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第10课时一次函数的图象与性质基础知识巩固高频考向探究考点一一次函数的概念考点聚焦1.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.基础知识巩固高频考向探究考点二一次函数的图象与性质k0k0图象经过的象限b0b=0b0b0b=0b0一、二、三一、三①②③二、三、四增减性y随x的增大而④y随x的增大而⑤一、三、四一、二、四二、四增大减小基础知识巩固高频考向探究（续表）总结(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,k决定函数的增减性,b决定了直线与y轴交点的纵坐标;(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,⑥)和(⑦,0)的一条直线,所以直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为S=12-bk·|b|;(3)直线y=kx+b(k≠0)均可由直线y=kx(k≠0)平移得到;(4)直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1=k2且b1≠b2b-𝒃𝒌基础知识巩固高频考向探究1.方法:待定系数法2.步骤:(1)设:设一般式y=kx+b(k≠0);(2)列:找出直线上两点的坐标,分别代入y=kx+b,得到关于k,b的方程组;(3)解:解方程组,求得k,b的值;(4)依据k,b的值,写出一次函数的解析式.考点三一次函数的解析式的确定基础知识巩固高频考向探究简记为“左加右减,上加下减”(左右平移只给x加减,上下平移等号右边整体加减)考点四一次函数图象的平移基础知识巩固高频考向探究考点五一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系1.一次函数与一次方程(组)的关系(1)一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程.(2)方程kx+b=0的解⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象与⑧轴交点的横坐标⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y=⑨时x的值;(3)如图10-1,已知两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2,则:二元一次方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解𝑥=𝑚,𝑦=𝑛⇔两个一次函数图象的交点B的坐标,即B(m,n).图10-1x0基础知识巩固高频考向探究2.一次函数与不等式的关系(1)不等式kx+b0(kx+b0)的解集⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y⑩0(y⑪0)时x的取值;(2)如图10-1,不等式k1x+b1k2x+b2的解集是xm;不等式k1x+b1≤k2x+b2的解集是⑫.x≤m图10-1基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.如图10-2,直线l:y=-x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限,则a的取值范围可能是()A.1a2B.-2a0C.-3≤a≤-2D.-10a-4D图10-2基础知识巩固高频考向探究2.[2019·梧州]直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是()A.y=3x+3B.y=3x-2C.y=3x+2D.y=3x-1[答案]D[解析]直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是y=3x+1-2=3x-1.故选D.基础知识巩固高频考向探究3.[八下P93练习第1题]直线y=2x-3与x轴交点坐标为,与y轴交点坐标为,图象经过象限,y随x的增大而.4.[八下P99习题19.2第7题改编]已知一次函数的图象经过点(-4,9)和点(6,3),则这个函数的解析式是.5.一棵树现在高60cm,每个月长高2cm,x月之后这棵树的高度为hcm,则h关于x的函数解析式为.(0,-3)第一、三、四𝟑𝟐,𝟎增大y=-𝟑𝟓x+𝟑𝟑𝟓h=60+2x基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】平移方向弄反;忽视分类或分类不全.6.将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数表达式为()A.y=2x-1B.y=2x-2C.y=2x+1D.y=2x+2B基础知识巩固高频考向探究7.若一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则这个一次函数的解析式为.[答案]y=3x+12或y=3x-12[解析]当x=0时,y=b,当y=0时,x=-𝑏3,∴一次函数图象与两坐标轴的交点为(0,b),-𝑏3,0,∴三角形面积为:12×|b|×-𝑏3=24,即b2=144,解得b=±12,∴这个一次函数的解析式为y=3x+12或y=3x-12.基础知识巩固高频考向探究8.已知一次函数y=kx+b,且当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则k+b的值为.9或1基础知识巩固高频考向探究考向一一次函数的图象与性质例1如图10-3,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,3)和点B(2,-3).(1)描出点A(-1,3)和点B(2,-3),画出一次函数y=kx+b的图象;(2)y随x的增大而(填“增大”或“减小”);(3)求出图象与x轴、y轴所围成图形的面积;(4)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在一次函数图象上且x1x2,试比较y1,y2的大小.图10-3解:(1)画图略.基础知识巩固高频考向探究例1如图10-3,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,3)和点B(2,-3).(2)y随x的增大而(填“增大”或“减小”);图10-3减小基础知识巩固高频考向探究例1如图10-3,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,3)和点B(2,-3).(3)求出图象与x轴、y轴所围成图形的面积;图10-3(3)将A(-1,3)和B(2,-3)的坐标代入y=kx+b,得3=-𝑘+𝑏,-3=2𝑘+𝑏,解得𝑘=-2,𝑏=1,所以一次函数表达式为y=-2x+1,令x=0得y=1,所以图象与y轴交点的坐标为(0,1).令y=0,得x=12,所以图象与x轴交点的坐标为12,0,故一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积为12×12×1=14.基础知识巩固高频考向探究例1如图10-3,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,3)和点B(2,-3).(4)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在一次函数图象上且x1x2,试比较y1,y2的大小.图10-3(4)因为k=-20,所以y随x的增大而减小,所以当x1x2时,y1y2.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】在一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,k和b的符号的作用:①k的符号决定增减性,当k0时,y随x的增大而增大,当k0时,y随x的增大而减小;②b的符号决定与y轴的交点在x轴的上方还是下方(上正、下负),特别地,当b=0时,函数图象过原点.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.两条直线y1=ax+b与y2=bx+a在同一坐标系中的图象可能是下图中的()图10-4[答案]A[解析]分四种情况讨论.若a0,b0,则直线y1与直线y2均过第一、二、三象限;若a0,b0,则直线y1过第一、三、四象限,直线y2过第一、二、四象限;若a0,b0,则直线y1过第一、二、四象限,直线y2过第一、三、四象限;若a0,b0,则直线y1与直线y2均过第二、三、四象限.故选A.基础知识巩固高频考向探究2.[2017·呼和浩特6题]一次函数y=kx+b满足kb0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]A[解析]由“y随x的增大而减小”可知k0,又由“kb0”得b0,所以图象经过第二、三、四象限.基础知识巩固高频考向探究A3.[2016·呼和浩特7题]已知一次函数y=kx+b-x的图象与x轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则k,b的取值情况为()A.k1,b0B.k1,b0C.k0,b0D.k0,b0基础知识巩固高频考向探究考向二一次函数解析式的确定例2根据下列条件,确定一次函数的解析式.(1)图象平行于直线y=2x-1,且过点(1,3);(2)图象经过点(2,-1),且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.解:(1)∵图象平行于直线y=2x-1,∴k=2.设函数解析式为y=2x+b,将(1,3)代入,得3=2×1+b,∴b=1,∴y=2x+1.基础知识巩固高频考向探究(2)图象与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点,∴图象与y轴交于点(0,3).设函数解析式为y=kx+3,将(2,-1)代入,得-1=2k+3,∴k=-2,∴y=-2x+3.例2根据下列条件,确定一次函数的解析式.(2)图象经过点(2,-1),且与直线y=-12x+3相交于y轴上的同一点;基础知识巩固高频考向探究例2根据下列条件,确定一次函数的解析式.(3)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.(3)直线y=2x+b与x轴交点坐标为-𝑏2,0,与y轴交点坐标为(0,b).由题意得12·𝑏·-𝑏2=4,∴𝑏24=4,∴b2=16,∴b=±4,∴y=2x+4或y=2x-4.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·绍兴]若三点(1,4),(2,7),(a,10)在同一直线上,则a的值等于()A.-1B.0C.3D.4[答案]C[解析]设直线的解析式为y=kx+b(k≠0),将(1,4),(2,7)的坐标代入,得4=𝑘+𝑏,7=2𝑘+𝑏,解得𝑘=3,𝑏=1,得直线的解析式为y=3x+1,把点(a,10)的坐标代入y=3x+1中,得a=3,故选C.基础知识巩固高频考向探究2.如图10-5,一次函数y=kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,☉O经过A,B两点,已知AB=2,则𝑘𝑏的值为.图10-5[解析]∵OA=OB,∴∠OBA=45°,在Rt△OAB中,OA=AB·sin45°=2×22=2,即点A(2,0),同理可得点B(0,2),∵一次函数y=kx+b图象经过点A,B,∴𝑏=2,2𝑘+𝑏=0,解得:𝑘=-1,𝑏=2.∴𝑘𝑏=-22.故答案为-22.[答案]-22基础知识巩固高频考向探究3.[2017·通辽]如图10-6,将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分,则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l'的函数解析式为.图10-6基础知识巩固高频考向探究[解析]设直线l和八个小正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥x轴于B,∵小正方形的边长为1,∴OB=3.∵经过原点的直线l将这八个小正方形分成面积相等的两部分,∴两部分的面积分别是4,∴三角形ABO的面积是5,∴12OB·AB=5,∴AB=103,由此可知直线l经过点3,103.设直线l的解析式为y=kx,则103=3k,∴k=109,∴直线l的解析式为y=109x,∴将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l'的函数解析式为y=109x-103,故答案为y=109x-103.[答案]y=109x-103基础知识巩固高频考向探究考向三一次函数与方程、不等式组的关系例3如图10-7,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则:(1)关于x的方程x+b=kx+6的解是.(2)方程组𝑦=𝑥+𝑏,𝑦=𝑘𝑥+6的解为.(3)关于x的不等式x+bkx+6的解集是.(4)关于x的不等式x+bkx+6的解集是.图10-7x=3𝒙=𝟑,𝒚=𝟓x3x3基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·呼和浩特6题]若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-12x+b-1上,则常数b=()A.12B.2C.-1D.1B基础知识巩固高频考向探究2.[2012·呼和浩特7题]下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是()图10-8C基础知识巩固高频考向探究