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第24课时矩形、菱形基础知识巩固高频考向探究定义有一个角是①的平行四边形叫做矩形性质(1)矩形具有平行四边形的所有性质(2)矩形的四个角都是②,对角线互相平分并且③(3)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是④考点一矩形考点聚焦直角直角相等对角线的交点基础知识巩固高频考向探究判定(1)定义法(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)⑤的平行四边形是矩形有关计算(1)周长C=2(a+b)(其中a为长,b为宽);(2)面积S=ab(其中a为长,b为宽)（续表）对角线相等基础知识巩固高频考向探究定义有一组⑥的平行四边形叫做菱形性质(1)菱形具有平行四边形的所有性质(2)菱形的四条边⑦,对角线互相⑧,并且每条对角线平分一组对角(3)菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是⑨(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩考点二菱形邻边相等相等垂直平分对角线的交点一半基础知识巩固高频考向探究判定(1)定义法(2)四条边⑪的四边形是菱形(3)对角线⑫的平行四边形是菱形有关计算(1)周长C=4a(其中a为边长);(2)面积S=ah=对角线乘积的一半(其中a为边长,h为此边上的高)（续表）相等互相垂直基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·无锡]下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直C基础知识巩固高频考向探究2.[八下P53例1改编]如图24-1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则AC=.图24-183.[八下P57练习第1题改编]四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,则AC=,BD=.86基础知识巩固高频考向探究4.[八下P61习题18.2第11题改编]如图24-2,四边形ABCD是菱形,若AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH=.图24-2[答案]4.8[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC=12AC=4,OB=OD=12BD=3,∴AB=5,∴S菱形ABCD=12AC·BD=AB·DH,∴DH=𝐴𝐶·𝐵𝐷2𝐴𝐵=4.8.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】对矩形及菱形有关涉及对角线方面的判定定理易混淆;不会利用菱形的轴对称性解决最短路径问题.5.下列命题中,正确的个数是()①若三条线段的比为1∶1∶2,则它们组成一个等腰直角三角形;②两条对角线相等的矩形是正方形;③对角线互相平分且相等的四边形是矩形;④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.A.1个B.2个C.3个D.4个C基础知识巩固高频考向探究6.如图24-3,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.图24-3𝟑基础知识巩固高频考向探究考向一矩形的性质与判定图24-4例1如图24-4所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:D是BC的中点;(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵点E是AD的中点,∴AE=DE.∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.∴△EAF≌△EDC.∴AF=DC.∵AF=BD,∴BD=DC,即D是BC的中点.基础知识巩固高频考向探究图24-4例1如图24-4所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.(2)四边形AFBD是矩形.证明如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,又由(1)可知D是BC的中点,∴AD⊥BC.∴▱AFBD是矩形.基础知识巩固高频考向探究1.[2015·呼和浩特7题]如图24-5,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为()A.12B.98C.2D.4|考向精练|C图24-5基础知识巩固高频考向探究2.[2014·呼和浩特9题]已知矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线AC,BD相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交边AD,BC于点E,F(不与顶点重合),连接AF,CE,则以下关于△CDE与△ABF的判断完全正确的一项为()A.△CDE与△ABF的周长都等于10cm,但面积不一定相等B.△CDE与△ABF全等,且周长都为10cmC.△CDE与△ABF全等,且周长都为5cmD.△CDE与△ABF全等,但它们的周长和面积都不能确定基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]如图,∵AO=CO,EF⊥AC,∴EF是AC的垂直平分线,∴EA=EC,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AD=12×20=10(cm),同理可求得△ABF的周长为10cm.根据全等三角形的判定方法可知:△CDE与△ABF全等.故选:B.基础知识巩固高频考向探究𝟐+13.如图24-6,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为.图24-6基础知识巩固高频考向探究4.数学文化[2019·呼和浩特一模]我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图24-7所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为.图24-7数学文化基础知识巩固高频考向探究[答案]24[解析]如图,设小正方形的边长为x,∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(3+x)2+(x+4)2=72,整理得,x2+7x-12=0,解得x=-7+972或x=-7-972(舍去).∴该矩形的面积为3+-7+972·4+-7+972=24.基础知识巩固高频考向探究5.[2014·呼和浩特21题]如图24-8,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:DE∥AC.图24-8基础知识巩固高频考向探究证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=CD,又∵AC是折痕,∴BC=CE=AD,AB=AE=CD,在△ADE与△CED中,𝐴𝐷=𝐶𝐸,𝐴𝐸=𝐶𝐷,𝐷𝐸=𝐸𝐷,∴△ADE≌△CED(SSS).基础知识巩固高频考向探究5.[2014·呼和浩特21题]如图24-8,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.(2)求证:DE∥AC.图24-8(2)∵△ADE≌△CED,∴∠EDC=∠DEA,又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称,∴∠OAC=∠CAB,∵∠OCA=∠CAB,∴∠OAC=∠OCA,∴2∠OAC=2∠DEA,∴∠OAC=∠DEA,∴DE∥AC.基础知识巩固高频考向探究考向二菱形的性质与判定例2[八下P67复习题18第5题改编]如图24-9,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,CE∥BD.(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若AB+AD=23,AO=8.5,求菱形OCED的面积.图24-9基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵DE∥OC,CE∥OD,∴四边形OCED为平行四边形.∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,∴OC=OD.∵四边形OCED为平行四边形,且OC=OD,∴四边形OCED为菱形.基础知识巩固高频考向探究例2[八下P67复习题18第5题改编]如图24-9,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,CE∥BD.(2)若AB+AD=23,AO=8.5,求菱形OCED的面积.图24-9(2)∵AO=8.5,∴AC=17,∵AB+AD=23,∴(AB+AD)2=232,∴AB2+AD2+2AB·AD=232,∴BD2+2AB·AD=232,∵BD=AC=17,∴AB·AD=120,易知矩形ABCD的面积是菱形CODE的面积的2倍,∴菱形CODE的面积是60.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·呼和浩特4题]已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为()A.22B.25C.42D.210[答案]C[解析]如图,∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC=12AC=1,OB=OD,AC⊥BD,∴OB=𝐴𝐵2-𝑂𝐴2=32-12=22,∴BD=2OB=42,故选:C.基础知识巩固高频考向探究图24-102.[2017·赤峰]如图24-10,将边长为4的菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=23,则∠A=()A.120°B.100°C.60°D.30°基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]如图,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵菱形沿EF折叠使点A与对角线的交点O重合,∴EF⊥AC,EF平分AO,∵AC⊥BD,∴EF∥BD,∴E,F分别为AB,AD的中点,∴EF为△ABD的中位线,∴EF=12BD,∴BD=2EF=43,∴BO=23,∴AO=𝐴𝐵2-𝐵𝑂2=2,∴AO=12AB,∴∠ABO=30°,∴∠BAO=60°,∴∠BAD=120°.故选A.基础知识巩固高频考向探究3.[2017·呼和浩特模拟]如图24-11,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,D(P,D两点不重合)两点间的最短距离为.图24-11基础知识巩固高频考向探究[解析]①若以边BC为底,则线段BC的垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”,即当点P与点A重合时,PD值最小,为2;②若以边PC为底,∠PBC为顶角时,以点B为圆心,BC长为半径作圆,则弧AC(除点C外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P为BD与弧AC的交点时,PD最小,最小值为23-2;③若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC为半径作圆,则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点D重合时,PD最小,显然不满足题意,故此种情况不存在.综上所述,PD的最小值为23-2.[答案]23-2基础知识巩固高频考向探究4.[2018·呼和浩特18题]如图24-12,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.图24-12解:(1)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AC=DF,又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.基础知识巩固高频考向探究4.[2018·呼和浩特18题]如图24-12,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.图24-12基础知识巩固高频考向探究(2)由勾股定理得DF=𝐸𝐹2+𝐷𝐸2=32+42=5,作EP⊥DF于P,则EP=𝐷𝐸·𝐸𝐹𝐷𝐹=125,∵四边形BCEF是菱形,则EF=CE,由勾股定理得FP=𝐸𝐹2-𝐸𝑃2=32-(125)2=95,则CP=FP=95