搜索
呼和浩特专版题型突破(五)圆的有关证明与计算类型一切线的性质与判定的相关计算与证明（2018,24/2017,24/2015,24/2014,24）例1[2017·包头青山区一模]如图Z5-1,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于点P.弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)探究线段PC,PF之间的数量关系,并加以证明;(3)若tan∠PCB=34,BE=52,求PF的长.图Z5-1解:(1)证明:连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵PC是☉O的切线,AD⊥CD,∴∠OCP=∠D=90°,∴OC∥AD.∴∠CAD=∠OCA=∠OAC,即AC平分∠DAB.例1[2017·包头青山区一模]如图Z5-1,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于点P.弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.(2)探究线段PC,PF之间的数量关系,并加以证明;图Z5-1(2)PC=PF.证明:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠PCB+∠ACD=90°,又∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠CAB=∠CAD=∠PCB.又∵∠ACE=∠BCE,∠PFC=∠CAB+∠ACE,∠PCF=∠PCB+∠BCE,∴∠PFC=∠PCF,∴PC=PF.例1[2017·包头青山区一模]如图Z5-1,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于点P.弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.(3)若tan∠PCB=34,BE=52,求PF的长.图Z5-1(3)连接AE.∵∠ACE=∠BCE,∴𝐴𝐸=𝐵𝐸,∴AE=BE.又∵AB是直径,∴∠AEB=90°.∴AB=2BE=10,∴OB=OC=5.∵∠PCB=∠PAC,∠P=∠P,∴△PCB∽△PAC.∴𝑃𝐵𝑃𝐶=𝐵𝐶𝐶𝐴.∵tan∠CAB=tan∠PCB=34,∴𝑃𝐵𝑃𝐶=𝐵𝐶𝐶𝐴=34.设PB=3x,则PC=4x,在Rt△POC中,(3x+5)2=(4x)2+52,解得x1=0,x2=307.∵x0,∴x=307.∴PF=PC=1207.【配练】如图Z5-2,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C作☉O的切线CM,AD⊥CM于点D,交☉O于点E.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)若AE=AO=2,求线段CD的长.图Z5-2解:(1)证明:连接OC.∵CM是☉O的切线,∴CM⊥OC,∵CM⊥AD,∴OC∥AD,∴∠DAC=∠ACO,∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴AC平分∠BAD.【配练】如图Z5-2,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C作☉O的切线CM,AD⊥CM于点D,交☉O于点E.(2)若AE=AO=2,求线段CD的长.图Z5-2(2)连接OE,作OH⊥AD于H.∵AE=OA=OE=2,∴△AEO是等边三角形,∵OH⊥AE,∴OH=3,∵∠OHD=∠HDC=∠DCO=90°,∴四边形OCDH是矩形,∴CD=OH=3.|题型精练|图Z5-31.[2017·包头]如图Z5-3,AB是☉O的直径,弦CD与AB交于点E,过点B的切线BP与CD的延长线交于点P,连接OC,CB.(1)求证:AE·EB=CE·ED;(2)若☉O的半径为3,OE=2BE,𝐶𝐸𝐷𝐸=95,求tan∠OBC的值及DP的长.解:(1)证明:如图,连接AD,∵∠A=∠BCD,∠AED=∠CEB,∴△AED∽△CEB,∴𝐴𝐸𝐶𝐸=𝐸𝐷𝐸𝐵,∴AE·EB=CE·ED.图Z5-31.[2017·包头]如图Z5-3,AB是☉O的直径,弦CD与AB交于点E,过点B的切线BP与CD的延长线交于点P,连接OC,CB.(2)若☉O的半径为3,OE=2BE,𝐶𝐸𝐷𝐸=95,求tan∠OBC的值及DP的长.(2)∵☉O的半径为3,∴OA=OB=OC=3.∵OE=2BE,∴OE=2,BE=1,AE=5.∵𝐶𝐸𝐷𝐸=95,∴设CE=9x,则DE=5x.∵AE·EB=CE·ED,∴5×1=9x·5x,∴x=13(负值已舍去).∴CE=3,DE=53.如图,过点C作CF⊥AB于F,∵OC=CE=3,∴OF=EF=12OE=1.∴BF=2.在Rt△OCF中,CF2+OF2=OC2,∴CF=22(负值舍去).在Rt△CFB中,∵∠CFB=90°,∴tan∠OBC=𝐶𝐹𝐵𝐹=222=2.∵BP是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴∠EBP=90°,∴∠CFB=∠EBP.又∵EF=BE=1,∠CEF=∠PEB,∴△CFE≌△PBE,∴EP=CE=3,∴DP=EP-ED=3-53=43.2.[2019·常德]如图Z5-4,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥OA,CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.图Z5-4解:(1)证明:连接OD,∵DE∥OA,∴∠AOC=∠OED,∠AOD=∠ODE,∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE,∴∠AOC=∠AOD,又∵OA=OA,OD=OC,∴△AOC≌△AOD(SAS),∴∠ADO=∠ACO.∵CE是☉O的直径,AC为☉O的切线,∴OC⊥AC,∴∠OCA=90°,∴∠ADO=∠OCA=90°,∴OD⊥AB.∵OD为☉O的半径,∴AB是☉O的切线.2.[2019·常德]如图Z5-4,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥OA,CE是☉O的直径.(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.图Z5-4(2)∵CE=6,∴OD=OC=3,∵∠BDO=180°-∠ADO=90°,∴BO2=BD2+OD2,∴OB=42+32=5,∴BC=8,∵∠BDO=∠OCA=90°,∠B=∠B,∴△BDO∽△BCA,∴𝐵𝐷𝐵𝐶=𝑂𝐷𝐴𝐶,∴48=3𝐴𝐶,∴AC=6.3.[2019·宜昌]如图Z5-5,点O是线段AH上一点,AH=3,以点O为圆心,OA的长为半径作☉O,过点H作AH的垂线交☉O于C,N两点,点B在线段CN的延长线上,连接AB交☉O于点M,以AB,BC为边作▱ABCD.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若OH=13AH,求四边形AHCD与☉O重叠部分的面积;(3)若NH=13AH,BN=54,连接MN,求OH和MN的长.图Z5-5解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵∠AHC=90°,∴∠HAD=90°,即OA⊥AD,又∵OA为半径,∴AD是☉O的切线.3.[2019·宜昌]如图Z5-5,点O是线段AH上一点,AH=3,以点O为圆心,OA的长为半径作☉O,过点H作AH的垂线交☉O于C,N两点,点B在线段CN的延长线上,连接AB交☉O于点M,以AB,BC为边作▱ABCD.(2)若OH=13AH,求四边形AHCD与☉O重叠部分的面积;图Z5-5(2)如图,连接OC.∵OH=13AH,AH=3,∴OH=1,OA=2,在Rt△OHC中,∠OHC=90°,OH=12OC,∴∠OCH=30°,∴∠AOC=∠OHC+∠OCH=120°,∴S扇形OAC=120×π×22360=4π3.∵CH=22-12=3,∴S△OHC=12×1×3=32,∴四边形AHCD与☉O重叠部分的面积=S扇形OAC+S△OHC=4π3+32.3.[2019·宜昌]如图Z5-5,点O是线段AH上一点,AH=3,以点O为圆心,OA的长为半径作☉O,过点H作AH的垂线交☉O于C,N两点,点B在线段CN的延长线上,连接AB交☉O于点M,以AB,BC为边作▱ABCD.(3)若NH=13AH,BN=54,连接MN,求OH和MN的长.图Z5-5(3)设☉O半径为r,则OA=OC=r,OH=3-r,∵NH=13AH,AH=3,∴NH=1.∵OH⊥NC,∴HC=NH=1.在Rt△OHC中,OH2+HC2=OC2,∴(3-r)2+12=r2,∴r=53,则OH=43.在Rt△ABH中,AH=3,BH=54+1=94,则AB=𝐴𝐻2+𝐵𝐻2=154,在Rt△ACH中,AH=3,CH=1,得AC=𝐴𝐻2+𝐻𝐶2=10,在△BMN和△BCA中,∠B=∠B,∠BMN=∠BCA,∴△BMN∽△BCA,∴𝑀𝑁𝐴𝐶=𝐵𝑁𝐴𝐵,即𝑀𝑁10=54154=13,∴MN=103.4.[2019·鄂州]如图Z5-6,PA是☉O的切线,切点为A,AC是☉O的直径,连接OP交☉O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交☉O于B,连接BC,PB.(1)求证:PB是☉O的切线;(2)求证:E为△PAB的内心;(3)若cos∠PAB=1010,BC=1,求PO的长.图Z5-6解:(1)证明:连接OB,∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°,∵AB⊥PO,∴PO∥BC,∴∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC,∵OB=OC,∴∠OBC=∠C,∴∠AOP=∠POB.在△AOP和△BOP中,𝑂𝐴=𝑂𝐵,∠𝐴𝑂𝑃=∠𝑃𝑂𝐵,𝑃𝑂=𝑃𝑂,∴△AOP≌△BOP(SAS),∴∠OBP=∠OAP.∵PA为☉O的切线,∴∠OAP=90°,∴∠OBP=90°,∴PB是☉O的切线.4.[2019·鄂州]如图Z5-6,PA是☉O的切线,切点为A,AC是☉O的直径,连接OP交☉O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交☉O于B,连接BC,PB.(2)求证:E为△PAB的内心;图Z5-6(2)证明:连接AE,∵PA为☉O的切线,∴∠PAE+∠OAE=90°,∵AD⊥ED,∴∠EAD+∠AED=90°,∵OE=OA,∴∠OAE=∠AED,∴∠PAE=∠DAE,即AE平分∠PAD.∵PA,PB为☉O的切线,∴PD平分∠APB,∴E为△PAB的内心.4.[2019·鄂州]如图Z5-6,PA是☉O的切线,切点为A,AC是☉O的直径,连接OP交☉O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交☉O于B,连接BC,PB.(3)若cos∠PAB=1010,BC=1,求PO的长.图Z5-6(3)∵∠PAB+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,∴∠PAB=∠C,∴cosC=cos∠PAB=1010,在Rt△ABC中,cosC=𝐵𝐶𝐴𝐶=1𝐴𝐶=1010,∴AC=10,AO=102,∵△PAO∽△ABC,∴𝑃𝑂𝐴𝐶=𝐴𝑂𝐵𝐶,∴PO=𝐴𝑂𝐵𝐶·AC=1021×10=5.类型二有关线段及面积比例的计算及证明（2019,24/2018,24/2017,24/2016,24/2015,24）例2[2019·湘西州改编]如图Z5-7①,△ABC内接于☉O,CD平分∠ACB,与AB,☉O分别交于点G,D,过点D作EF∥AB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(1)求证:EF是☉O的切线;图Z5-7(2)如图Z5-7②,若AC=BC,求证:BD2=AC·BF;(3)变式1:如图Z5-7③,若AC≠BC,CG=3GD,求证:CE=2ED;(4)变式2:如图Z5-7④,∠ABC的平分线交CD于点I,求证:DI2=DG·DC.图Z5-7图Z5-7图Z5-7解:(1)证明:连接OD,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴弧AD=弧BD,∴OD⊥AB(垂径定理推论),∵EF∥AB,∴OD⊥EF,∵OD为☉O的半径,∴EF是☉O的切线.例2[2019·湘西州改编]如图Z5-7①,△ABC内接于☉O,CD平分∠ACB,与AB,☉O分别交于点G,D,过点D作EF∥AB,分别交CA,CB的延长线于点E,F,连接BD.(2)如图Z5-7②,若AC=BC,求证:BD2=AC·BF;图Z5-7(2)证明:∵AC=BC,且CD平分∠ACB,∴CD垂直平分AB,∴圆心O在CD上,此时CD为直径,∴CD⊥EF,∠CBD=90°