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第14课时二次函数的简单综合基础知识巩固高频考向探究考点一二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点聚焦抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个①的实数根1个b2-4ac=0两个②的实数根没有b2-4ac0③实数根不相等相等没有1.二次函数与一元二次方程的关系基础知识巩固高频考向探究2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于④的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方基础知识巩固高频考向探究考点二二次函数的综合应用1.与其他函数结合(1)与一次函数结合:一次函数y=kx+n(k≠0)的图象与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的交点个数,由方程组𝑦=𝑘𝑥+𝑛,𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐解的数目确定.方程组有两组不同的解,则两个函数图象有两个交点;方程组只有一组解,则两个函数图象只有一个交点;方程组无解时,两个函数图象没有交点.(2)与反比例函数结合:主要涉及二次函数图象与反比例函数图象的交点问题.已知自变量的取值范围,结合函数图象及解析式,判断函数值的取值范围.基础知识巩固高频考向探究2.与几何图形结合二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形结合,考查以下几类问题:(1)线段数量关系、最值问题;(2)面积数量关系、最值问题;(3)存在性问题:包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等.基础知识巩固高频考向探究1.[2019·乐山]如图14-1,抛物线y=14x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是()A.3B.412C.72D.4题组必会题对点演练图14-1基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]连接PB,令y=14x2-4=0,得x=±4,故A(-4,0),B(4,0),∴O是AB的中点,又Q是线段PA的中点,∴OQ=12PB.∵点B是圆C外一点,当PB过圆心C时,PB最大,OQ也最大,∵OC=3,OB=4,∴由勾股定理得BC=5,PB=BC+PC=5+2=7,∴OQ=12PB=72,故选C.基础知识巩固高频考向探究图14-22.[2019·凉山州]如图14-2,正方形ABCD中,AB=12,AE=14AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.基础知识巩固高频考向探究[答案]4[解析]在正方形ABCD中,∵AB=12,AE=14AB=3,∴BC=AB=12,BE=9,设BP=x,则CP=12-x.∵PQ⊥EP,∴∠EPQ=∠B=∠C=90°,∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°,∴∠BEP=∠CPQ,∴△EBP∽△PCQ,∴𝐶𝑄𝐵𝑃=𝑃𝐶𝐵𝐸,∴𝐶𝑄𝑥=12-𝑥9,整理得CQ=-19(x-6)2+4,∴当x=6时,CQ取得最大值,最大值为4.基础知识巩固高频考向探究3.[九上P47习题22.2第5题改编]如图14-3是函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是;(2)函数值大于0时x的取值范围是;(3)函数值小于0时x的取值范围是.图14-3x1=-1,x2=3x-1或x3-1x3基础知识巩固高频考向探究4.如图14-4,二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0),设t=a+b+1,则t值的变化范围是.图14-4[答案]0t2[解析]∵二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0),∴a-b+1=0,a0,b0,由a=b-10,得到b1,∴0b1①,由b=a+10,得到a-1,∴-1a0②,①+②得:-1a+b1,∴0a+b+12,∵t=a+b+1,∴0t2.基础知识巩固高频考向探究考向一二次函数与一元二次方程的关系例1关于x的函数y=mx2-(3m+1)x+(2m+1)的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.解:(1)m=0时,函数的图象是一条直线:y=-x+1,它与x轴,y轴各有一个交点,与坐标轴只有两个交点;(2)抛物线与x轴有且仅有一个交点,且不与原点重合,满足:𝑚≠0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐=0,2𝑚+1≠0,∴(3m+1)2-4m(2m+1)=0,m≠-12,∴m2+2m+1=0,解得m=-1;(3)抛物线与x轴有两个交点,且有一个交点为原点,则:𝑚≠0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0,2𝑚+1=0,解得m=-0.5.综上可得,m=0,-1或-0.5.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2016·呼和浩特10题]已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是()A.6B.3C.-3D.0基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]∵m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,∴m,n是关于x的方程x2-2ax+2=0的两个根,∴m+n=2a,mn=2,∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2-4-4a+2=4a-122-3,∵a≥2,∴当a=2时,(m-1)2+(n-1)2有最小值,∴(m-1)2+(n-1)2的最小值=4a-122-3=4×2-122-3=6.故选A.基础知识巩固高频考向探究2.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1𝑥的图象的交点的横坐标,则x3+2x-1=0的实数根x0所在的范围是()A.0x014B.14x013C.13x012D.12x01基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]方程x3+2x-1=0,∴x2+2=1𝑥,∴它的根可视为y=x2+2和y=1𝑥的图象交点的横坐标,当x=14时,y=x2+2=2116,y=1𝑥=4,此时二次函数的图象在反比例函数的图象下方;当x=13时,y=x2+2=219,y=1𝑥=3,此时二次函数的图象在反比例函数的图象下方;当x=12时,y=x2+2=214,y=1𝑥=2,此时二次函数的图象在反比例函数的图象上方.当x=1时,y=x2+2=3,y=1𝑥=1,此时二次函数的图象在反比例函数的图象上方.故方程x3+2x-1=0的实根x0所在范围为13x012.故选C.基础知识巩固高频考向探究3.无论x为何值,关于x的二次三项式ax2+2(a+1)x+a+12的值恒为负数,则a的取值范围是()A.0a23B.-23a0C.a-23且a≠-1D.a≤-23[答案]C[解析]令y=ax2+2(a+1)x+a+12,∵二次三项式ax2+2(a+1)x+a+12的值恒为负数,∴二次函数y=ax2+2(a+1)x+a+12的图象与x轴无交点,∴Δ0,即[2(a+1)]2-4aa+120,整理得6a+40,解得a-23.又∵是二次三项式,∴a≠-1,故选C.基础知识巩固高频考向探究4.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m,n(mn),方程x2+ax+b=1有两个不同的实数根p,q(pq),则m,n,p,q的大小关系为()A.mpqnB.pmnqC.mpnqD.pmqn[答案]B[解析]函数y=x2+ax+b图象如图所示:结合图象可知:pmnq.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·玉泉区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-5所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围为()A.k-3B.k-3C.k3D.k3图14-5基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]y=|ax2+bx+c|的图象如图所示.观察图象可得当k≠0时,函数图象在直线y=3的上方时,纵坐标相同的点有两个,函数图象在直线y=3上时,纵坐标相同的点有三个,函数图象在直线y=3的下方和x轴之间时,纵坐标相同的点有四个,∴若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则函数图象应该在直线y=3的上方,故k3,故选D.基础知识巩固高频考向探究6.[2019·呼和浩特16题]对任意实数a,若多项式2b2-5ab+3a2的值总大于-3,则实数b的取值范围是.-6b6基础知识巩固高频考向探究考向二二次函数与其他函数的综合例2[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).基础知识巩固高频考向探究例2[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(2)求抛物线的对称轴;(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=--2𝑎2𝑎=1,即对称轴为直线x=1.基础知识巩固高频考向探究例2[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥13.基础知识巩固高频考向探究②若a0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a4,此时a-43.基础知识巩固高频考向探究③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a≥13或a-43或a=-1.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·回民区九年级期末数学调研]如图14-6,已知二次函数y1=-x2+134x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A,B的直线为y2=kx+b.(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标;(2)直接写出满足x2+k-134x+(b-c)0时,x的取值范围为.图14-6基础知识巩固高频考向探究解:(1)将A(4,0)的坐标代入y=-x2+134x+c得:c=3,∴y1=-x2+134x+3,B(0,3).基础知识巩固高频考向探究1.[2019·回民区九年级期末数学调研]如图14-6,已知二次函数y1=-x2+134x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A,B的直线为y2=kx+b.(2)直接写出满足x2+k-134x+(b-c)0时,x的取值范围为.图14-6[答案](2)x0或x4[解析]x2+kx-134x+b-c0,即:kx+b-x2+134x+c,即:y2y1时,x0或x4.基础知识巩固高频考向探究2.已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线.(1)求m,n的值;(2)如图14-7,一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与x轴交于点A,与二次函数的图象交于另一点B