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第28课时与圆有关的计算基础知识巩固高频考向探究考点一正多边形和圆的相关计算考点聚焦设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.边心距r=𝑅2-(𝑎2)2周长L=na面积S=12nar每个内角的度数①每个外角的度数②中心角的度数③(𝒏-𝟐)×𝟏𝟖𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】正六边形的边长等于其外接圆的半径,正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍,正方形的边长等于其外接圆半径的2倍.基础知识巩固高频考向探究考点二弧长与扇形面积公式弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则弧长l=④.扇形面积公式(1)S扇形=⑤(n是圆心角度数,R是半径);(2)S扇形=12lR(l是弧长,R是半径)𝒏𝛑𝑹𝟏𝟖𝟎𝒏𝛑𝑹𝟐𝟑𝟔𝟎基础知识巩固高频考向探究1.规则图形的面积,直接利用对应公式计算.2.不规则图形的面积,要将图形的面积转化为可求图形的面积的和或差,常用方法有:(1)割补法;(2)拼凑法;(3)等积转化法;(4)平移法;(5)旋转法.(1)割补法考点三阴影部分面积的计算图28-1基础知识巩固高频考向探究(2)拼凑法图28-2基础知识巩固高频考向探究(3)等积转化法图28-3基础知识巩固高频考向探究(4)平移法图28-4基础知识巩固高频考向探究(5)旋转法图28-5基础知识巩固高频考向探究图形圆锥简介(1)h是圆锥的高;(2)l是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的⑥;(3)r是底面圆半径;(4)圆锥的侧面展开图是扇形,其弧长等于圆锥底面⑦圆锥的侧面积S侧=⑧圆锥的全面积S全=S侧+S底=πrl+πr2考点四圆锥的侧面积与全面积半径圆的周长πrl基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[九上P108习题24.3第5题改编]如图28-6,要拧开一个边长a=12mm的六角形螺帽,扳手张开的开口b至少为mm.图28-6基础知识巩固高频考向探究[答案]123[解析]如图,设正六边形ABCDEF的中心是点O,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形.∵AB=12mm,∠ABO=60°,∴sin∠ABO=𝐴𝑀𝐴𝐵,∴AM=12×32=63(mm),∴AC=2AM=123(mm).基础知识巩固高频考向探究2.[九上P115习题24.4第1题]填空:(1)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,则此弧所在圆的半径是cm;(2)一个扇形的弧长是20πcm,面积是240πcm2,则扇形的圆心角是;(3)用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为.6150°43基础知识巩固高频考向探究3.[九上P115习题24.4第4题改编]如图28-7,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,图中阴影部分的面积为.图28-7[答案]π-22a2[解析]图中四个半圆都通过正方形的中心,用正方形的面积减去四个空白部分的面积,剩下的就是阴影部分的面积,而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空白部分的面积,所以所求阴影部分的面积为a2-a2-π·𝑎22×2=π2a2-a2=π-22a2.基础知识巩固高频考向探究4.[九上P114练习第1题改编]圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,它的侧面展开图的圆心角是,圆锥的全面积是.160°5200πcm2基础知识巩固高频考向探究5.如图28-8,在腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形OAB中剪出最大扇形围成一个圆锥侧面(不计损耗),则圆锥的高为cm.图28-8基础知识巩固高频考向探究[答案]202[解析]过O作OE⊥AB于E,∵OA=OB=60cm,∠AOB=120°,∴∠A=∠B=30°,∴OE=12OA=30cm,∴弧CD的长=120π×30180=20π(cm),设圆锥的底面圆的半径为r,则2πr=20π,解得r=10(cm),∴圆锥的高=302-102=202(cm).基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】记错弧长公式与扇形面积公式;没弄清圆锥侧面展开图的面积与弧长与圆锥的关系.6.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积是()A.20πcm2B.20cm2C.40πcm2D.40cm2A基础知识巩固高频考向探究7.如图28-9,扇形OAB的圆心角为直角,以OA为边作矩形OAFE,边EF交弧AB于点D,如果图中两个阴影部分面积相等,则𝑂𝐸𝑂𝐵=.图28-9[答案]π4[解析]∵图中两个阴影部分面积相等,∴S扇形BOA=S矩形EOAF,∴90π·𝑂𝐵2360=OE·OA.∵OA=OB,∴𝑂𝐸𝑂𝐵=π4.基础知识巩固高频考向探究考向一与弧长有关的计算图28-10例1如图28-10,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则𝐴𝐵的长为()A.23πB.πC.43πD.53πC基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图28-111.[2018·呼和浩特农大附中二模]如图28-11,☉O的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径,点P是☉O上任意一点,过点P作PM⊥AB于M,PN⊥CD于N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周走过45°时,点Q走过的路径长为()A.π4B.π2C.π6D.π3A基础知识巩固高频考向探究2.如图28-12,已知直线y=-x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P在线段OB上,直线AP⊥BM,垂足为M,在点P从O到B运动过程中,点M运动路径的长为.图28-12𝟐π基础知识巩固高频考向探究3.[2019·呼和浩特34中月考]如图28-13,半圆O的直径AB=6,弦CD的长为3,点C,D在半圆AB上运动,D点在弧AC上且不与A点重合,但C点可与B点重合.(1)若弧AD的长为34π时,求弧BC的长;(2)取CD的中点M,在CD运动的过程中,求点M到AB的距离的最小值.图28-13基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图①,连接OC,OD,∵AB=6,∴OD=OC=3,又∵CD=3,∴△OCD为等边三角形,∴∠COD=60°,∵𝐴𝐷的长=𝑛π180×3=34π,∴n=45,即∠AOD=45°,∴∠BOC=180°-∠AOD-∠COD=75°,∴𝐵𝐶的长=75π180×3=54π.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·呼和浩特34中月考]如图28-13,半圆O的直径AB=6,弦CD的长为3,点C,D在半圆AB上运动,D点在弧AC上且不与A点重合,但C点可与B点重合.(2)取CD的中点M,在CD运动的过程中,求点M到AB的距离的最小值.图28-13基础知识巩固高频考向探究(2)如图②,由M点运动路径可判断,当弦CD运动到点C与点B重合时,点M到AB的距离最小.过点M作ME⊥AB于点E,由(1)可得△OCD为等边三角形,∴∠DCO=60°,∵CM=12CD=32,∴EM=32CM=334.基础知识巩固高频考向探究考向二与扇形面积有关的计算图28-14例2如图28-14,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是()A.2π3−32B.2π3−3C.π-32D.π-3B基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·南充]如图28-15,在半径为6的☉O中,点A,B,C都在☉O上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为()A.6πB.33πC.23πD.2π图28-15基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]连接OB,∵四边形OABC是平行四边形,∴OC∥AB,AB=OC,∴AB=OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC∥AB,∴S△AOB=S△ABC,∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=60π×36360=6π,故选A.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·包头]如图28-16,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=22,以BC为直径作半圆,交AB于点D,则阴影部分的面积是()A.π-1B.4-πC.2D.2图28-16[答案]D[解析]连接CD,设CB中点为O,连接OD,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠ABC=45°.∵BC是直径,∴∠CDB=90°,∴∠BCD=45°=∠ABC,AD=BD,∴CD=BD,∴S扇形COD-S△COD=S扇形BOD-S△BOD,即S弓形CD=S弓形BD.∴S阴影=S△ACD=12S△ABC=12×12×22×22=2.故选D.基础知识巩固高频考向探究3.[2017·包头]如图28-17,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的☉O交BC于点D.若BC=42,则图中阴影部分的面积为()A.π+1B.π+2C.2π+2D.4π+1图28-17基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]连接AD,OD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=AC,∴BD=CD=12BC=22,在Rt△ADB中,∵∠ABC=45°,∴∠BAD=45°,∴AD=BD=22,∴AB=4,又AO=BO,∴DO⊥AB,BO=AO=OD=2,∴S△BDO=12BO·DO=12×2×2=2,S扇形AOD=90π×22360=π,∴S阴影=2+π,故选B.基础知识巩固高频考向探究图28-184.[2019·启秀中学初三模拟]如图28-18,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的对应点分别为O',B',连接BB',则图中阴影部分的面积是.基础知识巩固高频考向探究[解析]连接OO',BO'.∵将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,∴∠OAO'=60°,∴△OAO'是等边三角形,∴∠AOO'=60°,OO'=OA,∴O'在☉O上.∵∠AOB=120°,∴∠O'OB=60°,∴△OO'B是等边三角形,∴∠AO'B=120°.∵∠AO'B'=120°,∴∠B'O'B=120°,∴∠O'B'B=∠O'BB'=30°,∴图中阴影部分的面积=S△B'O'B-(S扇形O'OB-S△O'OB)=12×1×23-60×π×22360−12×2×3=23−2π3.[答案]23−2π3基础知识巩固高频考向探究考向三圆锥的侧面积与全面积例3若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形,则这个圆锥的底面半径是()A.6cmB.9cmC.12cmD.18cm[答案]C[解析]扇形弧长:l=240×π×18180=24π,设底面圆的半径为r,则24π=2πr,解得r=12.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图28-191.[2017·呼和浩特13题]如图28-19是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的表面积为.[答案](225+252)π[解析]该几何体是同底圆柱和圆锥的组合体,底面半径为5,圆锥的高为5,圆柱的高为20,所以圆锥的母线长为52,∴该表面积=πrl+πr2+2πrh=225+252π.基础知识巩固高频考向探究2.[2015·呼和浩特14题]一个圆锥的侧面积为8π,母线长为4,则这个圆锥的全面积为.12π基础知识巩固高频考向探究[答案]160°3.[2014·呼和浩特11题]一个底面直径是80cm,母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为.[解析]∵圆锥的底面直径是80,∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为:πd=80π,∵母线长为90,∴圆锥的侧面展开扇形的面积为:12lr=12×80π×90=3600π,∴𝑛π×902360=3600π,解得:n=160.故答案为:160°.基础知识巩固高频考向探究4.[2013·呼和浩特13题]一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是.[答案]180°[解析]设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面面积=πr2,侧面积=12lr=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n°,则𝑛π𝑅