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第15课时二次函数的实际应用基础知识巩固高频考向探究考点一建立二次函数模型解决问题考点聚焦常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.基础知识巩固高频考向探究考点二图象信息类问题1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练图15-11.[2018·北京]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).图15-1记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()A.10mB.15mC.20mD.22.5m基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]由题意得𝑐=54,400𝑎+20𝑏+𝑐=57.9,1600𝑎+40𝑏+𝑐=46.2,解得𝑎=-0.0195,𝑏=0.585,𝑐=54,从而对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=-0.5852×(-0.0195)=15.故选B.基础知识巩固高频考向探究2.[九上P52习题22.3第3题改编]飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s=60t-1.5t2,飞机着陆后滑行m才能停下来.[答案]600[解析]s=60t-1.5t2=-1.5t2+60t=-1.5(t2-40t+400-400)=-1.5(t-20)2+600,∴当t=20s时,飞机才能停下来,此时s=600m.基础知识巩固高频考向探究3.[九上P51探究3改编]如图15-2是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.水面下降1m,水面宽度增加m.图15-2[答案](26-4)[解析]如图,建立平面直角坐标系,可设这条抛物线的解析式为y=ax2,把(2,-2)代入,得-2=a×22,a=-12,∴y=-12x2.当y=-3时,-12x2=-3,x=±6,∴水面下降1m,水面宽度增加(26-4)m.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·通州期末]中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2017年年人均收入300美元,预计2019年年人均收入将达到y美元.设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么y与x的函数关系式是.y=300(x+1)2基础知识巩固高频考向探究5.[九上P52习题22.3第7题改编]如图15-3,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形,当点E位于时,正方形EFGH的面积最小.图15-3[答案]AB的中点[解析]设正方形ABCD的边长为a,由四边形EFGH也为正方形,易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.设DH=x,则DG=CD-CG=a-x.故HG2=DH2+DG2=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.∴S正方形EFGH=2x2-2ax+a2=2𝑥-𝑎22+𝑎22≥𝑎22当且仅当x=𝑎2时取等号,∴当点E为AB的中点时,正方形EFGH的面积最小,最小面积为𝑎22.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】在具体实际问题确定最值时,忽略自变量取值范围对最值的影响.6.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则平均每天可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则该种蔬菜的价格定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.基础知识巩固高频考向探究[答案]4.548[解析]设定价为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020,设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-20,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大,∵物价局规定蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).基础知识巩固高频考向探究考向一最值问题例1[2019·玉泉区期末]某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表:注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价)(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875基础知识巩固高频考向探究(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?基础知识巩固高频考向探究解:(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由题意得85𝑘+𝑏=175,95𝑘+𝑏=125,解得𝑘=-5,𝑏=600,∴y关于x的函数解析式为y=-5x+600.当x=115时,m=-5×115+600=25.基础知识巩固高频考向探究例1[2019·玉泉区期末]某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表:注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价)(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875基础知识巩固高频考向探究[答案](2)801002000[解析]设成本为a元/个,当x=85时,875=175×(85-a),得a=80,∴w=(-5x+600)(x-80)=-5x2+1000x-48000=-5(x-100)2+2000,∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000,故答案为:80;100;2000.基础知识巩固高频考向探究例1[2019·玉泉区期末]某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表:注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价)(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)87518751875875基础知识巩固高频考向探究(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-5×90+600)·(90-a)≥3750.解得a≤65.答:该产品的成本单价应不超过65元.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·衡阳]一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价为10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件.市场调查发现,该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图15-4所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?图15-4基础知识巩固高频考向探究解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,把(10,30),(16,24)代入,得10𝑘+𝑏=30,16𝑘+𝑏=24,解得𝑘=-1,𝑏=40.∴y与x之间的函数关系式为y=-x+40(10≤x≤16).基础知识巩固高频考向探究1.[2018·衡阳]一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价为10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件.市场调查发现,该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图15-4所示.(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?图15-4基础知识巩固高频考向探究(2)W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,对称轴为直线x=25,在对称轴的左侧,W随着x的增大而增大,∵10≤x≤16,∴当x=16时,W最大,最大值为144.即当每件的销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.基础知识巩固高频考向探究2.[2017·呼和浩特实验教育集团第一学期期中改编]某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间(假设年租金的增加额均为5000元的整数倍).该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用共1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用共5000元.(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元?(3)275万元是否为最大年收益?若是,说明理由;若不是,请求出当每间商铺的年租金定为多少万元时,达到最大年收益,最大是多少?基础知识巩固高频考向探究解:(1)∵30-(130000-100000)÷5000×1=30-6=24(间),∴能租出24间.基础知识巩固高频考向探究2.[2017·呼和浩特实验教育集团第一学期期中改编]某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间(假设年租金的增加额均为5000元的整数倍).该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用共1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用共5000元.(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元?基础知识巩固高频考向探究(2)设每间商铺的年租金增加a万元,则30-𝑎0.5×(10+a)-30-𝑎0.5×1-𝑎0.5×0.5=275,整理得2a2-11a+5=0,解得a=5或0.5,∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.基础知识巩固高频考向探究2.[2017·呼和浩特实验教育集团第一学期期中改编]某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间(假设年租金的增加额均为5000元的整数倍).该公司要