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题型突破(六)二次函数综合题类型一线段、周长问题（2016,25/2015,25/2013,25）例1[2019·衡阳改编]如图Z6-1①,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是线段OB(点P不与O,B重合)上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)当点P运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值.图Z6-1①(3)如图②,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q,求PQ+PO取最大值时点P的坐标.(4)如图③,在第四象限的抛物线上任取一点M,过点M作MH⊥NB于点H,求线段MH的最大值.图Z6-1②图Z6-1③解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),∴1-𝑏+𝑐=0,9+3𝑏+𝑐=0,解得:𝑏=-2,𝑐=-3,故抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.例1[2019·衡阳改编]如图Z6-1①,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是线段OB(点P不与O,B重合)上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(2)当点P运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值.图Z6-1①(2)∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=OA+OB=1+3=4,∵正方形ABCD中,∠ABC=90°,∴∠CPB+∠PCB=90°,∵PC⊥PE,∴∠OPE+∠CPB=90°,∴∠OPE=∠PCB,又∵∠EOP=∠PBC=90°,∴△POE∽△CBP,∴𝐵𝐶𝑃𝐵=𝑂𝑃𝑂𝐸,设OP=t,则PB=3-t,∴43-𝑡=𝑡𝑂𝐸,∴OE=14(-t2+3t)=-14t-322+916.∵0t3,∴t=32,即OP=32时,线段OE长有最大值916.例1[2019·衡阳改编]如图Z6-1①,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是线段OB(点P不与O,B重合)上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(3)如图②,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q,求PQ+PO取最大值时点P的坐标.图Z6-1②(3)设P(t,0),则Q(t,t2-2t-3),其中0t3,∵Q在第四象限,∴PQ+PO=-t2+2t+3+t=-t2+3t+3=-t-322+214,∴t=32时,PQ+PO取最大值214,此时P点坐标为32,0.例1[2019·衡阳改编]如图Z6-1①,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是线段OB(点P不与O,B重合)上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.(4)如图③,在第四象限的抛物线上任取一点M,过点M作MH⊥NB于点H,求线段MH的最大值.图Z6-1③(4)过点M作MG∥y轴,交NB于点G,设M(m,m2-2m-3),其中0m3,∵B(3,0),N(0,-3),∴直线NB解析式为y=x-3,且△BON为等腰直角三角形,∵MG∥y轴,∴G(m,m-3),且∠MGH=∠ONB=45°,又∵MH⊥NB,∴△MGH为等腰直角三角形,∴MH=22MG=22(m-3-m2+2m+3)=22(-m2+3m)=-22m-322+928,∵0m3,∴m=32时,MH有最大值928.【方法点析】求一条线段的最值,可以将动点横坐标或纵坐标设为变量m,用字母m表示线段的长度L,将L看成是m的函数,求函数最值即可,注意m的取值范围,用m表示线段长时注意正负符号.如果不能直接表示时,往往需要构建辅助线.【配练】[2019·常德节选]如图Z6-2,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B,C,D三点,且B点的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的解析式.(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M,N,且点N在点M的左侧,过M,N作x轴的垂线交x轴于G,H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值.图Z6-2解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,把B(-1,0)代入解析式得:4a+4=0,解得a=-1,∴y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.【配练】[2019·常德节选]如图Z6-2,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B,C,D三点,且B点的坐标为(-1,0).(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M,N,且点N在点M的左侧,过M,N作x轴的垂线交x轴于G,H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值.图Z6-2(2)易得C(3,0).设点M的坐标为(x,-x2+2x+3)(1x3),根据M,N关于直线x=1对称,得点N(2-x,-x2+2x+3),则MN=x-2+x=2x-2,GM=-x2+2x+3,矩形MNHG的周长=2MN+2GM=2(2x-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8x+2=-2(x-2)2+10,∵-20,故当x=2时,矩形周长有最大值,最大值为10.例2已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(1,0),B(3,0)两点,与y轴正半轴交于点C,OC=3.(1)求抛物线的解析式及∠OCB的度数.(2)若点P是直线BC上的一动点,求OP+PA的最小值,以及此时点P的坐标.图Z6-3①(3)若点P是直线BC上的动点,点Q在直线BC下方的抛物线上,求OQ+QP的最小值.图Z6-3②图Z6-3③(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+12QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3),代入C(0,3),得:3a=3,解得a=1,故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°.例2已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(1,0),B(3,0)两点,与y轴正半轴交于点C,OC=3.(2)若点P是直线BC上的一动点,求OP+PA的最小值,以及此时点P的坐标.图Z6-3①(2)设点O关于直线BC的对称点为D,连接DC,DP,DB.根据对称的性质有△OCP≌△DCP,∴∠DCB=∠OCB=45°,∠CDB=∠COB=90°,CO=CD,OP=PD,∴∠OCD=90°,∴四边形OCDB为正方形,故D(3,3),又A(1,0),∴OP+PA=DP+PA≥DA=22+32=13,当D,P,A三点共线时取等号,此时点P是直线AD:y=32x-32与直线BC:y=-x+3的交点,令32x-32=-x+3,解得x=95,∴OP+PA的最小值为13,此时点P的坐标为95,65.例2已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(1,0),B(3,0)两点,与y轴正半轴交于点C,OC=3.(3)若点P是直线BC上的动点,点Q在直线BC下方的抛物线上,求OQ+QP的最小值.图Z6-3②(3)连接OP,∵OQ+QP≥OP,∴当O,Q,P三点共线,且OP⊥BC时取得最小值,∵OC=OB,且∠COB=90°,∴此时P为BC中点,且OP=12BC=322,即OQ+QP的最小值为322.图Z6-3③例2已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(1,0),B(3,0)两点,与y轴正半轴交于点C,OC=3.(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+12QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.(4)在x轴负半轴上找一点G,使得∠GCO=30°,作QH⊥CG于H,∴Rt△CQH中,HQ=12QC,连接AH,∴AQ+12QC=AQ+HQ≥AH,∴当且仅当A,Q,H三点共线,且AH⊥CG时取等号.在Rt△COG中,∠GCO=30°,CO=3,∴GO=CO·tan30°=3,当AH⊥GC时,在Rt△AGH中,∠HGA=60°,AG=1+3,∴AH=AG·sin60°=3+32,∴AQ+12QC的最小值为3+32.【方法点析】求几条线段和的最值,如果不能用字母表示成函数形式,或者表示出的函数不好求最值,往往需要作对称、平移、旋转等变换,进行边长的等量代换,利用“两点之间线段最短”或“点线之间,垂线段最短”取到最小值.【配练】如图Z6-4,矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC在y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx经过B(1,4)和E(3,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D在线段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D点的坐标;(3)在条件(2)下,在抛物线的对称轴上找一点M,使得△BDM的周长最小,并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标.图Z6-4解:(1)将点B(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线y=ax2+bx得𝑎+𝑏=4,9𝑎+3𝑏=0,解得𝑎=-2,𝑏=6,∴抛物线的解析式为y=-2x2+6x.【配练】如图Z6-4,矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC在y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx经过B(1,4)和E(3,0)两点.(2)若点D在线段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D点的坐标;图Z6-4(2)∵BD⊥DE,∴∠BDE=90°.∴∠BDC+∠EDO=90°.又∵∠ODE+∠DEO=90°,∴∠BDC=∠DEO.在△BDC和△DEO中,∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐷𝑂𝐸=90°,∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐸𝑂,𝐷𝐵=𝐷𝐸,∴△BDC≌△DEO.∴OD=BC=1.∴D(0,1).【配练】如图Z6-4,矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC在y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx经过B(1,4)和E(3,0)两点.(3)在条件(2)下,在抛物线的对称轴上找一点M,使得△BDM的周长最小,并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标.图Z6-4(3)如图所示,作点B关于抛物线的对称轴的对称点B',连接B'D交抛物线的对称轴于点M.∵x=-𝑏2𝑎=32,∴点B'的坐标为(2,4).∵点B与点B'关于直线x=32对称,∴MB=B'M,∴DM+MB=DM+MB'.∴当点D,M,B'在一条直线上时,MD+MB有最小值,即△BMD的周长有最小值.由两点间的距离公式可知:BD=12+(4-1)2=10,DB'=22+(4-1)2=13,∴△BDM周长的最小值为10+13.设直线B'D的解析式为y=kx+b'.将点D,B'的坐标代入得𝑏'=1,2𝑘+𝑏'=4,解得𝑘=32,𝑏'=1.∴直线DB'的解析式为y=32x+1.将x=32代入得y=134.∴M32,134.类型二面积问题（2019,25/2017,25/2014,25/2013,25）例3如图Z6-5,已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式;(2)求△ABC的面积;图Z6-5①(3)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标;(4)若点Q是抛物线上的点(不与点C重合),横坐标为m,且S△ABQ=S△ABC,求m的值.图Z6-5②图Z6-5③解:(1)依题由抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),将B(0,3)代入得:3=-3a,∴a=-1,∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.例3如图Z6-5,已知抛物线经过A(-3,0),B(0,3)两点,且其对称轴为直线x=-1,顶点为C.(2)求△ABC的面积;图Z6-5①(2)顶点C的坐标为(-1,4),∵点A(-3,0),B(0,3)在直线AB上,∴直线AB的解析式为y=x+3.[法一]如图①,设抛物线对称轴与直线AB交于点D,则D点坐标为(-1,2