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题型突破(三)反比例函数综合题类型一反比例函数与一次函数、不等式结合（2019,23/2017,23/2016,23/2013,21）例1[2018·兰州]如图Z3-1,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=𝑘𝑥的图象交于点A(1,2)和B(-2,m).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)请直接写出y1y2时,x的取值范围;(3)过点B作BE∥x轴,AD⊥BE于点D,点C是直线BE上一点,若AC=2CD,求点C的坐标.图Z3-1解:(1)∵点A(1,2)在反比例函数y2=𝑘𝑥的图象上,∴k=2,∴反比例函数的表达式为y2=2𝑥.把B(-2,m)的坐标代入y2=2𝑥,得m=-1,∴B(-2,-1).∵直线y1=ax+b过A(1,2),B(-2,-1)两点,∴2=𝑎+𝑏,-1=-2𝑎+𝑏,解得𝑎=1,𝑏=1,∴一次函数的表达式为y1=x+1.例1[2018·兰州]如图Z3-1,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=𝑘𝑥的图象交于点A(1,2)和B(-2,m).(2)请直接写出y1y2时,x的取值范围;图Z3-1(2)x1或-2x0.例1[2018·兰州]如图Z3-1,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=𝑘𝑥的图象交于点A(1,2)和B(-2,m).(3)过点B作BE∥x轴,AD⊥BE于点D,点C是直线BE上一点,若AC=2CD,求点C的坐标.图Z3-1(3)∵BE∥x轴,AD⊥BE,∴D(1,-1),AD=3.∵点C是直线BE上一点,设C(x,-1),∴CD=|x-1|.∵AC=2CD,∴AC=2|x-1|.在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,∴32+(x-1)2=4(x-1)2.3(x-1)2=9,x-1=±3,x=1±3.∴C1(1+3,-1)或C2(1-3,-1).【配练】[2017·北京]如图Z3-2,在平面直角坐标系xOy中,函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(1)求k,m的值.(2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=𝑘𝑥(x0)的图象于点N.①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.图Z3-2解:(1)∵函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m),∴m=3-2=1,把A(3,1)代入y=𝑘𝑥,得k=3×1=3,即k的值为3,m的值为1.【配练】[2017·北京]如图Z3-2,在平面直角坐标系xOy中,函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=𝑘𝑥(x0)的图象于点N.①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;图Z3-2(2)①当n=1时,P(1,1),将y=1代入y=x-2,得x-2=1,x=3,∴M(3,1),∴PM=2,将x=1代入y=3𝑥(x0),得y=3,∴N(1,3),PN=2,∴PM=PN.【配练】[2017·北京]如图Z3-2,在平面直角坐标系xOy中,函数y=𝑘𝑥(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).(2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=𝑘𝑥(x0)的图象于点N.②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.图Z3-2[答案]（2）②0n≤1或n≥3[解析]∵P(n,n),∴点P在直线y=x上,则M(n+2,n),Nn,3𝑛,∴PM=2,PN=3𝑛-n,由题意可知PN≥PM,即PN≥2,∴3𝑛-n≥2,∴0n≤1或n≥3.|题型精练|图Z3-31.[2019·泰安]如图Z3-3,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=152.(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.解:(1)过点A作AM⊥x轴于点M,则S△OAB=12OB·AM=152.∵B(5,0),∴OB=5,∴12×5·AM=152,∴AM=3.∵OB=AB,∴AB=5.在Rt△ABM中,BM=𝐴𝐵2-𝐴𝑀2=4,∴OM=OB+BM=9,∴A(9,3).∵点A在反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象上,∴3=𝑚9,m=27,反比例函数的表达式为y=27𝑥.∵点A(9,3),B(5,0)在一次函数y=kx+b的图象上,∴3=9𝑘+𝑏,0=5𝑘+𝑏,解得𝑘=34,𝑏=-154,∴一次函数的表达式为y=34x-154.图Z3-31.[2019·泰安]如图Z3-3,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(x0)的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=152.(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.(2)设点P(x,0),又∵A(9,3),B(5,0),AB2=25,∴AP2=(9-x)2+32=x2-18x+90,BP2=(5-x)2=x2-10x+25.根据等腰三角形中有两边相等,分类讨论:①令AB2=AP2,得25=x2-18x+90,解得:x1=5,x2=13.当x=5时,点P与点B重合,故舍去,∴P1(13,0).②令AB2=BP2,得25=x2-10x+25,解得:x1=0,x2=10.故P2(0,0),P3(10,0).③令AP2=BP2,得x2-18x+90=x2-10x+25,解得:x=658,∴P4658,0.综上所述,使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4658,0.2.[2017·呼和浩特模拟]已知在平面直角坐标系中,一次函数y=34x+3的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数y=32x的图象x0的那部分上,且MO=MA(O为坐标原点).(1)求线段AM的长;(2)若反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点M关于y轴的对称点M',求反比例函数的解析式,并直接写出当x0时,34x+3与𝑘𝑥的大小关系.解:(1)将x=0代入y=34x+3,得y=3,∴A(0,3).设M𝑚,32𝑚,其中m0,由勾股定理可知,MO2=m2+94m2=134m2,MA2=m2+32m-32,∵MA=MO,∴134m2=m2+32m-32,∴m=1,∴M1,32,∴AM=12+(32-3)2=132.2.[2017·呼和浩特模拟]已知在平面直角坐标系中,一次函数y=34x+3的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数y=32x的图象x0的那部分上,且MO=MA(O为坐标原点).(2)若反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点M关于y轴的对称点M',求反比例函数的解析式,并直接写出当x0时,34x+3与𝑘𝑥的大小关系.(2)由题意可知M'-1,32,将M'-1,32的坐标代入y=𝑘𝑥,得k=-32.∴反比例函数的解析式为y=-32𝑥.∵k=-320,∴当x0时,反比例函数图象在第四象限,即-32𝑥0,∴当x0时,34x+3-32𝑥.3.[2018·淄博]如图Z3-4,直线y1=-x+4,y2=34x+b都与双曲线y=𝑘𝑥交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)直接写出当x0时,不等式34x+b𝑘𝑥的解集;(3)若点P在x轴上,连接AP,且AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.图Z3-4解:(1)把A(1,m)的坐标代入y1=-x+4,得m=3,∴A(1,3).把A(1,3)的坐标代入y=𝑘𝑥,得k=3,∴反比例函数的表达式为y=3𝑥.3.[2018·淄博]如图Z3-4,直线y1=-x+4,y2=34x+b都与双曲线y=𝑘𝑥交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.(2)直接写出当x0时,不等式34x+b𝑘𝑥的解集;图Z3-4(2)当x0时,不等式34x+b𝑘𝑥的解集为x1.3.[2018·淄博]如图Z3-4,直线y1=-x+4,y2=34x+b都与双曲线y=𝑘𝑥交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.(3)若点P在x轴上,连接AP,且AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.图Z3-4(3)把A(1,3)的坐标代入y=34x+b,得b=94,∴y2=34x+94.把y=0代入y2=34x+94,得x=-3,∴C(-3,0)把y=0代入y1=-x+4,得x=4,∴B(4,0),∴BC=7.当S△ABP∶S△APC=1∶3时,BP∶PC=1∶3,∴BP=14×7=74,此时P94,0.当S△ABP∶S△APC=3∶1时,则BP∶PC=3∶1,∴BP=34×7=214,此时P-54,0.综上,点P的坐标为94,0或-54,0.类型二反比例函数与几何图形结合（2018,22/2015,23/2014,23）例2[2018·雅安]如图Z3-5,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象交于第一、三象限内的A,B两点,与x轴的负半轴交于点C,过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,AM=6,OC=1,tan∠ACM=2.(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)连接BM,求△ABM的面积.图Z3-5解:(1)因为AM⊥x轴,所以∠AMC=90°,在Rt△ACM中,AM=6,tan∠ACM=2,所以CM=3,因为OC=1,所以OM=2,所以点A的坐标为(2,6),因为点A(2,6)在双曲线上,所以m=2×6=12,所以反比例函数的表达式为y=12𝑥.又因为点C在x轴的负半轴上,且OC=1,所以C(-1,0),把A(2,6),C(-1,0)代入y=kx+b中,得2𝑘+𝑏=6,-𝑘+𝑏=0,解得𝑘=2,𝑏=2,所以一次函数的表达式为y=2x+2.例2[2018·雅安]如图Z3-5,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象交于第一、三象限内的A,B两点,与x轴的负半轴交于点C,过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,AM=6,OC=1,tan∠ACM=2.(2)连接BM,求△ABM的面积.图Z3-5(2)联立一次函数和反比例函数的表达式,得𝑦=12𝑥,𝑦=2𝑥+2,解得𝑥1=2,𝑦1=6,𝑥2=-3,𝑦2=-4,所以点B的坐标为(-3,-4),所以△BCM中CM边上的高为4,所以S△ABM=S△ACM+S△BCM=12×3×6+12×3×4=15.【配练】[2019·兰州]如图Z3-6,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.(1)求反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的表达式;(2)若四边形ACBO的面积是33,求点A的坐标.图Z3-6解:(1)作BD⊥OC于D,∵△BOC是等边三角形,∴OB=OC=2,OD=12OC=1,∴BD=𝑂𝐵2-𝑂𝐷2=3,∴S△OBD=12OD·BD=32,又∵S△OBD=12|k|,∴|k|=3,∵反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象在第一、三象限,∴k=3,∴反比例函数的表达式为y=3𝑥.【配练】[2019·兰州]如图Z3-6,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.(2)若