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第7课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图7-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0(其中ac0)⇒x=①;(2)a(x+n)2=b(其中ab0)⇒x=②开方后取正负两个值配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂（续表）方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能直接约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程的根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等没有-𝒃𝒂𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=（续表）(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x1.[九上P9练习第1题]填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2-12x+=(x-)2;(3)x2+5x+=(x+)2;(4)x2-23x+=(x-)2.题组一教材题对点演练255366𝟐𝟓𝟒𝟓𝟐𝟏𝟗𝟏𝟑x1=-3,x2=-72.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是;(2)方程3x2+6x-4=0的解是;(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是.x1=-1,x2=1x1=-𝟑+𝟐𝟏𝟑,x2=-𝟑+𝟐𝟏𝟑[答案]10[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有个队参加比赛.[答案]10%[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是.5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=,x1x2=;(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=,x1x2=;(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=,x1x2=;(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=,x1x2=.5-10-𝟕𝟐𝟏𝟐𝟐𝟑-24-7题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,因为这个式子的值可能是0,所以出现漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,易忽视二次项系数不能等于0这一条件.[答案]D[解析]Δ=b2-4ac=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0.又∵k+1≠0,即k≠-1,∴k≤0且k≠-1.故选D.6.若关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≥0B.k≤0C.k0且k≠-1D.k≤0且k≠-17.—元二次方程x2-x=0的根是.[答案]x1=0,x2=1[解析]x2-x=0,x(x-1)=0.∴x=0或x=1.故答案为x1=0,x2=1.考向一一元二次方程及其解法例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.因此原方程的根为x1=3,x2=9.(2)配方法:原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(3)因式分解法:(3)因式分解法:原方程为x2-12x+27=0,(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取合适方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;若一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.|考向精练|1.[2019·山西]一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=5D2.[2019·怀化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=23.[2019·兰州]x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A.-2B.-3C.-1D.-6CA4.[2019·威海]一元二次方程3x2=4-2x的解是.[答案]x1=-1+133,x2=-1-133[解析]3x2=4-2x,即3x2+2x-4=0,则Δ=b2-4ac=4-4×3×(-4)=520,∴x=-2±526,∴x1=-1+133,x2=-1-133.考向二一元二次方程根的判别式例2[2019·原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根?解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,解得m-18且m≠1.例2[2019·原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,且m-1≠0,解得m=-18,原方程变为-98x2-34x-18=0,解得x1=x2=-13.例2[2019·原创]已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m取何值时:(3)方程没有实数根?(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,解得m-18.【方法点析】对于一元二次方程,(1)时刻牢记隐含条件:二次项系数不为0.(2)在计算前应先将方程化为一般式,再利用“b2-4ac”判断根的情况.|考向精练|1.[2019·烟台]当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定[答案]A[解析]因为b+c=5,所以c=5-b,因为Δ=b2-4×3×(-c)=b2+4×3×(5-b)=(b-6)2+240,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根.2.[2019·宁波]能说明命题”关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为()A.m=-1B.m=0C.m=4D.m=5[答案]D[解析]方程的根的判别式Δ=(-4)2-4m=16-4m,当Δ0时,方程无实数根,∴应使16-4m0,即m4.四个选项中,只有m=5符合条件,故选D.3.[2016·长沙14题]若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.m-44.[2019·北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.解:∵x2-2x+2m-1=0有实数根,∴Δ≥0,即(-2)2-4(2m-1)≥0,∴m≤1.∵m为正整数,∴m=1,故此时方程为x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,∴x1=x2=1,∴m=1,此时方程的根为x1=x2=1.考向三一元二次方程根与系数的关系(选讲)例3[2019·淄博]若x1+x2=3,=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是()A.x2-3x+2=0B.x2+3x-2=0C.x2+3x+2=0D.x2-3x-2=0[答案]A[解析](x1+x2)2=+2x1·x2,又∵x1+x2=3,=5,∴2x1·x2=(x1+x2)2-(x12+x22)=9-5=4,∴x1·x2=2,∴以x1,x2为根的一元二次方程是x2-3x+2=0.故选A.【方法点析】(1)用根与系数的关系求字母的值时,要代入Δ检验.(2)一元二次方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值,体现了整体思想.|考向精练|1.[2019·黄冈]若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为()A.-5B.5C.-4D.4A2.[2019·潍坊]关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为()A.-2B.3C.3或-2D.3或2[答案]A[解析]由题意可得𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2=12.因为𝑥1+𝑥2=-2𝑚,𝑥1𝑥2=𝑚2+𝑚,所以(-2m)2-2(m2+m)=12,解得m1=3,m2=-2.当m=3时,Δ=62-4×1×120,所以m=3应舍去;当m=-2时,Δ=(-4)2-4×1×20,符合题意.所以m=-2,故选A.3.[2018·长沙17题]已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为.2考向四一元二次方程的实际应用例4[2019·长沙23题]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?解:(1)设增长率为x.根据题意,得2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.例4[2019·长沙23题]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?(2)2.42×(1+10%)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.|考向精练|[2015·长沙23题]现代互联网技术的广泛应用,