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单元思维导图第26课时圆的有关性质基础知识巩固高频考向探究1.圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做①,线段OA叫做②.考点一圆的有关概念及性质考点聚焦圆心半径2.圆的对称性:圆既是③对称图形,又是④对称图形,圆还具有旋转不变性.轴中心3.确定圆的条件:不在⑤点确定一个圆.同一条直线上的三个基础知识巩固高频考向探究4.圆的有关概念(1)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.大于半圆的弧叫⑥,小于半圆的弧叫⑦,如𝐴𝐶(劣弧),𝐴𝐵𝐶(优弧).(2)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做⑧,如弦AC,直径AB.(3)圆心角:顶点在圆心的角,如∠AOC.(4)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,如∠ABC.图26-1优弧劣弧直径基础知识巩固高频考向探究定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的⑨相等,所对的⑩也相等示例如图,∠AOB=∠COD⇔𝐴𝐵=𝐶𝐷⇔AB=CD推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等考点二圆心角、弧、弦之间的关系弧弦基础知识巩固高频考向探究垂径定理垂直于弦的直径,并且平分弦所对的两条弧示例如图,CD⊥AB,AM=BM,𝐴𝐶=𝐵𝐶,𝐴𝐷=𝐵𝐷推论(1)平分弦(不是直径)的直径于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧考点三垂径定理及其推论平分弦垂直垂直平分线基础知识巩固高频考向探究总结简言之,对于①过圆心、②垂直弦、③平分弦(不是直径)、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立（续表）基础知识巩固高频考向探究圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的常见图形推论1同弧或等弧所对的圆周角推论2半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是考点四圆周角定理及其推论一半相等直角直径基础知识巩固高频考向探究考点五圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角⑱.[拓展]圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,如图26-2,∠ABE=∠D.图26-2互补基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[九上P89习题24.1第8题改编]如图26-3是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是☉O中弦CD的中点,EM经过圆心O交☉O于点E,并且CD=4m,EM=6m,则☉O的半径为m.图26-3基础知识巩固高频考向探究[解析]∵M是☉O中弦CD的中点,根据垂径定理的推论,得EM⊥CD.又CD=4m,∴CM=12CD=2m.设圆的半径为xm,连接OC,在Rt△COM中,由勾股定理,得OC2=CM2+OM2,即x2=22+(6-x)2,解得x=103.[答案]103基础知识巩固高频考向探究图26-42.[九上P85练习第2题改编]如图26-4,AB是☉O的直径,𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐸,∠COD=35°,则∠AOE的度数为.[答案]75°[解析]∵𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐸,∠COD=35°,∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°,∴∠EOB=105°.∵∠EOB+∠EOA=180°,∴∠AOE=75°.基础知识巩固高频考向探究3.[九上P90习题24.1第10题改编]☉O的半径为13cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB和CD之间的距离为.基础知识巩固高频考向探究[答案]7cm或17cm[解析]过点O作OE⊥AB于点E,直线OE交CD于点F,连接OA,OC,如图.∵AB∥CD,∴OF⊥CD,∴AE=BE=12AB=12,CF=DF=12CD=5,在Rt△OAE中,∵OA=13,AE=12,∴OE=5,在Rt△OCF中,∵OC=13,CF=5,∴OF=12.当圆心O在弦AB与CD之间时,如图①,EF=OF+OE=12+5=17;当圆心O不在弦AB与CD之间时,如图②,EF=OF-OE=12-5=7.综上所述,AB和CD之间的距离为7cm或17cm.基础知识巩固高频考向探究4.AB为半圆O的直径,现将一块等腰直角三角板如图26-5放置,锐角顶点P在半圆上,斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为.图26-5𝟐基础知识巩固高频考向探究5.如图26-6,点D,E分别在∠ABC的边BC,AB上,过D,A,C三点的圆的圆心为E,过B,E,F三点的圆的圆心为D,若点A,E,B在同一直线上,∠CAB=54°,设∠ABC=θ,那么θ=.图26-624°基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】同(等)圆中,同(等)弧或弦所对的圆周角大于“圆外角”;不能灵活运用圆周角定理及其推论,且忽略分类讨论.6.如图26-7,已知AC是☉O的直径,点B在圆周上(不与A,C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交☉O于点E,若∠AOB=3∠ADB,则()A.DE=EBB.2DE=EBC.3DE=DOD.DE=OB图26-7基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]连接EO.∵OB=OE,∴∠B=∠OEB.∵∠OEB=∠D+∠DOE,∠AOB=3∠D,∴∠B+∠D=3∠D,∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D,∴∠DOE=∠D,∴ED=EO=OB,故选D.基础知识巩固高频考向探究7.已知☉O的半径是5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB与CD的距离是()A.1cmB.7cmC.1cm或7cmD.无法判断基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]分为两种情况:(1)当AB和CD在圆心O的同侧时,如图①,过O作OE⊥AB于E,交CD于F,连接OA,OC,∵AB∥CD,∴OF⊥CD,∴由垂径定理得:AE=12AB=3cm,CF=12CD=4cm,在Rt△OAE中,由勾股定理得:OE=𝑂𝐴2-𝐴𝐸2=52-32=4(cm),同理求出OF=3cm,∴EF=4-3=1(cm);基础知识巩固高频考向探究(2)当AB和CD在圆心O的两侧时,如图②,同理求出OE=4cm,OF=3cm,则EF=4+3=7(cm).即AB与CD的距离是1cm或7cm,故选C.基础知识巩固高频考向探究8.如图26-8,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D.若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是.图26-880°或140°基础知识巩固高频考向探究考向一圆周角定理及其推论图26-9例1[2016·青岛]如图26-9,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD=.[答案]62°[解析]∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠BCD=28°,∴∠ACD=62°,由圆周角定理得∠ABD=∠ACD=62°.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·宜昌]如图26-10,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是()A.50°B.55°C.60°D.65°A图26-10基础知识巩固高频考向探究2.如图26-11,点D为AC上一点,点O为AB上一点,AD=DO.以O为圆心,OD长为半径作半圆,交AC于另一点E,交AB于F,G两点,连接EF.若∠BAC=22°,则∠EFG=.图26-1133°基础知识巩固高频考向探究3.[2013·呼和浩特16题]在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为.基础知识巩固高频考向探究[答案](0,12)或(0,-12)[解析]设线段BA的中点为E,∵点A(4,0),B(-6,0),∴AB=10,E(-1,0).(1)如图①所示,过点E在第二象限作EP⊥BA,且EP=12AB=5,则易知△PBA为等腰直角三角形,∠BPA=90°,PA=PB=52.以点P为圆心,PA(或PB)长为半径作☉P,与y轴的正半轴交于点C,∵∠BCA为☉P的圆周角,∴∠BCA=12∠BPA=45°,则点C即为所求.过点P作PF⊥y轴于点F,则OF=PE=5,PF=1,基础知识巩固高频考向探究在Rt△PFC中,PF=1,PC=52,由勾股定理得:CF=𝑃𝐶2-𝑃𝐹2=7,∴OC=OF+CF=5+7=12,∴点C坐标为(0,12);(2)如图②所示,在第三象限可以参照(1)作同样操作,同理求得y轴负半轴上的点C坐标为(0,-12).综上所述,点C坐标为(0,12)或(0,-12).故答案为:(0,12)或(0,-12).基础知识巩固高频考向探究4.如图26-12,在平面直角坐标系xOy中,△OCB的外接圆与y轴交于点A(0,2),∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC的长是.图26-12基础知识巩固高频考向探究[解析]连接AB,设△OCB的外接圆圆心为M,则AB为☉M的直径.Rt△ABO中,∠BAO=∠OCB=60°,∴OB=3OA=3×2=6.过点B作BD⊥OC于点D.Rt△OBD中,∠COB=45°,则OD=BD=22OB=3.Rt△BCD中,∠OCB=60°,则CD=33BD=1,∴OC=CD+OD=1+3.故答案为:1+3.[答案]3+1基础知识巩固高频考向探究考向二垂径定理的相关计算例2如图26-13,(1)在半径为5cm的☉O中,弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC=.(2)在半径为5cm的☉O中,OC⊥AB于点C,OC=4cm,则弦AB=.(3)在☉O中,OC⊥AB于点C,OC=4cm,弦AB=8cm,则☉O的半径为.(4)在☉O中,OC⊥AB于点C,交劣弧AB于D,CD=1cm,弦AB=8cm,则☉O的半径为.图26-134cm6cm4𝟐cm𝟏𝟕𝟐cm基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2017·呼和浩特7题]如图26-14,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则☉O的周长为()A.26πB.13πC.96π5D.3910π5图26-14基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]连接OA,∵CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,∴AM=12AB=6,∵OM∶MD=5∶8,∴设OM=5x,DM=8x,∴OA=OD=13x,∴AM=𝑂𝐴2-𝑂𝑀2=12x=6,∴x=12,∴OA=12×13=132,∴☉O的周长=2OA·π=13π,故选B.基础知识巩固高频考向探究2.[2017·金华]如图26-15,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为()A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm图26-15[答案]C[解析]如图,过O作OC⊥AB于点C.在Rt△OCB中,OC=5cm,OB=13cm,根据勾股定理,得BC=𝑂𝐵2-𝑂𝐶2=132-52=12(cm).∵OC⊥AB,∴AB=2BC=24cm.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·赤峰]如图26-16,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°图26-16[答案]D[解析]∵∠ADC=30°,∴∠AOC=2∠ADC=60°.∵AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,∴𝐴𝐶=𝐵𝐶.∴∠BOC=∠AOC=60°.故选D.基础知识巩固高频考向探究图26-174.[2019·凉山州]如图26-17所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于H,∠A=30°,CD=23,则☉O的半径是.[答案]2[解析]连接OC,则OA=OC,∴∠A=∠ACO=30°,∴∠COH=60°,∵OB⊥CD,CD=23,∴CH=3,∴OC=2.基础知识巩固高频考向探究考向三与圆的性质有关的综合题例3如图26-18,已知△ABC是☉O的内接三角形,AD