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题型突破(四)方程及函数类应用题例1倡导健康生活,推进全民健身,某社区要购进A,B两种型号的健身器材若干套,A,B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元,460元,且每种型号健身器材必须整套购买.(1)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且恰好支出20000元,求A,B两种型号健身器材各购买多少套?(2)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且支出不超过18000元,求A种型号健身器材至少要购买多少套?类型一方程(组)、不等式的实际应用（2019,22/2017,20/2016,22/2014,22/2013,19）解:(1)设购买A种型号健身器材x套,B种型号健身器材y套,根据题意,得:𝑥+𝑦=50,310𝑥+460𝑦=20000,解得:𝑥=20,𝑦=30,答:购买A种型号健身器材20套,B种型号健身器材30套.例1倡导健康生活,推进全民健身,某社区要购进A,B两种型号的健身器材若干套,A,B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元,460元,且每种型号健身器材必须整套购买.(2)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且支出不超过18000元,求A种型号健身器材至少要购买多少套?(2)设购买A种型号健身器材m套,根据题意,得:310m+460(50-m)≤18000,解得:m≥3313,∵m为整数,∴m的最小值为34.答:A种型号健身器材至少要购买34套.【配练】[2019·益阳]为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾·稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价-成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元.(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价.(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为2.5元/千克,该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克?解:(1)设去年小龙虾的养殖成本与售价分别为每千克x元、y元,由题意得𝑦-𝑥=32,(1-10%)𝑦-(1-25%)𝑥=30,解得𝑥=8,𝑦=40.答:去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元.【配练】[2019·益阳]为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾·稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价-成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元.(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为2.5元/千克,该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克?(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意得20×100×30+20×2.5z-20×600≥80000,解得z≥640.答:稻谷的亩产量至少会达到640千克.|题型精练|1.本市将进入汛期,部分路面积水比较严重.为了改善这一状况,市政公司计划将一段路的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.公司研究发现有不同施工方案:如果工程由甲、乙两队合作,则12天可以完成;若由某个工程队独做,则乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍.(1)甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天?(2)若甲队每天需要工程费用650元,乙队每天需要工程费用400元,从节约资金的角度考虑,应选择哪种施工方案?解:(1)设甲队单独完成这项工程所需时间为x天,则乙队单独完成这项工程需2x天,由题意得:12𝑥+122𝑥=1,解得x=18,经检验:x=18是原方程的解且符合题意.2x=36.答:甲队单独完成这项工程需要18天,乙队单独完成这项工程需要36天.1.本市将进入汛期,部分路面积水比较严重.为了改善这一状况,市政公司计划将一段路的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.公司研究发现有不同施工方案:如果工程由甲、乙两队合作,则12天可以完成;若由某个工程队独做,则乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍.(2)若甲队每天需要工程费用650元,乙队每天需要工程费用400元,从节约资金的角度考虑,应选择哪种施工方案?(2)如果工程由甲队单独完成,需要费用:650×18=11700(元),如果工程由乙队单独完成,需要费用:400×36=14400(元),如果工程由甲、乙两队合作,需要费用:(650+400)×12=12600(元),∵117001260014400,∴工程应由甲队单独完成.2.[2019·衡阳]某商店购进A,B两种商品,购买1个A商品比购买1个B商品多花10元,并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.(1)求购买一个A商品和一个B商品各需多少元.(2)商店准备购买A,B两种商品共80个,若A商品的数量不少于B商品数量的4倍,并且购买A,B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元,那么商店有哪几种购买方案?解:(1)设购买一个B商品为x元,则购买一个A商品为(x+10)元,根据题意,得300𝑥+10=100𝑥,解得x=5.经检验,x=5是原方程的解且符合题意.5+10=15.所以购买一个A商品需要15元,购买一个B商品需要5元.2.[2019·衡阳]某商店购进A,B两种商品,购买1个A商品比购买1个B商品多花10元,并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.(2)商店准备购买A,B两种商品共80个,若A商品的数量不少于B商品数量的4倍,并且购买A,B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元,那么商店有哪几种购买方案?(2)设购买A商品y个,则购买B商品(80-y)个.由题意得𝑦≥4(80-𝑦),1000≤15𝑦+5(80-𝑦)≤1050,解得64≤y≤65,所以有两种购买方案:①买A商品64个,B商品16个;②买A商品65个,B商品15个.3.[2019·桂林]为响应国家“足球进校园”的号召,某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7500元,已知购买一个B类足球比购买一个A类足球多花30元.(1)求购买一个A类足球和一个B类足球各需多少元?(2)通过全校师生的共同努力,今年该校被评为“足球特色学校”,学校计划用不超过4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个,若单价不变,则本次至少可以购买多少个A类足球?解:(1)设购买一个A类足球需要x元,购买一个B类足球需要y元,依题意,得:50𝑥+25𝑦=7500,𝑦-𝑥=30,解得:𝑥=90,𝑦=120.答:购买一个A类足球需要90元,购买一个B类足球需要120元.3.[2019·桂林]为响应国家“足球进校园”的号召,某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7500元,已知购买一个B类足球比购买一个A类足球多花30元.(2)通过全校师生的共同努力,今年该校被评为“足球特色学校”,学校计划用不超过4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个,若单价不变,则本次至少可以购买多少个A类足球?(2)设购买m个A类足球,则购买(50-m)个B类足球,依题意,得:90m+120(50-m)≤4800,解得:m≥40.答:本次至少可以购买40个A类足球.4.[2018·桂林]某校利用暑假进行田径场的改造维修,项目承包单位派遣一号施工队进行施工,计划用40天时间完成整个工程;当一号施工队工作5天后,承包单位接到通知,有一大型活动要在该校田径场进行,要求比原计划提前14天完成整个工程,于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程,结果按通知要求如期完成整个工程.(1)若由二号施工队单独施工,完成整个工程需要多少天?(2)若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要多少天?解:(1)设由二号施工队单独施工,完成整个工程需要x天,可列如下的表格:工作效率工作时间工作总量二号施工队单独施工1xx1一号施工队工作5天后,一号、二号施工队共同工作140+1x40-14-51-140×5则140×5+140+1𝑥(40-14-5)=1,去分母得5x+21(x+40)=40x,解得x=60,经检验,x=60是分式方程的解且符合题意.答:若由二号施工队单独施工,完成整个工程需要60天.4.[2018·桂林]某校利用暑假进行田径场的改造维修,项目承包单位派遣一号施工队进行施工,计划用40天时间完成整个工程;当一号施工队工作5天后,承包单位接到通知,有一大型活动要在该校田径场进行,要求比原计划提前14天完成整个工程,于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程,结果按通知要求如期完成整个工程.(2)若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要多少天?(2)设此项工程由一号、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要y天,则:140+160y=1,化简得:5120y=1,解得:y=24.答:若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要24天.例2[2019·齐齐哈尔]甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(时)的关系如图Z4-1所示,请结合图象解答下列问题:(1)货车的速度是千米/时,轿车的速度是千米/时,t的值为;类型二一次函数、反比例函数的实际应用（2015,21）图Z4-1(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.图Z4-1解:(1)50803[解析]货车的速度是50千米/时,轿车行驶的时间为400-5050-1=6(时),轿车的速度是:240×26=80(千米/时),t=240÷80=3.故答案为:50;80;3.例2[2019·齐齐哈尔]甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x(时)的关系如图Z4-1所示,请结合图象解答下列问题:(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;图Z4-1(2)由题意可知:A(3,240),B(4,240),C(7,0),设直线OA的解析式为y=k1x(k1≠0),∴y=80x(0≤x3).当3≤x4时,y=240.设直线BC的解析式为y=k2x+b(k2≠0),把B(4,240),C(7,0)代入,得4𝑘2+𝑏=240,7𝑘2+𝑏=0,解得𝑘2=-80,𝑏=560.∴y=-80x+560(4≤x≤7).∴y=80𝑥(0≤𝑥3),240(3≤𝑥4),-80𝑥+560(4≤𝑥≤7).例2[2019·齐齐哈尔]甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计),最后两车同时到达