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第6课时一次方程(组)及其应用1.方程:含有未知数的①.2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.3.一元一次方程的一般形式:②.4.二元一次方程的一般形式:③.考点一方程的有关概念考点聚焦等式ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)ax+by+c=0(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.考点二一次方程(组)的解法1.等式的基本性质:性质1:如果a=b,那么a±c④b±c;性质2:(1)如果a=b,那么ac=⑤;(2)如果a=b,c≠0,那么⑥=𝑏𝑐.=bc𝒂𝒄2.解一元一次方程的一般步骤(解方程过程中常会用到等式的性质):图6-13.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:方法说明代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)考点三一次方程(组)的实际应用图6-2【温馨提示】设未知数列方程是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.题组一必会题对点演练1.[七上P89练习第2题改编]下列等式变形正确的是()A.若13a+3=b-1,则a+3=3b-3B.若2x-6=4y-2,则x-3=2y-2C.若a=-b+2,则a+b=2D.若𝑥-13=𝑦-12,则2x=3yC2.[七上P97习题3.3第7(2)题改编]当x=时,代数式4x+8与代数式3x-7的值互为相反数.3.[七上P97习题3.3第11题改编]已知x=2是方程2(x-m)=32x+m的解,则m=.-𝟏𝟕𝟏𝟑4.[七下P10练习(1)改编]方程组2𝑥+𝑦=-2,-2𝑥+3𝑦=18的解是.𝒙=-𝟑,𝒚=𝟒5.[七下P13A组第3题改编]当x=2,-2时,代数式kx+b的值分别是-2,-4,则k=,b=.-3𝟏𝟐题组二易错题6.在解方程𝑥-13+x=3𝑥+12时,方程两边同时乘6,去分母后,正确的是()A.2x-1+6x=3(3x+1)B.2(x-1)+6x=3(3x+1)C.2(x-1)+x=3(3x+1)D.(x-1)+x=3(x+1)【失分点】去分母时出现漏乘常数项导致错误;利用加减法解二元一次方程组,两方程相减时,出现符号错误.B7.用加减消元法解方程组9𝑥-5𝑦=16①,2𝑥-𝑦=3②时,第一步:②×5,得10x-5y=15③;第二步:③-①,得x=1;第三步:把x=1代入②,得y=-1.则上述步骤中开始出现错误的是第步.二考向一等式的性质例1下列判断错误的是()A.若a=b,则ac-5=bc-5B.若a=b,则𝑎𝑐2+1=𝑏𝑐2+1C.若x=2,则x2=2xD.若ax=bx,则a=b【方法点析】运用等式的性质2进行变形时,必须确保两边同时除以的数不能为0.D1.[2017·杭州]设x,y,c是实数,则正确的是()A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则𝑥𝑐=𝑦𝑐D.若𝑥2𝑐=𝑦3𝑐,则2x=3y|考向精练|B2.[2018·永州模拟]下列变形中错误的是()A.如果x=y,那么x+2=y+2B.如果x=y,那么x-1=y-1C.如果x=3,那么xy=3yD.如果x2=3x,那么x=3D考向二一次方程(组)的概念的应用例2已知关于x,y的方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程,则m,n的值为()A.m=1,n=-1B.m=-1,n=1C.m=13,n=-43D.m=-13,n=43角度1根据方程的定义求字母的值A例3[2019·巴中]已知关于x,y的二元一次方程组𝑎𝑥-𝑦=4,3𝑥+𝑏𝑦=4的解是𝑥=2,𝑦=-2,则a+b的值是()A.1B.2C.-1D.0角度2已知方程(组)的解求字母的值[答案]B[解析]将𝑥=2,𝑦=-2代入方程组𝑎𝑥-𝑦=4,3𝑥+𝑏𝑦=4,得2𝑎-(-2)=4,6-2𝑏=4,解得𝑎=1,𝑏=1,所以a+b=2,故选B.【方法点析】已知二元一次方程(组)的解,求方程(组)中字母的值的两种方法:(1)代入法:当已知方程(组)的解时,把解代入方程(组),得到新的方程(组),再解新的方程(组),从而求出字母的值.(2)整体法:根据方程(组)中的未知数的系数特点,利用整体思想求某些字母的值.|考向精练|1.[2019·菏泽]已知𝑥=3,𝑦=-2是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=-3的解,则a+b的值是()A.-1B.1C.-5D.5A2.[2019·衢州]已知实数m,n满足𝑚-𝑛=1,𝑚+𝑛=3,则代数式m2-n2的值为.[答案]3[解析]方法一:解方程组得m=2,n=1,所以m2-n2=22-12=3.方法二:方程组两式两边分别相乘得m2-n2=3.考向三一次方程(组)的解法例4解方程:2𝑥-13=2𝑥+16-1.解:去分母,得2(2x-1)=2x+1-6,去括号,得4x-2=2x+1-6,移项,得4x-2x=1-6+2,合并同类项,得2x=-3,系数化为1,得x=-32.例5用指定方法解方程组:𝑥+𝑦=12,①2𝑥+𝑦=20.②解法1(加减消元法):解法2(代入消元法):解:解法1(加减消元法):②-①,得x=8.把x=8代入①,得8+y=12,解得y=4.∴原方程组的解是𝑥=8,𝑦=4.例5用指定方法解方程组:𝑥+𝑦=12,①2𝑥+𝑦=20.②解法2(代入消元法):解:解法2(代入消元法):方法1:由①得y=12-x,③把③代入②得,2x+(12-x)=20,解得x=8.把x=8代入③,得y=12-8=4.∴原方程组的解为𝑥=8,𝑦=4.方法2:由②,得x+(x+y)=20.④把①代入④,得x+12=20,解这个方程得x=8.把x=8代入①,得8+y=12.解这个方程得y=4.所以原方程组的解是𝑥=8,𝑦=4.【方法点析】(1)代入消元法适合的方程组:①某个未知数的系数是1或-1的方程组;②常数项为0的方程组.(2)加减消元法适合的方程组:①方程组中两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等;②两个方程中的某个未知数的系数成倍数关系.|考向精练|1.[2019·怀化]一元一次方程x-2=0的解是()A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=12.[2019·海南模拟]若代数式m-2与1-2m的差是0,则m等于()A.0B.1C.2D.3AB3.[2018·攀枝花]解方程:𝑥-32−2𝑥+13=1.解:去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号,得3x-9-4x-2=6,移项,得3x-4x=6+9+2,合并同类项,得-x=17,系数化为1,得x=-17.4.[2019·广州]解方程组:𝑥-𝑦=1,𝑥+3𝑦=9.解:𝑥-𝑦=1①,𝑥+3𝑦=9②,②-①得4y=8,解得y=2,把y=2代入①得x-2=1,解得x=3,故原方程组的解为𝑥=3,𝑦=2.5.[2019·金华]解方程组:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,𝑥-2𝑦=1.解:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,①𝑥-2𝑦=1.②由①,得-x+8y=5③,②+③,得6y=6,解得y=1.把y=1代入②,得x-2×1=1.解得x=3.∴原方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.考向四利用一次方程(组)解决实际问题例6[2019·淄博]“一带一路”促进了中欧贸易的发展,我市某机电公司生产的A,B两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元,总利润为1020万元(利润=售价-成本),其每件产品的成本和售价信息如下表:问该公司这两种产品的销售件数分别是多少?AB成本(单位:万元/件)24售价(单位:万元/件)57解:设A种产品销售件数为x件,B种产品销售件数为y件,由题意列方程组得5𝑥+7𝑦=2060,(5-2)𝑥+(7-4)𝑦=1020,解得𝑥=160,𝑦=180,答:A种产品销售件数为160件,B种产品销售件数为180件.【方法点析】列一次方程(组)解实际问题的方法步骤:(1)审:认真阅读并理解问题中的有关材料及信息,分析问题中的数量关系.(2)设:弄清问题中的已知数和未知数,设出全部未知数或设出问题中一个未知数,用这个未知数表示其他相关的待求量.(3)列:从问题中找出等量关系,根据等量关系,列出方程或方程组.(4)解:解方程(组)求出未知数的值.(5)答:把求得的未知数的值代入原问题中检验其是否符合实际,从而得到合理的答案.|考向精练|1.[2019·荆门]欣欣服装店某天用相同的价格a(a0)元卖出了两件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是()A.盈利B.亏损C.不盈不亏D.与售价a有关[答案]B[解析]设第一件衣服的进价为x元,依题意得:x(1+20%)=a,设第二件衣服的进价为y元,依题意得:y(1-20%)=a,∴x(1+20%)=y(1-20%),整理得3x=2y,该服装店卖出这两件服装的盈利情况为:0.2x-0.2y=0.2x-0.3x=-0.1x,即赔了0.1x元,故选:B.2.数学文化[2018·张家界]列方程解应用题:《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少.解:设买羊的有x人,根据题意,得5x+45=7x+3,解得x=21,5×21+45=150(元).答:买羊的人数为21,羊价为150元.3.数学文化[2018·宜昌]我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题,原文是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶.已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,是古代的一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛,1个大桶,1个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答.解:设1个大桶,1个小桶分别可以盛酒x斛,y斛,则5𝑥+𝑦=3,𝑥+5𝑦=2,解这个方程组,得𝑥=1324,𝑦=724.答:1个大桶,1个小桶分别可以盛酒1324斛,724斛.4.[2019·岳阳]岳阳市整治农村“空心房”新模式获评全国改革开放40年地方改革创新40案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地1200亩用于复耕和改造,其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩.(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩?(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13,求休闲小广场总面积最多为多少亩?解:(1)设复耕土地面积为x亩,改造土地面积为y亩,根据题意,得:𝑥+𝑦=1200,𝑥-𝑦=600,解得𝑥=900,𝑦=300.答:复耕土地面积为900亩,改造土地面积为300亩.4.[2019·岳阳]岳阳市整治农村“空心房”新模式获评全国改革开放40年地方改革创新40案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地1200亩用于复耕和改造,其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩.(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13,求休闲小广场总面积最多为多少亩?解:(2)设休闲小广场的面积为m亩,则花卉园的面积为(300-m)亩,根据题意,得:m≤13(300-m),解得m≤75.答:休闲小广场总面积最多为75亩.