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提分微课(二)关于角平分线的联想当题中出现角平分线或易得到角平分线(有对称或等腰三角形)时,首先考虑利用角平分线定理求解.若另有平行或垂直等条件,则可考虑构造等腰三角形或对称图形求解.类型一角平分线+边的垂线双垂直如图W2-1,遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时,一般过该点作另一边的垂线,构造双垂直求解.构造图W2-11.如图W2-2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3,则点D到AB的距离DE是()A.5B.4C.3D.2图W2-2C2.如图W2-3,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,则DE的长是.图W2-3[答案]2029[解析]作DF⊥AC,CM⊥AB,垂足分别为点F,M,则DF=DE.∵∠BAC=45°,AC=8,∴CM=AM=42,∴S△ABC=12AB·CM=12×10×42=202.又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB·DE+12AC·DF=12DE·(AB+AC)=202,∴DE=2029.解:(1)(12,9)153.如图W2-4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(1)填空:点B的坐标为;AC的长度为.(2)若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图W2-4[解析]∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC=9,BC=OA=12,∴A(12,0),B(12,9),AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=92+122=15.故答案为(12,9);15.3.如图W2-4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(2)若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图W2-4(2)如图,作DM⊥AC于M.∵CD平分∠ACO,DO⊥CO,DM⊥AC,∴DO=DM,∠COD=∠CMD=90°,∵CD=CD,∴Rt△CDO≌Rt△CDM(HL),∴CM=OC=9.∵AC=15,∴AM=6.设OD=x,则DM=x,AD=12-x,在Rt△ADM中,∵AD2=DM2+AM2,∴x2+62=(12-x)2,解得x=92,∴D92,0.设直线CD的解析式为y=kx+b,代入C(0,9),D92,0,则𝑏=9,0=92𝑘+𝑏,解得𝑘=-2,𝑏=9,∴直线CD的解析式为y=-2x+9.类型二角平分线+角平分线的垂线等腰三角形构造图W2-5如图W2-5,当题目中有垂直于角平分线的线段PA时,通过延长AP交ON于点B,构造等腰三角形AOB求解.4.如图W2-6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,则AE=.图W2-6[答案]4[解析]延长BD,AC交于点F,∵AD平分∠BAC,AD⊥BD,∴∠ABF=∠AFB,BD=FD,BF=2BD.∵AD⊥BD,∠ACB=90°,∠AEC=∠BED,∴∠EAC=∠FBC.又∵AC=BC,∴△ACE≌△BCF,∴AE=BF=2BD=4.5.如图W2-7,△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=10,AD平分∠BAC,交BC于点D,BE⊥AD交AD延长线于点E,连接CE,则△ACE的面积为.图W2-7[答案]5[解析]延长BE和AC交于点F,易得△ABF是等腰直角三角形.∵AE⊥BF,∴BE=EF.∴S△ACE=S△AEF-S△CEF=12S△ABF-12S△BCF=12(S△ABF-S△BCF)=12S△ABC=5.6.如图W2-8,在△ABC中,点M为BC的中点,AD平分∠BAC,且BD⊥AD于点D.求证:DM=12(AC-AB).图W2-8证明:延长BD交AC于E,∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠ADE=90°,∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠EAD,∴∠ABD=∠AEB,∴AB=AE,BD=DE,∵M为BC的中点,∴DM=12CE=12(AC-AE)=12(AC-AB).类型三见角平分线作对称全等三角形构造图W2-9如图W2-9,若P是∠MON平分线上一点,点A是边OM上任意一点,可考虑在边ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB≌△OPA,进而将一些线段和角进行等量代换,这是常用的解题技巧之一.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE.∴∠CBE=∠CDE.又∵AB∥DC,∴∠APD=∠CDE.∴∠APD=∠CBE.7.如图W2-10,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点且不与A,B重合,连接DP交对角线AC于E,连接BE.求证:∠APD=∠CBE.图W2-108.如图W2-11,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+CD.图W2-11证法一:如图,在AB上截取AF,使AF=AC.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,在△AFD与△ACD中,𝐴𝐹=𝐴𝐶,∠1=∠2,𝐴𝐷=𝐴𝐷,∴△AFD≌△ACD(SAS),∴DF=DC,∠AFD=∠C,∵∠C=2∠B,∠AFD=∠3+∠B,∴∠3=∠B,∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD,∴AB=AC+CD.证法二:如图,延长AC到点E,使CE=DC.∴∠CDE=∠CED,∴∠ACB=2∠CED,又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠CED,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,在△ABD与△AED中,∠1=∠2,∠𝐵=∠𝐶𝐸𝐷,𝐴𝐷=𝐴𝐷,∴△ABD≌△AED(AAS),∴AB=AE.又∵AE=AC+CE=AC+DC,∴AB=AC+DC.类型四角平分线+平行线等腰三角形当题中同时出现角平分线和平行线时,注意找等腰三角形.一般地,角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件存在,可得第三个条件.如图W2-12,OP平分∠MON,PQ∥ON,则△OPQ为等腰三角形.图W2-12构造9.如图W2-13,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D的度数为()A.50°B.60°C.70°D.100°10.在△ABC中,D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD.若BD平分∠ABC,则下列结论错误的是()A.BC=2BEB.∠A=∠EDAC.BC=2ADD.BD⊥AC图W2-13AC11.如图W2-14,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=.图W2-14[答案]32[解析]∵AC是正方形ABCD的对角线,AB=3,∴AC=32,∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,∴∠DCE=∠ECA.∵DC∥EB,∴∠CEA=∠DCE,∴∠CEA=∠ECA,∴AE=AC=32,故答案为:32.12.在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F,若AD=11,EF=5,则AB=.[答案]8或3[解析][解析]①如图①,在▱ABCD中,∵BC∥AD,∴∠ADF=∠CFD.∵DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠ADF=∠CDF,∴∠CFD=∠CDF,∴CF=CD.同理可证AB=BE.∴AB=BE=CF=CD.∵EF=5,BC=AD=11,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8.②如图②,在▱ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.故答案为8或3.①②13.如图W2-15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,则DE=.图W2-15[答案]52[解析]∵AC∥ED,AD平分∠EAC,∴∠CAD=∠ADE,∠CAD=∠EAD,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,∵AD⊥BD,∴∠BAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠EDB=90°,∴∠ABD=∠EDB,∴BE=DE=AE,∴ED=12AB=52.类型五角平分线+角平分线三角形内心图W2-16构造如图W2-16,三角形任意两条角平分线交于点P,则点P为三角形的内心,且S△ABC=12(AB+AC+BC)·PM,∠BPC=90°+12∠A.14.如图W2-17所示,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=.图W2-172∶3∶415.如图W2-18所示,已知△ABC的周长是18cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,若△ABC的面积为45cm2,则OD=;若∠BOC=110°,则∠A=°.图W2-185cm40图W2-1816.如图W2-19,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为()A.52B.83C.103D.154[答案]C[解析]过E作ED⊥AB于D,EM⊥BC于M,EN⊥AC于N,易得:四边形BMED是正方形,AD=AN,CM=CN,由勾股定理得AC=10,sin∠ACB=35.设BD=BM=x,则AD=AN=6-x,MC=NC=8-x,∵AN+NC=AC,∴6-x+8-x=10,∴x=2,∴BD=BM=DE=EN=2.∵EF∥BC,∴sin∠AFE=sin∠ACB=𝐸𝑁𝐸𝐹=35,∴EF=103.