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题型突破（一）几何图形相关的证明与计算1.如图Z1-1,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1.求DE的长.类型一三角形背景下的证明与计算（2019,18/2017,18/2016,21/2013,18）图Z1-1解:∵∠ACB=90°,AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠DAC+∠DCA=90°,∠DCA+∠BCE=90°,∴∠DAC=∠BCE.在△ADC和△CEB中,∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐸𝐶,∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐸,𝐴𝐶=𝐵𝐶,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE=3,BE=CD=1.∵DE=EC-DC,∴DE=3-1=2.2.[2017·温州]如图Z1-2,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.(1)求证:△ABC≌△AED;(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.图Z1-2解:(1)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,又∵∠BCD=∠EDC=90°,∴∠BCD-∠ACD=∠EDC-∠ADC,即∠BCA=∠ADE.在△ABC和△AED中,𝐵𝐶=𝐸𝐷,∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐴𝐷𝐸,𝐴𝐶=𝐴𝐷,∴△ABC≌△AED(SAS).2.[2017·温州]如图Z1-2,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.图Z1-2(2)由△ABC≌△AED得∠B=∠E=140°,∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴∠BAE=540°-2×140°-2×90°=80°.3.[2018·宁波]如图Z1-3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.图Z1-3解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,∴∠DCE=90°,CD=CE.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,𝐶𝐷=𝐶𝐸,∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸,𝐴𝐶=𝐵𝐶,∴△ACD≌△BCE.3.[2018·宁波]如图Z1-3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.图Z1-3(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.又AD=BF,∴BE=BF,∴∠BEF=∠BFE=180°-45°2=67.5°.4.(1)问题发现如图Z1-4①,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①𝐴𝐶𝐵𝐷的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图Z1-4②,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断𝐴𝐶𝐵𝐷的值及∠AMB的度数,并说明理由.图Z1-4140°4.(2)类比探究如图Z1-4②,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断𝐴𝐶𝐵𝐷的值及∠AMB的度数,并说明理由.图Z1-4(2)𝐴𝐶𝐵𝐷=3,∠AMB=90°.理由如下:∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,∴𝐶𝑂𝐷𝑂=𝐴𝑂𝐵𝑂=3,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD,∴𝐴𝐶𝐵𝐷=𝐶𝑂𝐷𝑂=3,∠CAO=∠DBO,∵∠AOB=90°,∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90°,∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90°,∴∠AMB=90°.1.如图Z1-5,在平行四边形ABCD中,分别以边BC,CD为腰作等腰三角形BCF,等腰三角形CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.(1)求证:△ABF≌△EDA;(2)若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.类型二四边形背景下的证明与计算(2018,18/2018,20/2015,18/2014,21)图Z1-5证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD,∠ABC=∠ADC,∵BC=BF,CD=DE,∴AB=DE,BF=AD,又∠ABC=∠ADC,∠CBF=∠CDE,∴∠ABF=∠ADE,在△ABF和△EDA中,AB=DE,∠ABF=∠ADE,BF=AD,∴△ABF≌△EDA.1.如图Z1-5,在平行四边形ABCD中,分别以边BC,CD为腰作等腰三角形BCF,等腰三角形CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.(2)若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.图Z1-5(2)延长AB,交FC于点G.由(1)知∠EAD=∠AFB.∵∠GBF=∠AFB+∠BAF,∴∠GBF=∠EAD+∠BAF.由平行四边形ABCD可知:AD∥BC,∴∠DAG=∠CBG,∴∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°,∴BF⊥BC.2.[2017·呼和浩特实验中学模拟]如图Z1-6,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的点F处,DF交BC于点E.(1)求证:△DCE≌△BFE;(2)若CD=2,∠ADB=30°,求BE的长.图Z1-6解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,根据折叠的性质得∠ADB=∠BDF,∠F=∠A=∠C=90°,∴∠DBC=∠BDF,∴BE=DE.在△DCE和△BFE中,∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐷𝐸𝐶,∠𝐹=∠𝐶,𝐵𝐸=𝐷𝐸,∴△DCE≌△BFE.2.[2017·呼和浩特实验中学模拟]如图Z1-6,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的点F处,DF交BC于点E.(2)若CD=2,∠ADB=30°,求BE的长.图Z1-6(2)在Rt△BCD中,∵CD=2,∠DBC=∠ADB=30°,∴BC=23.在Rt△ECD中,∵CD=2,∠EDC=90°-30°-30°=30°,∴DE=2EC,∴(2EC)2-EC2=CD2,∴CE=233,∴BE=BC-EC=433.3.如图Z1-7,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.图Z1-7解:(1)证明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,∴BD∥FC.∵∠CBF=∠DCB,∴CD∥BF,∴四边形DBFC是平行四边形.3.如图Z1-7,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.图Z1-7(2)∵四边形DBFC是平行四边形,∴CF=BD=2.∵AB=BC,AC⊥BD,∴AE=CE,作CM⊥BF于F,∵BC平分∠DBF,∴CE=CM.∵∠F=45°,∴△CFM是等腰直角三角形,∴CM=22CF=2,∴AE=CE=2,∴AC=22.4.[2019·泰安]如图Z1-8,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG⊥AD,垂足为点G.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明.(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.图Z1-8解:(1)AG=FG.证明如下:在BC边上取一点M,使BM=BE,连接EM,AF.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∴AE=CM.∵∠CEF=90°,∴∠AEF+∠BEC=90°.∵∠BEC+∠BCE=90°,∴∠AEF=∠BCE.又∵CE=EF,∴△AEF≌△MCE,∴∠EAF=∠EMC=135°.又∵∠BAD=90°,∴∠DAF=45°.又∵FG⊥AD,∴∠AFG=∠DAF=45°,∴AG=FG.4.[2019·泰安]如图Z1-8,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG⊥AD,垂足为点G.(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.图Z1-8(2)DH⊥GH.证明如下:延长GH交CD于点Q.∵H为CF的中点,∴FH=CH.∵四边形ABCD是正方形,∴AD⊥CD.∵FG⊥AD,∴FG∥CD,∴∠GFH=∠DCH.又∵∠GHF=∠CHQ,FH=CH,∴△FGH≌△CQH,∴GH=HQ,FG=CQ,∴AG=CQ,∴DG=DQ,∴△DGQ是等腰三角形,∴DH⊥GH.