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第30课时平移与旋转基础知识巩固高频考向探究两个要素(1)图形平移的方向;(2)图形平移的距离图示性质(1)平移前后对应线段平行(或共线)且①,对应点所连的线段②;(2)对应角分别③,且对应角的两边分别平行、方向一致;(3)平移变换后的图形与原图形④考点一平移考点聚焦相等平行(或共线)且相等相等全等基础知识巩固高频考向探究(续表)网格作图的步骤(1)确定平移方向和平移距离;(2)找原图形关键点;(3)按平移方向和距离平移各关键点;(4)按原图形顺次连接各关键点平移后的对应点,得到平移后的图形基础知识巩固高频考向探究三个要素(1)旋转中心;(2)旋转方向;(3)旋转角度图示性质(1)对应点到旋转中心的距离⑤;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑥;(3)旋转前后的图形⑦考点二旋转相等旋转角全等基础知识巩固高频考向探究(续表)网格作图的步骤(1)确定旋转中心、旋转方向及旋转角;(2)找原图形的关键点;(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点;(4)按原图形依次连接各关键点的对应点,得到旋转后的图形基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】旋转对称与中心对称的关系:中心对称是旋转角为180°的旋转对称.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.将点A(-5,-2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字“96”旋转180°,得到的数字是()A.96B.69C.66D.99CA基础知识巩固高频考向探究3.在网格图30-1中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(-1,-1),(1,-2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为()A.(4,1)B.(4,-1)C.(5,1)D.(5,-1)图30-1[答案]D[解析]根据B,C的坐标可确定直角坐标系的原点,由旋转的性质可知,点A绕着点C顺时针旋转90°后的坐标为(5,-1).故选D.基础知识巩固高频考向探究4.[九上P63习题23.1第9题改编]如图30-2,△ABC中,∠C=90°.将△ABC绕点B逆时针旋转90°,若BC=3,AC=4,点A旋转后的对应点为A',则A'A的长为.图30-25𝟐基础知识巩固高频考向探究5.[九上P62习题23.1第4题]分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形.图30-3解:如图所示.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】对于图形旋转变换后出现的新结论挖掘不彻底;有关相似三角形面积比与相似比之间的关系在运用时出错;需明确与三点共线有关的最值问题;缺乏利用作图辅助分析解决问题的能力.基础知识巩固高频考向探究6.如图30-4,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,将三角形ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,则下列判断不正确的是()A.△AEE'是等腰直角三角形B.AF垂直平分EE'C.△E'EC∽△AFDD.△AE'F是等腰三角形图30-4基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,∴AE'=AE,∠E'AE=90°,∴△AEE'是等腰直角三角形,故A正确;∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,∴∠E'AD=∠BAE.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°.∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠E'AD+∠FAD=45°,∴∠E'AF=∠EAF.∵AE'=AE,∴AF垂直平分EE',故B正确;∵AF⊥E'E,∠ADF=90°,∴∠FE'E+∠AFD=∠AFD+∠DAF,∴∠FE'E=∠DAF,∴△E'EC∽△AFD,故C正确;∵AD⊥E'F,但∠E'AD不一定等于∠DAF,∴△AE'F不一定是等腰三角形,故D错误.基础知识巩固高频考向探究7.如图30-5,把△ABC沿着BC方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半,若BC=3,则△ABC移动的距离是()A.32B.33C.62D.3−62图30-5D基础知识巩固高频考向探究考向一与平移有关的计算例1如图30-6,△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的,且三个顶点的坐标分别为A1(1,1),B1(4,2),C1(3,4).(1)请画出△ABC,并写出点A,B,C的坐标;(2)求出△AOA1的面积.图30-6解:(1)画图略.A(-3,1),B(0,2),C(-1,4).(2)△AOA1的面积为12×1-(-3)×1=2.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)对应点间的距离等于平移的距离;(2)利用“平移前后的两个图形全等”“平移前后对应线段平行(或在同一条直线上)且相等”是解决平移问题的基本方法.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·呼和浩特一模]如图30-7所示,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(-1,3)、(-4,1)、(-2,1),将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是(1,2),则点C对应的点C1的坐标是()A.(3,2)B.(2,1)C.(2,3)D.(2,2)A图30-7基础知识巩固高频考向探究2.[2014·呼和浩特3题]已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为()A.(1,2)B.(2,9)C.(5,3)D.(-9,-4)[答案]A[解析]∵点A(-1,4)的对应点为C(4,7),∴平移规律为向右平移5个单位,向上平移3个单位,∵点B(-4,-1),∴点D的坐标为(1,2).故选:A.基础知识巩固高频考向探究3.如图30-8,将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位长度得到△DEF,则四边形ABFD的周长为()A.6B.8C.10D.12图30-8[答案]C[解析]将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF,∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC.又∵AB+BC+AC=8,∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10.基础知识巩固高频考向探究4.[2018·呼和浩特20题]如图30-9,已知A(6,0),B(8,5),将线段OA平移至CB,点D在x轴正半轴上(不与点A重合),连接OC,AB,CD,BD.(1)求对角线AC的长;(2)设点D的坐标为(x,0),△ODC与△ABD的面积分别记为S1,S2,设S=S1-S2,写出S关于x的函数解析式,并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等,如果存在,用坐标形式写出点D的位置;如果不存在,说明理由.图30-9基础知识巩固高频考向探究解:(1)将OA平移到BC,则BC=OA=6,又B(8,5),∴点C(2,5).∴AC=52+(6-2)2=41.基础知识巩固高频考向探究4.[2018·呼和浩特20题]如图30-9,已知A(6,0),B(8,5),将线段OA平移至CB,点D在x轴正半轴上(不与点A重合),连接OC,AB,CD,BD.(2)设点D的坐标为(x,0),△ODC与△ABD的面积分别记为S1,S2,设S=S1-S2,写出S关于x的函数解析式,并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等,如果存在,用坐标形式写出点D的位置;如果不存在,说明理由.图30-9基础知识巩固高频考向探究(2)当点D在线段OA上时,S=S1-S2=12×5x-12×5×(6-x)=5x-15(0x6),当点D在线段OA的延长线上时,S=S1-S2=12×5x-12×5×(x-6)=15(x6),∴S=5𝑥-15(0𝑥6),15(𝑥6).∵S△DBC=12×5×6=15,∴当S与△DBC的面积相等时,点D在线段OA的延长线上,此时D的坐标为(x,0)(x6).基础知识巩固高频考向探究考向二与旋转有关的证明与计算例2[2017·巴盟一模]如图30-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为()A.30,2B.60,2C.60,32D.60,3图30-10基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴∠B=60°,AC=BC·tanB=2×3=23,AB=2BC=4,∵△EDC是由△ABC旋转而成的,∴BC=CD=2,∵∠B=60°,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=60°,∴∠DCF=30°,∠DFC=90°,即DE⊥AC,∴DE∥BC,∵BD=12AB=2,∴DF是△ABC的中位线,∴DF=12BC=12×2=1,CF=12AC=12×23=3,∴S阴影=12DF·CF=12×1×3=32.故选C.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图30-111.[2019·吉林]把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为()A.30°B.90°C.120°D.180°C基础知识巩固高频考向探究2.[2019·呼和浩特14校联考]如图30-12,将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后,得到△AB'C',且C'为BC的中点,则C'D∶DB'=()A.1∶2B.1∶22C.1∶3D.1∶3图30-12基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]根据旋转的性质可知:AC=AC',∠C'AC=60°,∴△ACC'为等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠AC'B'=∠C=60°,∵C'为BC的中点,∴BC'=C'C=AC‘,∴∠B=∠BAC'=30°,∴∠BDC'=∠C'AB+∠AC'B'=90°,即B'C'⊥AB,∴BC'=2C'D,∴BC=B'C'=4C'D,∴C'D∶DB'=1∶3.故选D.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·益阳]在如图30-13所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是.图30-1390°基础知识巩固高频考向探究4.[2017·鄂尔多斯模拟]已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,CD=12BC,DE⊥CE,DE=CE,连接AE,点M是AE的中点.(1)如图30-14①,若点D在BC边上,连接CM,当AB=4时,求CM的长;(2)如图②,若点D在△ABC的内部,连接BD,点N是BD的中点,连接MN,NE,求证:MN⊥AE;(3)如图③,将图②中的△CDE绕点C逆时针旋转,使∠BCD=30°,连接BD,点N是BD的中点,连接MN,求𝑀𝑁𝐴𝐶的值.图30-14基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图①,连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD=45°,BC=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=42,∴DC=12BC=22,∵ED=EC,∠DEC=90°,∴DE=EC=2,∠DCE=∠EDC=45°,∴∠ACE=90°,在Rt△ACE中,AE=𝐴𝐶2+𝐶𝐸2=42+22=25,∵AM=ME,∴CM=12AE=5.基础知识巩固高频考向探究4.[2017·鄂尔多斯模拟]已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,CD=12BC,DE⊥CE,DE=CE,连接AE,点M是AE的中点.(2)如图②,若点D在△ABC的内部,连接BD,点N是BD的中点,连接MN,NE,求证:MN⊥AE;图30-14基础知识巩固高频考向探究(2)证明:如图②,延长EN至F使NF=NE,连接AF,BF.在△DNE和△BNF中,𝑁𝐷=𝑁𝐵,∠𝐷𝑁𝐸=∠𝐵𝑁𝐹,𝑁𝐸=