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提分微课(五)将军饮马问题将军饮马问题解决的是线段和差最值问题,解决的方法是通过轴对称,化折为直,把两条线段的和转化为一条线段的长,利用两点之间线段最短的性质解决问题.常见的几种类型如下:类型一一定直线,同侧两定点点A,B是直线l外同侧两点,在直线l上求作一点P,使AP+BP最小.解决方法:作点A关于直线l的对称点A'.连接A'B,交直线l于点P,则点P使AP+BP最小.图W5-1图W5-21.[2019·安庆一模]如图W5-2,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P为AC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.203[答案]B[解析]作点B关于AC的对称点B',过点B'作B'D⊥AB于D,交AC于P,连接BP,则P点就是所要求作的点,BP=B'P,CB'=BC=3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=32+42=5,∵B'D⊥AB,∴∠ADP=∠ACB=∠ACB'=90°,∴∠A+∠APD=90°,∠B+∠B'PC=90°,又∠APD=∠B'PC,∴∠A=∠PB'C,∴△B'PC∽△ABC,∴𝑃𝐶𝐵𝐶=𝐶𝐵'𝐴𝐶=𝑃𝐵'𝐴𝐵,∴𝑃𝐶3=34=𝑃𝐵'5,∴PC=94,PB'=154,∴AP=AC-PC=4-94=74,由△ABC∽△APD,得𝐷𝑃𝐵𝐶=𝐴𝑃𝐴𝐵,∴𝐷𝑃3=745,∴DP=2120,∴DB'=DP+PB'=2120+154=245,即:DP+BP=DP+PB'=245.故选B.图W5-3[答案]3[解析]如图,作M关于AB的对称点N,则NP=MP,PM+PQ=NP+PQ,如图,当NQ⊥AC时,PM+PQ取最小值.易得∠N=∠BAC=30°,MD=12AM=1,所以MN=2,NQ=MN·cosN=2×32=3,故答案为3.2.如图W5-3,∠BAC=30°,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为.3.如图W5-4,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是.图W5-4[答案]23[解析]作点D关于直线AC的对称点D',当D',P,E三点共线,且D'E⊥AD时,PE+PD最小,如图,易得CD=433,∠ADD'=60°,DD'=4,所以D'E=23.图W5-54.如图W5-5,☉O的半径为1,点A是半圆(𝑀𝐴𝑁)上的一个三等分点,点B是𝐴𝑁的中点,P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为.[答案]2[解析]作点A关于MN的对称点A',连接A'B.易得PA+PB的最小值为A'B长,连接OA',AA'.由B是𝐴𝑁的中点,可得∠BON=30°,∠A'OB=90°,在等腰直角三角形A'OB中,OA'=OB=1,所以A'B=2,故答案为2.5.[2018·遵义]如图W5-6,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为.图W5-6[答案]322[解析]因为点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,所以DE,DF是△PBC的中位线,DE=12PC,DF=12PB,所以DE+DF=12(PC+PB),故本题可转化为求PC+PB的最小值,因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连接AC,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线解析式可得A(-3,0),C(0,-3),∴AC=32,DE+DF的最小值=12AC=322.6.如图W5-7,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为.图W5-7[答案]42[解析]设△PAB中AB边上的高是h,∵S△PAB=13S矩形ABCD,∴12AB·h=13AB·AD,∴h=23AD=2,∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的线段l上,如图,作点A关于直线l的对称点A',连接AA',BA',则BA'即为所求的最短距离.在Rt△ABA'中,AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'=𝐴𝐵2+𝐴𝐴'2=42+42=42,即PA+PB的最小值为42.类型二一定点,两定直线图W5-8P是∠AOB内一点,分别在OA,OB上求作点Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,与OA,OB的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.7.如图W5-9,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°图W5-9[答案]B[解析]如图,分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD,OC,OD,CD与OA,OB的交点即为所求点M,N.所以OC=OP=OD,∠AOB=12∠COD,因为△PMN周长的最小值是5cm,所以CD=5cm,所以△OCD是等边三角形,∠COD=60°,所以∠AOB=30°.故选B.8.如图W5-10,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°图W5-10[答案]D[解析]分别作A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=∠AFE,所以∠AEF+∠AFE=∠EA‘A+∠EAA’+∠FAD+∠A″=2(∠AA'E+∠A″)=2∠HAA‘=100°,所以∠EAF=180°-100°=80°,故选D.图W5-119.如图W5-11,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,试求作周长最小的△DEF.解:将D视为定点,分别作出点D关于AC,BC的对称点D',D″,连接D'D″分别交AC,BC于点E,F.此时△DEF的周长等于D'D″长.无论点D的位置如何变化,点C对线段D'D″的张角不变,即∠D'CD″=2∠ACB,因此为使D'D″最小,只需CD'=CD″=CD的值最小即可,显然当CD⊥AB时,CD最小,从而△DEF的周长最小.图W5-1210.如图W5-12,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)求AD的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.解:(1)∵B(10,8),∴A(10,0),将O(0,0),A(10,0),E(6,8)代入y=ax2+bx+c,得100𝑎+10𝑏+𝑐=0,𝑐=0,36𝑎+6𝑏+𝑐=8,解得𝑎=-13,𝑏=103,𝑐=0,∴抛物线的解析式为y=-13x2+103x.10.如图W5-12,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(2)求AD的长;(2)由折叠得DE=AD,BE=10-6=4,BD=8-AD,在Rt△DBE中,DE2=BE2+BD2,∴AD2=42+(8-AD)2,解得AD=5.图W5-1210.如图W5-12,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.图W5-12(3)∵y=-13x2+103x,∴抛物线的对称轴为直线x=5.∵A,O两点关于对称轴对称,∴PA=PO,当P,O,D三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△PAD的周长最小.如图,OD与对称轴的交点即为满足条件的点P,由(2)可知D点坐标为(10,5),设直线OD的解析式为y=kx,把D点坐标代入可得5=10k,解得k=12.∴直线OD的解析式为y=12x,令x=5,可得y=52.∴P点坐标为5,52.类型三两定点,两直线图W5-13P,Q是∠AOB内两定点,分别在边OA,OB上寻找点M,N,使得四边形PQMN的周长最小.解决方法:分别作P关于直线OB的对称点P',Q关于OA的对称点Q',连接P'Q',与OA,OB的交点即为所求点M,N,使得四边形PQMN的周长最小.11.如图W5-14,四边形OMCN是矩形台球桌面,有黑白两球分别位于B,A两点的位置上,试问怎样撞击白球,使白球依次碰撞球台边OM,ON后,反弹击中黑球?图W5-14解:作法:(1)作点A关于OM的对称点A',点B关于ON的对称点B';(2)连接A'B',交OM于P,交ON于Q.则沿AP方向撞击白球即可.类型四两动两定型(造桥选址问题)已知A,B是两个定点,直线m∥n,m,n之间的距离为d,分别在直线m,n上找点M,N,使得AM+MN+BN的值最小.解决方法(平移原理):将点A向下平移d个单位长度至A',连接A'B,交n于点N,过点N作NM⊥m于点M,连接AM,此时AM+MN+BN的值最小.图W5-1512.如图W5-16,已知A,B是两个定点,在定直线l上找两个动点M与N,且MN等于定长d(动点M位于动点N左侧),使AM+MN+NB最小.图W5-16解:如图所示,点M,N即为所求.类型五线段差的绝对值最大(1)如图W5-17①,A,B两点在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大.解决方法:连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求.(2)如图②,A,B两点在直线l的异侧,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大.解决方法:作其中一点关于直线l的对称点,转化为点在直线同侧的线段差最大问题.图W5-1713.如图W5-18,A,B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AM=4,点B到直线l的距离BN=1,且MN=4,P为直线l上的动点,则|PA-PB|的最大值为.图W5-18[答案]5[解析]作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长交直线l于P.∴B'N=BN=1,作B'D⊥AM于D,利用勾股定理求出AB'=5,∴|PA-PB|的最大值为5.14.已知:如图W5-19,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.(1)直接写出点D的坐标.(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.图W5-19解:(1)D点的坐标为-32,2.14.已知:如图W5-19,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.图W5-19(2)存在.根据D点的坐标为-32,2,B点的坐标为(3,2),以及图