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第8课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.未知数图8-1最简公分母0【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后就没有此条件的限制.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.考点二分式方程的应用1.一般步骤图8-22.双检验(1)检验求出的解是不是原分式方程的解;(2)检验是否符合变量的实际意义.3.常见类型及关系式行程问题:路程速度=时间;工程问题:工作总量工作效率=工作完成时间;购买(盈利)问题:总价单价=数量,总价数量=单价.1.[八上P152练习(1)(2)(3)改编](1)解方程12𝑥=2𝑥+3得;(2)解方程𝑥𝑥+1=2𝑥3𝑥+3+1得;(3)解方程2𝑥-1=4𝑥2-1得.题组一教材题对点演练x=1x=-𝟑𝟐无解2.[八上P159复习题15第8题改编]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产台机器.[答案]200[解析]设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x-50)台.依题意得600𝑥=450𝑥-50,解得x=200.检验:当x=200时,x(x-50)≠0.∴x=200是原分式方程的解且符合题意,∴现在平均每天生产200台机器.3.[八上P154练习第1题改编]八年级学生去距学校10km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,则骑车学生的速度是km/h.[答案]15[解析]设骑车学生的速度是xkm/h,则汽车的速度是2xkm/h,由题意得10𝑥−102𝑥=13,解得x=15.经检验,x=15是所列方程的解,且符合实际意义,所以骑车学生的速度是15km/h.4.[八上P155习题15.3第4题改编]A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg,A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等,A型机器人每小时搬运化工原料,B型机器人每小时搬运化工原料.[答案]90kg60kg[解析]设B型机器人每小时搬运xkg化工原料,则A型机器人每小时搬运(x+30)kg化工原料.因为A型机器人搬运900kg与B型机器人搬运600kg所用时间相等,所以可列方程为900𝑥+30=600𝑥,解此分式方程得x=60.检验:当x=60时,x(x+30)≠0,所以x=60是分式方程的解,且符合实际意义.当x=60时,x+30=90.故A型机器人每小时搬运90kg化工原料,B型机器人每小时搬运60kg化工原料.题组二易错题【失分点】解分式方程要注意检验;分式方程增根的概念理解.5.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解[答案]D[解析]去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,此时(x-1)(x+2)=0,所以原方程无解.故选D.6.当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.[答案]2[解析]方程两边同乘(x-3),得x-5=-m,解得x=5-m.若方程会产生增根,则增根为x=3,所以5-m=3,解得m=2.考向一分式方程的有关概念例1[2019·巴中]若关于x的分式方程𝑥𝑥-2+2𝑚2-𝑥=2m有增根,则m的值为.[答案]1[解析]解原分式方程,去分母,得x-2m=2m(x-2),若原分式方程有增根,则x=2,将其代入这个一元一次方程,得2-2m=2m(2-2),解之,得m=1.【方法点析】把分式方程化成整式方程后,求出整式方程的解,若代入分式方程的最简公分母中后,恰好等于0,则此解是分式方程的增根.|考向精练|1.[2018·达州]若关于x的分式方程𝑥𝑥-3+3𝑎3-𝑥=2a无解,则a的值为.[答案]1或12[解析]去分母,得:x-3a=2a(x-3).整理,得(1-2a)x=-3a.若分式方程无解,则①分式方程有增根,x=3,代入得a=1;②整式方程无解,则1-2a=0,解得a=12.故答案为1或12.2.[2019·齐齐哈尔]关于x的分式方程2𝑥-𝑎𝑥-1−11-𝑥=3的解为非负数,则a的取值范围为.[答案]a≤4且a≠3[解析]方程两边同时乘x-1,得(2x-a)+1=3(x-1),解得x=4-a.∵分式方程的解为非负数,∴x≥0且x≠1,∴a≤4且a≠3.考向二解分式方程例2[2019·广安]解分式方程:𝑥𝑥-2-1=4𝑥2-4𝑥+4.解:𝑥𝑥-2-1=4𝑥2-4𝑥+4,方程两边乘(x-2)2,得x(x-2)-(x-2)2=4,解得x=4.检验:当x=4时,(x-2)2≠0.所以原分式方程的解为x=4.【方法点析】解分式方程常见的误区(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘不含分母的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.|考向精练|1.[2019·淄博]解分式方程1-𝑥𝑥-2=12-𝑥-2时,下列去分母正确的是()A.-1+x=-1-2(x-2)B.1-x=1-2(x-2)C.-1+x=1+2(2-x)D.1-x=-1-2(x-2)D2.[2015·长沙16题]分式方程5𝑥=7𝑥-2的解为.x=-53.[2019·凉山州]方程2𝑥-1𝑥-1+21-𝑥2=1的解是.[答案]x=-2[解析]原方程可化为2𝑥-1𝑥-1−2(𝑥+1)(𝑥-1)=1,去分母得(2x-1)(x+1)-2=(x+1)(x-1),解得x1=1,x2=-2,经检验x1=1是增根,x2=-2是原方程的解,∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2.4.[2019·南京]解方程:𝑥𝑥-1-1=3𝑥2-1.解:方程两边都乘(x+1)(x-1)去分母得,x(x+1)-(x2-1)=3,即x2+x-x2+1=3,解得x=2.检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=(2+1)(2-1)=3≠0,所以x=2是原方程的解,故原分式方程的解是x=2.考向三分式方程的应用例3[2019·菏泽]列方程(组)解应用题:德上高速公路巨野至单县段正在加速建设,预计2019年8月竣工.届时,如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟,求汽车在高速公路上的平均速度.解:设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/时,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/时.由题意,得811.8𝑥+3660=81𝑥,解得x=60.经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意.所以1.8x=108.答:汽车在高速公路上的平均速度是108千米/时.【方法点析】列分式方程解决实际问题时,需要验根两次,一是检验整式方程的解是不是原分式方程的解,二是检验是否符合实际问题的意义.|考向精练|1.[2019·广州]甲、乙二人做某种机械零件,已知每小时甲比乙少做8个,甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等,设甲每小时做x个零件,下列方程正确的是()A.120𝑥=150𝑥-8B.120𝑥+8=150𝑥C.120𝑥-8=150𝑥D.120𝑥=150𝑥+8D𝟔𝒙+𝟔𝟏.𝟐𝒙=112.[2019·江西]斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图8-3,某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒,根据题意列方程得:.图8-3解:设小明的速度为x米/分,则小刚的速度为3x米/分,根据题意,得1200𝑥−30003𝑥=4,解得x=50.经检验,x=50是分式方程的解且符合题意,所以3x=150.答:小明的速度为50米/分,小刚的速度为150米/分.3.[2019·威海]列方程解应用题:小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1200米,3000米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍,若二人同时到达,则小明需提前4分钟出发,求小明和小刚两人的速度.4.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的进货单价是B种粽子进货单价的1.2倍.(1)求A,B两种粽子的进货单价各是多少;(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进货单价不变.求A种粽子最多能购进多少个.解:(1)设B种粽子的进货单价为x元/个,则A种粽子的进货单价为1.2x元/个.因为购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同,共花费3000元,所以两种粽子都花费1500元,根据题意,得1500𝑥+15001.2𝑥=1100,解得x=2.5.经检验,x=2.5是原分式方程的解,且符合题意.1.2x=3.答:A种粽子的进货单价为3元/个,B种粽子的进货单价为2.5元/个.4.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的进货单价是B种粽子进货单价的1.2倍.(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进货单价不变.求A种粽子最多能购进多少个.(2)设购进A种粽子y个,则购进B种粽子(2600-y)个,根据题意,得3y+2.5(2600-y)≤7000,解得y≤1000.∴y的最大值为1000,故A种粽子最多能购进1000个.5.[2017·长沙24题]自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁.某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查发现,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元;(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型商品的件数,且不小于80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出.设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围;解:(1)设一件B型商品的进价为x元,则一件A型商品的进价为(x+10)元.由题意,得16000𝑥+10=7500𝑥×2,解得x=150.经检验x=150是分式方程的解,且符合题意,则x+10=160.答:一件A型商品的进价为160元,一件B型商品的进价为150元.(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益.5.[2017·长沙24题]自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁.某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查发现,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型商品的件数,且不小于80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售