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第6课时一次方程(组)及其应用考点一方程的有关概念考点聚焦1.方程:含有未知数的①.2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.3.一元一次方程的一般形式:②.4.二元一次方程的一般形式:③.等式ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)ax+by+c=0(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2=0(a1,b1,c1,a2,b2,c2为常数),其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.1.等式的基本性质:性质1:如果a=b,那么a±c④b±c;性质2:(1)如果a=b,那么ac=⑤;(2)如果a=b,c≠0,那么⑥=𝑏𝑐.考点二一次方程(组)的解法=bc2.解一元一次方程的一般步骤(解方程过程中常会用到等式的基本性质):图6-1𝒂𝒄3.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:方法说明代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)考点三一次方程(组)的实际应用图6-2【温馨提示】设未知数列方程是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.1.[七上P111复习题3第2(1)(4)题改编]写出下列方程的解:(1)43-8x=3-112x,x=;(2)1-2𝑥3=3𝑥+17-3,x=.题组一教材题对点演练-𝟐𝟑𝟔𝟕𝟐𝟑2.[七下P98习题8.2第5题改编](1)解方程组3(𝑥-1)=𝑦+5,5(𝑦-1)=3(𝑥+5),得;(2)解方程组2𝑢3+3𝑣4=12,4𝑢5+5𝑣6=715,得.𝒙=𝟓,𝒚=𝟕𝒖=-𝟑𝟐,𝒗=𝟐3.[七上P112复习题3第10题改编]一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券每张3元.试讨论并回答:(1)当时,购会员证与不购证付一样的钱;(2)当时,购会员证比不购证合算;(3)当时,不购会员证比购证合算.游泳次数为40次游泳次数多于40次游泳次数少于40次题组二易错题【失分点】去分母时出现漏乘错误;列方程或方程组解应用题时因出现对题意理解不清导致错误.4.在解方程𝑥-13+x=3𝑥+12时,方程两边同时乘6,去分母后,正确的是()A.2x-1+6x=3(3x+1)B.2(x-1)+6x=3(3x+1)C.2(x-1)+x=3(3x+1)D.(x-1)+x=3(x+1)B5.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为尺,竿子长为尺.[答案]2015[解析]设索长为x尺,竿子长为y尺,依题意得𝑥-𝑦=5,𝑦-12𝑥=5,解得𝑥=20,𝑦=15,故索长为20尺,竿子长为15尺.考向一一元一次方程的解法例1[2018·攀枝花]解方程:𝑥-32−2𝑥+13=1.解:去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6.去括号,得3x-9-4x-2=6.移项,得3x-4x=6+9+2.合并同类项,得-x=17.系数化为1,得x=-17.【方法点析】在去分母时,注意两点:(1)不要漏乘不含分母的项;(2)对分子添括号.1.[2019·怀化]一元一次方程x-2=0的解是()A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=1|考向精练|A2.数学文化[2017·长沙11题]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为()A.24里B.12里C.6里D.3里[答案]C[解析]设第一天走了x里.依题意,得x+12x+14x+18x+116x+132x=378,解得x=192.则132x=132×192=6.故选C.3.解方程:(1)[2017·武汉]4x-3=2(x-1);(2)2𝑥+53-4=𝑥-32.解:(1)4x-3=2(x-1).去括号,得4x-3=2x-2.移项,得4x-2x=-2+3.合并同类项,得2x=1.系数化为1,得x=12.(2)去分母,得2(2x+5)-24=3(x-3).去括号,得4x+10-24=3x-9.移项、合并同类项,得x=5.考向二二元一次方程组的解法例2[2019·广州]解方程组:𝑥-𝑦=1,𝑥+3𝑦=9.解:𝑥-𝑦=1,①𝑥+3𝑦=9,②②-①,得4y=8,解得y=2,把y=2代入①,得x-2=1,解得x=3,故原方程组的解为𝑥=3,𝑦=2.【方法点析】(1)当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时,用代入法较简便;(2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较简便.|考向精练|1.[2019·巴中]已知关于x,y的二元一次方程组𝑎𝑥-𝑦=4,3𝑥+𝑏𝑦=4,的解是𝑥=2,𝑦=-2,则a+b的值是()A.1B.2C.-1D.0B2.[2019·荆门]已知实数x,y满足方程组3𝑥-2𝑦=1,𝑥+𝑦=2,则x2-2y2的值为()A.-1B.1C.3D.-3[答案]A[解析]3𝑥-2𝑦=1,①𝑥+𝑦=2,②①+②×2得,5x=5,解得x=1.把x=1代入②,得1+y=2,解得y=1,∴x2-2y2=12-2×12=1-2=-1.故选A.3.[2017·长沙14题]方程组𝑥+𝑦=1,3𝑥-𝑦=3的解是.𝒙=𝟏,𝒚=𝟎[答案]2[解析]𝑥+2𝑦=𝑘-1,①2𝑥+𝑦=5𝑘+4,②①+②,得3x+3y=6k+3,即x+y=2k+1.又∵x+y=5,∴2k+1=5,解得k=2,故答案为2.4.[2019·眉山]已知关于x,y的方程组𝑥+2𝑦=𝑘-1,2𝑥+𝑦=5𝑘+4的解满足x+y=5,则k的值为.5.[2019·潍坊]已知关于x,y的二元一次方程组2𝑥-3𝑦=5,𝑥-2𝑦=𝑘的解满足xy,求k的取值范围.解:2𝑥-3𝑦=5,①𝑥-2𝑦=𝑘.②①-②,得x-y=5-k.∵xy,∴x-y0,即5-k0,∴k5.考向三一次方程(组)的实际应用例3[2019·长沙11题]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是()A.𝑦=𝑥+4.5,0.5𝑦=𝑥-1B.𝑦=𝑥+4.5,𝑦=2𝑥-1C.𝑦=𝑥-4.5,0.5𝑦=𝑥+1D.𝑦=𝑥-4.5,𝑦=2𝑥-1A1.[2019·杭州]已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树.设男生有x人,则()A.2x+3(72-x)=30B.3x+2(72-x)=30C.2x+3(30-x)=72D.3x+2(30-x)=72|考向精练|D2.数学文化[2019·岳阳]我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为:今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺,问每日各织多少布?根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布尺.[答案]531[解析]设该女子第一天织布x尺.根据题意,得x+2x+4x+8x+16x=5,解得x=531.所以该女子第一天织布531尺.3.[2019·临沂]用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品;用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品;要生产甲种产品37件,乙种产品18件,则恰好需用A,B两种型号的钢板共块.[答案]11[解析]设需用A型钢板x块,B型钢板y块.依题意,得4𝑥+3𝑦=37,①𝑥+2𝑦=18,②(①+②)÷5,得x+y=11.故答案为11.4.[2018·长沙23题]随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折.已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,则打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?解:(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元.由题意,得6𝑥+3𝑦=660,50×0.8𝑥+40×0.75𝑦=5200,解得𝑥=70,𝑦=80.答:打折前甲品牌粽子每盒70元,乙品牌粽子每盒80元.4.[2018·长沙23题]随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折.已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,则打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?(2)80×70×(1-80%)+100×80×(1-75%)=3120(元).答:打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元.5.[2016·长沙23题]2016年5月6日,中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营,该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽,沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中,届时将给乘客带来美的享受.星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务,拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨,5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨.(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨?(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方.若每次运输土方总量不少于148吨,且小型渣土运输车至少派出2辆,则有哪几种派车方案?解:(1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨,一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨.由题意,得2𝑥+3𝑦=31,5𝑥+6𝑦=70,解得𝑥=8,𝑦=5.即一辆大型渣土运输车一次运输土方8吨,一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨.5.[2016·长沙23题]2016年5月6日,中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营,该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽,沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中,届时将给乘客带来美的享受.星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务,拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨,5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨.(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方.若每次运输土方总量不少于148吨,且小型渣土运输车至少派出2辆,则有哪几种派车方案?(2)设派出小型渣土运输车m辆,则派出大型渣土运输车(20-m)辆.由题意,得8(20-m)+5m≥148,解得m≤4.又因为m≥2,所以2≤m≤4.故有三种派车方案:第一种方案:派出大型渣土运输车18辆,小型渣土运输车2辆;第二种方案:派出大型渣土运输车17辆,小型渣土运输车3辆;第三种方案:派出大型渣土运输车16辆,小型渣土运输车