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第21课时相似三角形及其应用基础知识巩固高频考向探究2.比例中项:如果𝑎𝑏=𝑏𝑐,即b2=①,我们就把b叫做a,c的比例中项.考点一比例线段的相关概念及性质考点聚焦1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比.ac基础知识巩固高频考向探究3.比例的基本性质性质1ab=cd⇔②=bc(bd≠0)性质2如果ab=cd,那么a±bb=③性质3如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=④ad𝒄±𝒅𝒅𝒂𝒃基础知识巩固高频考向探究4.黄金分割:在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),如果𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比为⑤,一条线段有⑥个黄金分割点.𝟓-𝟏𝟐两基础知识巩固高频考向探究考点二平行线分线段成比例1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图21-1,两条直线l1,l2被三条互相平行的直线AD,BE,CF所截,则𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹.图21-1基础知识巩固高频考向探究2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图21-2,在△ABC中,因为DE∥BC,所以𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶,也可以说𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐵𝐷𝐸𝐶.图21-2基础知识巩固高频考向探究判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边成比例的两个三角形⑦;(3)两边成比例且⑧相等的两个三角形相似;(4)两角分别相等的两个三角形相似;(5)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似考点三相似三角形的性质及判定相似夹角1.相似三角形的性质及判定基础知识巩固高频考向探究性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于⑨,相似三角形面积的比等于⑩（续表）相似比相似比的平方基础知识巩固高频考向探究2.判定三角形相似的思路(1)有平行截线——用平行线的性质,找等角(2)有一对等角,找另一对等角该角的两边对应成比例(3)有两边对应成比例,找夹角相等第三边也对应成比例基础知识巩固高频考向探究(4)直角三角形,找一对锐角相等斜边、直角边对应成比例(5)等腰三角形,找顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例基础知识巩固高频考向探究考点四相似多边形1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角⑪;(2)相似多边形的对应边⑫;(3)相似多边形的周长比⑬相似比,面积比等于⑭.相等成比例等于相似比的平方基础知识巩固高频考向探究考点五图形的位似1.定义:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行(或在同一直线上),像这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.2.基本图形:图21-3基础知识巩固高频考向探究3.性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于⑮;(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于⑯点;(3)位似图形对应边⑰(或在同一条直线上);(4)位似图形对应角相等.4.作图步骤(1)确定位似中心;(2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点;(3)描出新图形.相似比一平行基础知识巩固高频考向探究考点六相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系,求线段的长度,图形的面积等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解;(2)计算从底部能直接测量的物体的高度;(3)计算从底部不能直接测量的物体的高度;(4)计算不能直接测量的河的宽度基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·重庆B卷]下列命题是真命题的是()A.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为2∶3B.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为4∶9C.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为2∶3D.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为4∶9B基础知识巩固高频考向探究图21-42.[九下P31练习第1题改编]如图21-4,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,则𝐵𝐶𝐶𝐸=.[答案]35[解析]∵AB∥CD∥EF,∴𝐵𝐶𝐶𝐸=𝐴𝐷𝐷𝐹.而AD=AG+GD=3,DF=5,∴𝐵𝐶𝐶𝐸=35.基础知识巩固高频考向探究3.[九下P35例2改编]如图21-5,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D,则AD的长为.图21-5[答案]4[解析]由已知,得△AED∽△ABC,∴𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵,∴AD=𝐴𝐶·𝐴𝐸𝐴𝐵=8×510=4.基础知识巩固高频考向探究4.如图21-6,△ABC中,CD是边AB上的高,且𝐴𝐷𝐶𝐷=𝐶𝐷𝐵𝐷,则∠ACB=.90°图21-6基础知识巩固高频考向探究5.[九下P58复习题27第11题改编]如图21-7,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm.把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是mm.图21-7[答案]48[解析]设正方形零件的边长为xmm,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴𝐴𝐾𝐴𝐷=𝐸𝐹𝐵𝐶,∴𝐴𝐷-𝑥𝐴𝐷=𝑥𝐵𝐶,即80-𝑥80=𝑥120,∴x=48.即正方形零件的边长为48mm.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】相似三角形面积比、周长比与相似比的关系错误;对于图形不确定的相似三角形问题,需要分类讨论.6.[2018·连云港]如图21-8,△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则△ADE与△ABC的面积的比为.图21-8[答案]1∶9[解析]∵DE∥BC,AD∶DB=1∶2,∴𝐴𝐷𝐴𝐵=13,△ADE∽△ABC,∴𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=19,故答案为:1∶9.基础知识巩固高频考向探究7.[2018·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.基础知识巩固高频考向探究[答案]3或65[解析]由题意知,点P在线段BD上.(1)如图所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=12DC=3;基础知识巩固高频考向探究(2)如图所示,若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD=𝐵𝐶2+𝐶𝐷2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴𝑃𝐸𝐷𝐶=𝐵𝑃𝐵𝐷=15,∴PE=15CD=65.综上所述,PE的长为3或65.基础知识巩固高频考向探究考向一比例线段图21-9例1如图21-9,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则𝐶𝐹𝐵𝐹的值为()A.12B.13C.14D.23[答案]A[解析]根据平行线分线段成比例的基本事实,得出𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐵𝐹𝐶𝐹=2,则𝐶𝐹𝐵𝐹=12.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[九下P29探究题改编]如图21-10,直线l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若𝐴𝐵𝐵𝐶=23,DE=4,则EF的长是()A.83B.203C.6D.10图21-10[答案]C[解析]因为l1∥l2∥l3,所以𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹,所以4𝐸𝐹=23,所以EF=6.故选C.基础知识巩固高频考向探究2.如图21-11,点C把线段AB分成两条线段AC和BC.如果𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐵𝐶𝐴𝐶,那么线段AB被点C黄金分割,AC与AB的比叫黄金比,其比值为()A.5-12B.3-52C.5+12D.3+52图21-11A基础知识巩固高频考向探究[答案]D3.已知a,b,c为非零实数,且满足𝑏+𝑐𝑎=𝑎+𝑐𝑏=𝑎+𝑏𝑐=k,则一次函数y=kx+(1+k)的图象一定经过()A.第一、二、三象限B.第二、四象限C.第一象限D.第二象限[解析]分两种情况讨论:当a+b+c≠0时,k=2(𝑎+𝑏+𝑐)𝑎+𝑏+𝑐=2,此时一次函数解析式是y=2x+3,其图象过第一、二、三象限;当a+b+c=0,即a+b=-c时,k=-1,此时一次函数解析式是y=-x,其图象过第二、四象限.综上所述,该直线必经过第二象限.所以D选项是正确的.基础知识巩固高频考向探究考向二相似三角形的性质及判定例2如图21-12,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点.若动点E以1cm/s的速度从点A出发,沿着A→B→A的方向运动,设点E的运动时间为ts(0≤t6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为()A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5图21-12基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,∴AB=2BC=4cm.∵BC=2cm,D为BC的中点,∴BD=12BC=1cm.若∠DEB=90°,当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BDE=30°,∴BE=12BD=12cm,∴t=3.5;当B→A时,t=4+0.5=4.5.若∠EDB=90°,当A→B时,∵∠ABC=60°,∴∠BED=30°,∴BE=2BD=2cm,∴t=2;当B→A时,t=4+2=6(舍去).综上可得,t的值为2或3.5或4.5.故选D.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·包头昆区二模]如图21-13,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,若AD=4,AB=6,则𝐴𝐶𝐴𝐹的值为()A.2B.74C.32D.62图21-13[答案]B[解析]∵∠ACB=90°,E为AB的中点,∴CE=AE=12AB=3,∴∠EAC=∠ECA.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA.又∵∠AFD=∠CFE,∴△AFD∽△CFE,∴𝐶𝐹𝐴𝐹=𝐶𝐸𝐴𝐷=34,∴𝐴𝐶𝐴𝐹=74.基础知识巩固高频考向探究2.如图21-14,O为矩形ABCD的中心,将直角三角板的直角顶点与O点重合,转动三角板使两直角边始终与BC,AB相交,交点分别为M,N.如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y,则y与x的关系式是.图21-14基础知识巩固高频考向探究[答案]𝑦=32𝑥[解析]如图,作OP⊥AB于点P,OQ⊥BC于点Q.∵∠PON+∠POM=90°,∠POM+∠MOQ=90°,∴∠PON=∠MOQ,又∵∠NPO=∠MQO,∴△OPN∽△OQM,∵OP=12AD,OQ=12AB,∴𝑂𝑃𝑂𝑄=𝐴𝐷𝐴𝐵=𝑂𝑁𝑂𝑀,∴𝑦𝑥=64,∴y=32x.故答案为y=32x.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·永州]如图21-15,已知点F是△ABC的重心,连接BF并延长,交AC于点E,连接CF并延长,交AB于点D,过点F作FG∥BC,交AC于点G.设三角形EFG,四边形FBCG的面积分别为S1,S2,则S1∶S2=.图21-15[答案]1∶8[解析]∵F是△ABC的重心,∴EF∶BF=1∶2,∴EF∶BE=1∶3,∵F