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单元思维导图第23课时多边形与平行四边形基础知识巩固高频考向探究图形性质多边形内角和n边形的内角和为①外角和任意多边形的外角和为360°对角线(1)n边形共有②条对角线;(2)从一个顶点出发的对角线把n边形分成③个三角形不稳定性n边形(n3)具有不稳定性考点一多边形考点聚焦(n-2)·180°𝒏(𝒏-𝟑)𝟐n-2基础知识巩固高频考向探究图形性质正多边形边各条边④内角各个内角⑤,且正n边形的每个内角为⑥外角各个外角相等,且正n边形的每个外角为⑦对称性(1)正多边形都是⑧对称图形,其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形;(2)正n边形有⑨条对称轴（续表）相等相等(𝒏-𝟐)·𝟏𝟖𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏轴n基础知识巩固高频考向探究定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质(1)平行四边形的对边⑩;(2)平行四边形的对角⑪,邻角⑫;(3)平行四边形的对角线互相⑬;(4)平行四边形是⑭对称图形判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别⑮的四边形是平行四边形;(3)一组对边⑯的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别⑰的四边形是平行四边形;(5)对角线互相⑱的四边形是平行四边形考点二平行四边形平行且相等相等互补平分中心相等平行且相等相等平分基础知识巩固高频考向探究面积S=ah(a表示一条边长,h表示此边上的高)相关结论(1)平行四边形的两条对角线将平行四边形分成⑲的四个三角形;(2)同底等高的平行四边形的面积相等;(3)若一条直线过平行四边形的对角线的交点,则这条直线等分平行四边形的面积（续表）面积相等基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】(1)多边形的外角和与边数无关;(2)多边形的内角中最多有3个锐角.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积,则这样的折纸方法共有()A.1种B.2种C.3种D.无数种D基础知识巩固高频考向探究2.[2019·威海]如图23-1,E是▱ABCD的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是()A.∠ABD=∠DCEB.DF=CFC.∠AEB=∠BCDD.∠AEC=∠CBD图23-13.[八上P24练习第3题改编]一个多边形的内角和与外角和相等,它是边形.C四基础知识巩固高频考向探究4.[八下P51习题18.1第12题改编]如图23-2,在四边形ABCD中,AD=12,DO=OB=5,AC=26,∠ADB=90°,则BC=,四边形ABCD的面积=.图23-2[答案]12120[解析]在Rt△AOD中,∠ADB=90°,AD=12,OD=5,根据勾股定理,得OA2=OD2+AD2=52+122=169,∴OA=13.∵AC=26,OA=13,∴OA=OC.又DO=OB,∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC=12.∵∠ADB=90°,∴AD⊥BD,∴S四边形ABCD=AD·BD=12×10=120.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】对平行四边形对角线性质运用不熟练;忽视分类讨论或者分类讨论不全.5.已知平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线a的取值范围()A.4a16B.14a26C.12a20D.以上答案都不正确B6.平行四边形ABCD中,AB=5,AC=25,BC边上的高为4,则平行四边形ABCD的周长是.12或20基础知识巩固高频考向探究7.一个n边形切去一个角后所得多边形的内角和为1800°,则这个多边形的边数是3.[答案]11或12或13[解析]设n边形切去一个角后所得多边形的边数为m,则(m-2)·180°=1800°,解得m=12,∴原来多边形的边数是11或12或13.基础知识巩固高频考向探究考向一多边形的概念及性质图23-3例1[2019·株洲]如图23-3所示,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB=度.[答案]66[解析]∵正五边形的每个内角为108°,∴∠EAB=108°,∵AP平分∠EAB,∴∠PAB=54°,△ABP中,∠APB=180°-∠ABP-∠PAB=180°-60°-54°=66°.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.将一个n边形变成n+1边形,内角和将()A.减少180°B.增加90°C.增加180°D.增加360°C基础知识巩固高频考向探究2.[2019·济宁]如图23-4,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是.图23-4[答案]140°[解析]方法1:设正九边形的每个内角为x°,根据多边形内角和公式得:(9-2)·180=9x,解得x=140.方法2:根据多边形的外角和为360°,可知它每个外角为360°÷9=40°,∴每个内角是180°-40°=140°.基础知识巩固高频考向探究[答案]72[解析]∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠EAB=∠ABC=(5-2)×180°5=108°,∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA=36°,同理∠ABE=36°,∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°.故答案为72.3.[2019·广安]如图23-5,正五边形ABCDE中,对角线AC与BE相交于点F,则∠AFE=度.图23-5基础知识巩固高频考向探究考向二平行四边形的判定及性质例2[2018·原创]如图23-6,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O.判断正误:(1)AB∥CD,AD∥BC;()(2)AB=CD,AD=BC;()(3)∠ABC=∠CDA;()(4)AO=OD;()(5)AO⊥OD;()(6)AO=OC;()(7)AO⊥AB.()图23-6√√√××√×基础知识巩固高频考向探究【方法点析】利用平行四边形的性质转化成线段或角度之间的等量关系的方法:(1)对边平行,可得到相等的角;(2)对边相等、对角线互相平分可得到相等的线段;(3)题中有角平分线时,可根据结论“平行+角平分线可得等腰三角形”得到等角、等边;(4)当有线段过对角线的交点和一边中点时,可利用三角形中位线的性质求解.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·呼和浩特8题]顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A.5种B.4种C.3种D.1种C基础知识巩固高频考向探究2.[2019·达州]如图23-7,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为.图23-7[答案]16[解析]O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,点E是AB的中点,可得OE=12AD,BE=12AB,BO=12BD,可得△BEO的周长是△BAD周长的一半,而△BCD的周长和△BAD周长相等,即△BCD的周长为16.基础知识巩固高频考向探究3.[2018·呼和浩特回民区二模]农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物,现需将该实验田划分成四个平行四边形地块,如图23-8.已知其中三块的面积分别是14m2,10m2,36m2,则第四块田的面积为.图23-8𝟏𝟖𝟎𝟕m2基础知识巩固高频考向探究4.[2017·呼和浩特15题]如图23-9,在▱ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F,点M是边AB上靠近点B的一个三等分点,则△AOE与△BMF的面积比为.图23-9基础知识巩固高频考向探究[答案]3∶4[解析]设AB=AC=m,则BM=13m,∵O是两条对角线的交点,∴OA=OC=12AC=12m,∵∠B=30°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=30°,∵EF⊥AC,∴cos∠ACB=𝑂𝐶𝐹𝐶,即cos30°=12𝑚𝐹𝐶,∴FC=33m.∵AE∥FC,∴∠EAC=∠FCA,又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF,∴AE=FC=33m,∴OE=12AE=36m,∴S△AOE=12OA·OE=12×12m×36m=324m2.基础知识巩固高频考向探究作AN⊥BC于N,∵AB=AC,∴BN=CN=12BC,∵BN=32AB=32m,∴BC=3m,∴BF=BC-FC=3m-33m=233m,作MH⊥BC于H,∵∠B=30°,∴MH=12BM=16m,∴S△BMF=12BF·MH=12×233m×16m=318m2,∴𝑆△𝐴𝑂𝐸𝑆△𝐵𝑀𝐹=324𝑚2318𝑚2=34.故答案为3∶4.基础知识巩固高频考向探究5.[2015·呼和浩特18题]如图23-10,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=CF.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)若BD=EF,连接DE,BF,判断四边形EBFD的形状,无需说明理由.图23-10基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,在△BOE和△DOF中,𝑂𝐵=𝑂𝐷,∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐷𝑂𝐹,𝑂𝐸=𝑂𝐹,∴△BOE≌△DOF(SAS).基础知识巩固高频考向探究5.[2015·呼和浩特18题]如图23-10,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=CF.(2)若BD=EF,连接DE,BF,判断四边形EBFD的形状,无需说明理由.图23-10[答案](2)四边形EBFD是矩形[解析]∵OB=OD,OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,∵BD=EF,∴四边形EBFD是矩形.基础知识巩固高频考向探究6.如图23-11,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意选取两个作为条件,以“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题.(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例.(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成“如果…,那么…”的形式)图23-11基础知识巩固高频考向探究解:(1)是真命题.证明如下:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,∴△ABO≌△CDO,∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.基础知识巩固高频考向探究6.如图23-11,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意选取两个作为条件,以“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题.(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成“如果…,那么…”的形式)图23-11基础知识巩固高频考向探究(2)假命题:①四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.②四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.反例:如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形.如图②,四边形ABCD中,AO=CO,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形.