2,2),(4,3),(1,7)C.(-2,2),(3,4),(1,7)D.(2,-2),(3,3),(1,7)图10-32.[七下P71习题7.1第10题改编]在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点,写出它们在第几象限或哪条坐标轴上.(1)点P(x,y)的坐标满足xy0,点P在第象限;(2)点P(x,y)的坐标满足xy0,点P在第象限;(3)点P(x,y)的坐标满足xy=0,点P在轴上.一或三二或四x或y3.[八下P83习题19.1第9题改编]已知张强家、体育场、文具店在同一直线上.图10-4中的图象反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示张强离家的距离.根据图象回答下列问题:(1)体育场离张强家km,张强从家到体育场用了min;(2)体育场离文具店km;(3)张强在文具店停留了min;(4)张强从文具店回家的平均速度是km/min.图10-42.515120𝟑𝟕𝟎题组二易错题【失分点】对坐标系中四个象限及坐标轴特征理解不清;不能准确理解函数图象中各段图象所代表的具体含义.4.已知点P(1-a,2a+6)在第四象限,则a的取值范围是()A.a-3B.-3a1C.a-3D.a1[答案]A[解析]由第四象限的点的坐标的符号特征为(+,-),得1-a0,2a+60,解得a-3.5.如图10-5,在物理实验课上,老师用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直到铁块完全露出水面一定高度,则能反映弹簧秤的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是()图10-6图10-5[答案]C[解析]铁块完全在水中时,排开水的体积不变,故此铁块完全在水中时,浮力不变,读数y不变;当铁块逐渐浮出水面的过程中排开水的体积逐渐变小,浮力逐渐减小,拉力变大,读数y变大;当铁块完全浮出水面时,排开水的体积不变,故浮力、拉力不变,此时读数y不变.故选择C.考向一坐标平面内点的坐标特征例1[2019·原创]判断正误:(1)(3,2)和(2,3)表示同一个点;()(2)点(3,0)在x轴的正半轴上;()(3)点(-2,4)在第四象限;()[答案](1)×(2)√(3)×[解析](1)(3,2)和(2,3)表示两个点,所以错误;(3)点(-2,4)在第二象限,所以错误;(2)点(3,0)在x轴的正半轴上,所以正确;例1[2019·原创]判断正误:(4)点(-3,1)到x轴的距离为3;()(5)点(1,-a)一定在第四象限;()(6)坐标轴上的点不属于任一象限;()[答案](4)×(5)×(6)√[解析](4)点(-3,1)到x轴的距离为1,所以错误;(5)点(1,-a)一定在第四象限,错误,-a不一定是负数;(6)坐标轴上的点不属于任一象限,正确;例1[2019·原创]判断正误:(7)若点(a,b)在坐标轴的角平分线上,则a=b;()(8)直角坐标系中,在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是(0,5).()[答案](7)×(8)×[解析](7)若点(a,b)在坐标轴的角平分线上,则a=b,错误,应该是a=b或a=-b;(8)直角坐标系中,在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是(0,5),错误,点的坐标为(0,5)或(0,-5).|考向精练|1.[2019·株洲]在平面直角坐标系中,点A(2,-3)位于哪个象限()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D[答案]四2.[2019·广元]若关于x的一元二次方程ax2-x-14=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则点P(a+1,-a-3)在第象限.[解析]∵关于x的一元二次方程ax2-x-14=0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且(-1)2-4a-140,解之得,a-1且a≠0,∴a+10,-a-3-2,故点P在第四象限.3.[2019·陇南]中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图10-7,若在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,-2),“马”位于点(4,-2),则“兵”位于点.(-1,1)图10-7考向二平面直角坐标系中点的平移、旋转与对称例2[2019·原创]点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是;关于y轴对称的点的坐标是;关于原点对称的点的坐标是;把点A向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的点的坐标是;把点A绕着原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标是.(3,2)(-3,-2)(-3,2)(1,-5)(-2,-3)|考向精练|1.[2016·长沙8题]若将点A(1,3)向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到点B,则点B的坐标为()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(-1,-1)D.(-2,0)C2.[2019·嘉兴]如图10-8,在直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3),作菱形OABC关于y轴的对称图形OA‘B’C‘,再作图形OA’B‘C’关于点O的中心对称图形OA″B″C″,则点C的对应点C″的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)图10-8A3.[2018·长沙15题]在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A'的坐标是.(1,1)考向三函数自变量的取值范围例3[2019·无锡]函数y=2𝑥-1中的自变量的取值范围是()A.x≠12B.x≥1C.x12D.x≥12D|考向精练|1.[2019·岳阳]函数y=𝑥+2𝑥中,自变量x的取值范围是()A.x≠0B.x≥-2C.x0D.x≥-2且x≠0D2.[2019·包头]在函数y=3𝑥-2−𝑥+1中,自变量x的取值范围是()A.x-1B.x≥-1C.x-1且x≠2D.x≥-1且x≠2D考向四分析判断函数图象[答案]D[解析]对于自变量x的任何一个值,y都有唯一的值与之相对应,故D正确.例4(1)[2017·泸州改编]下列各曲线中表示y是x的函数的是()图10-9[答案]C[解析]在0到8秒内甲车的速度由0米/秒增加到32米/秒,每秒增加4米/秒,所以甲车在前3秒的速度由0米/秒增加到12米/秒,则甲行驶的路程s3×12=36(米),而乙车前4秒匀速行驶,速度是12米/秒,因此前3秒行驶的路程是36米.所以乙车前3秒行驶的路程大于甲车行驶的路程.可见选项C结论错误.(2)如图10-10是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的是()A.乙车前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲车的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时所走的路程相等D.在4至8秒内甲车的速度都大于乙车的速度图10-10|考向精练|[答案]C[解析]从函数图象上观察得,向容器内注入酒精时,随着时间t的增加,液面高度也在不断增加,但是,增加的速度是慢➝快➝慢➝快,在注入酒精的速度一定的情况下,容器的形状应该相应地大➝小➝大➝小.故选C.1.[2019·淄博]从某容器口以均匀的速度注入酒精,若液面高度h随时间t的变化情况如图10-11所示,则对应容器的形状为()图10-11图10-122.[2019·武汉]如图10-13,“漏壶”是一种中国古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用x表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示y与x的对应关系的是()图10-13图10-14[答案]A[解析]由题意知:开始时,壶内盛一定量的水,所以y的初始位置大于0,可以排除B;由于漏壶漏水的速度不变,所以图中的函数应该是一次函数,可以排除C,D选项.故选A.3.[2019·齐齐哈尔]六一儿童节前夕,某部队战士到福利院慰问儿童,战士们从营地出发,匀速步行前往文具店选购礼物,停留一段时间后,继续按原速步行到达福利院(营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上),到达后因接到紧急任务,立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的时间忽略不计),下列图象能大致反映战士们离营地的距离s与时间t之间的函数关系的是()图10-15[答案]B[解析]开始从营地出发,所以初始距离为0,所以A是错误的,选购礼物停留一段时间后,继续前往福利院,距离营地越来越远,所以C是错误的,按原速前往福利院,所以两段线段的倾斜程度应该是一样的,所以D是错误的,故选B.4.[2018·长沙10题]小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,图10-16反映了这个过程中小明离家的距离y与时间x的对应关系,根据图象,下列说法正确的是()A.小明吃早餐用了25minB.小明读报用了30minC.食堂与图书馆之间的距离为0.8kmD.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min图10-16B5.[2018·北京]2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情