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提分微课（一）关于中点的联想图形中出现中点,可以引起我们丰富的联想:首先,它和三角形的中线紧密联系;若中点是在直角三角形的斜边上,又可以引用结论“斜边上的中线等于斜边的一半”;其次,中点又与三角形的中位线息息相关;另外,中点还可以与中心对称相联系.解答中点问题的关键是通过联想恰当地添加辅助线,如作倍长中线、作直角三角形斜边上的中线、构造三角形中位线、构造中心对称图形等.类型一三角形中点全等三角形(倍长中线)构造图W1-11.如图W1-1,在△ABC中,AB=12,AC=8,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是.[答案]2AD10[解析]延长AD到E,使DE=AD,连接BE,∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,在△ADC和△EDB中,𝐴𝐷=𝐷𝐸,∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵,𝐷𝐶=𝐵𝐷,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=BE=8,在△ABE中,AB-BEAEAB+BE,∴12-82AD12+8,∴2AD10.2.如图W1-2,△ABC中,AB=4,AC=7,M为BC的中点,AD平分∠BAC,过M作MF∥AD,交AC于F,则FC的长等于.图W1-2[答案]5.5[解析]如图,延长FM到N,使MN=MF,连接BN,延长MF交BA的延长线于E,∵M是BC的中点,∴BM=CM,又∠BMN=∠CMF,∴△BMN≌△CMF,∴BN=CF,∠N=∠MFC,又∵∠BAD=∠CAD,MF∥AD,∴∠E=∠BAD=∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N,∴AE=AF,BN=BE,∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=BN+FC=2FC,∴FC=12(AB+AC)=5.5.3.如图W1-3,△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,求证:AB=2CD.图W1-3证明:延长CD到E,使DE=CD,又∵AD=BD,∴四边形ACBE是平行四边形.∵∠ACB=90°,∴平行四边形ACBE是矩形,∴AB=CE,∴AB=2CD.类型二多个中点中位线构造4.[2018·苏州]如图W1-4,在△ABC中,延长BC至D,使得CD=12BC,过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD,连接DF.若AB=8,则DF的长为()A.3B.4C.23D.32图W1-4[答案]B[解析]取BC的中点G,连接EG,∵E是AC的中点,∴EG是△ABC的中位线,∴EG=12AB=12×8=4,设CD=x,则EF=BC=2x,∴BG=CG=x,∴EF=2x=DG,∵EF∥CD,∴四边形EGDF是平行四边形,∴DF=EG=4,故选B.5.[2017·株洲]如图W1-5,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为()A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它是矩形图W1-5[答案]C[解析]连接AC,BD,∵点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,∴EF=HG=12AC,EH=FG=12BD,∴四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH一定是中心对称图形,当AC⊥BD时,∠EFG=90°,此时四边形EFGH是矩形,当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH可能是轴对称图形,故选C.6.[2018·天津]如图W1-6,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.图W1-6[答案]192[解析]连接DE,∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE∥AC,2DE=AC=4,EC=2,∵EF⊥AC,∴DE⊥EF.∴△DEG为直角三角形,在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=3.∵G为EF的中点,∴EG=32.在Rt△DEG中,DE=2,EG=32,由勾股定理得,DG=𝐷𝐸2+𝐸𝐺2=192.故答案为192.7.[2017·天津]如图W1-7,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为.图W1-7[答案]5[解析]如图,延长GE交AB于点N,过点P作PM⊥GN于M.由正方形的性质可知:AN=AB-BN=AB-EF=2,NE=GN-GE=BC-FC=2.根据点P是AE的中点及PM∥AN,可得PM为△ANE的中位线,所以ME=12NE=1,PM=12AN=1,因此MG=2.根据勾股定理可得:PG=𝑃𝑀2+𝑀𝐺2=5.8.如图W1-8所示,在△ABC中,∠ABC的平分线BE与BC边上的中线AD垂直且相等,已知BE=AD=4,则AB=,AC=.图W1-8[答案]1335[解析]如图,设AD,BE相交于点G,取CE的中点F,连接DF,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴DF是△BCE的中位线,∴DF∥BE,DF=12BE=12×4=2.∵BE是∠ABC的平分线,BE⊥AD,∴AG=GD=12AD=12×4=2,AB=BD,∴GE是△ADF的中位线,∴GE=12DF=12×2=1,∵BE=4,∴BG=BE-GE=4-1=3,在Rt△ABG中,AB=𝐴𝐺2+𝐵𝐺2=22+32=13,∴BD=AB=13,∵AD是△ABC的中线,BC=2BD=213.在Rt△AEG中,AE=𝐴𝐺2+𝐺𝐸2=22+12=5,∵DF是△BCE的中位线,GE是△ADF的中位线,∴AE=EF=CF=5,∴AC=35.类型三直角三角形斜边中点斜边上的中线图W1-9构造9.[2018·南充]如图W1-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为()A.12B.1C.32D.3[答案]B[解析]∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=BD=AD.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∴△CBD为等边三角形,∴CD=BC=2.∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF=12CD=1.故选B.10.[2018·荆门]如图W1-10,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()A.24πB.22πC.1D.2图W1-10[答案]C[解析]连接OM,CM,OC.∵OQ⊥OP,且M是PQ的中点,∴OM=12PQ.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=12PQ,∴OM=CM,∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分线上.∵当P在A点时,点M为AC的中点,当P在C点时,点M为BC的中点,∴点M所经过的路线长为12AB=1.故选C.11.[2019·淮安]如图W1-11,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将△CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan∠HAP=.图W1-11[答案]43[解析]如图所示,连接PB交CH于点O.∵H是AB的中点,∴HB=12AB=32.∵将△CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,∴HP=HB,PB=2BO=2×𝐻𝐵·𝐵𝐶𝐻𝐶=2×32×2(32)2+22=2×352=125.∵HP=HB=12AB,∴△APB是直角三角形,∴tan∠HAP=𝑃𝐵𝑃𝐴=𝑃𝐵𝐴𝐵2-𝑃𝐵2=12532-(125)2=12595=43.12.[2019·苏州模拟]如图W1-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合,直角三角板绕着点P旋转,两条直角边分别交AB边于M,N,则MN的最小值是.图W1-12[答案]25[解析]取MN的中点D,连接PD,∵∠MPN=90°,∴MN=2PD,∴当PD⊥MN时,PD的值最小,此时MN的值最小,如图所示,∵∠A=∠A,∠ADP=∠ACB=90°,∴△APD∽△ABC,∴𝑃𝐷𝐵𝐶=𝐴𝑃𝐴𝐵,即𝑃𝐷5=555,∴PD=5,∴MN=2PD=25.故答案为25.13.[2017·福建改编]如图W1-13,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形,AP=2,则CF=.图W1-13[答案]324[解析]如图,连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC.∵四边形ABCD和四边形PEFD是矩形,∴∠ADC=∠PDF=90°,∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,∴∠ADP=∠CDF,∵∠BCD=90°,OE=OD,∴OC=12ED.在矩形PEFD中,PF=DE,∴OC=12PF,∵OP=OF=12PF,∴OC=OP=OF,∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,∴2∠OCP+2∠OCF=180°,∴∠PCF=90°,∴∠PCD+∠FCD=90°,在Rt△ADC中,∠PCD+∠PAD=90°,∴∠PAD=∠FCD,∴△ADP∽△CDF,∴𝐶𝐹𝐴𝑃=𝐶𝐷𝐴𝐷=34,∵AP=2,∴CF=324.14.[2018·滨州]已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图W1-14①,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF.(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.图W1-14解:(1)证明:如图①,连接AD.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠BDA=∠EDF=90°,∴∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF.∴∠BDE=∠ADF.又∵D为BC的中点,△ABC是等腰直角三角形,∴BD=AD,∠B=∠DAC=45°.∴△BDE≌△ADF(ASA).∴BE=AF.14.[2018·滨州]已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.图W1-14(2)BE=AF.理由:如图②,连接AD.∵∠BDA=∠EDF=90°,∴∠BDE+∠BDF=∠BDF+∠ADF.∴∠BDE=∠ADF.又∵D为BC的中点,△ABC是等腰直角三角形,∴BD=AD,∠ABC=∠DAC=45°.∴∠EBD=∠FAD=180°-45°=135°.∴△BDE≌△ADF(ASA).∴BE=AF.类型四等腰三角形底边中点三线合一构造图W1-1515.[2018·武汉]如图W1-15,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长,则DE的长是.[答案]32[解析]延长BC至M,使CM=CA,连接AM,作CN⊥AM于N,∵DE平分△ABC的周长,AD=DB,∴ME=EB,∴DE=12AM,DE∥AM,∵∠ACB=60°,∴∠ACM=120°,∵CM=CA,∴∠ACN=60°,AN=MN,∴AN=AC·sin∠ACN=32,∴AM=3,∴DE=32.故答案为:32.16.如图W1-16,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D,E分别是AB,AC边上的点,且BD=CE.(1)求证:MD=ME.(2)若D为AB的中点,并且AB=8,求ME的长.图W1-16解:(1)证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠DBM=∠ECM,∵M是BC的中点,∴BM=CM,在△BDM和△CEM中,𝐵𝐷=𝐶𝐸,∠𝐷𝐵𝑀=∠𝐸𝐶𝑀,𝐵𝑀=𝐶𝑀,∴△BDM≌△CEM(SAS),∴MD=ME.16.如图W1-16,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D,E分别是AB,AC边上的点,且BD=CE.(2)若D为AB的中点,并且AB=8,求ME的长.图W1-16(2)如图,连接AM,∵△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,∴AM⊥B