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第8课时一元二次方程及其应用基础知识巩固高频考向探究考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图8-1基础知识巩固高频考向探究2.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂基础知识巩固高频考向探究（续表）方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂基础知识巩固高频考向探究考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等没有-𝒃𝒂𝒄𝒂基础知识巩固高频考向探究考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量基础知识巩固高频考向探究（续表）应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[九上P9练习第1题]填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2-12x+=(x-)2;(3)x2+5x+=(x+)2;(4)x2-23x+=(x-)2.255366𝟐𝟓𝟒𝟓𝟐𝟏𝟗𝟏𝟑基础知识巩固高频考向探究2.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是;(2)方程3x2+6x-4=0的解是;(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是.x1=-3,x2=-7x1=-𝟑+𝟐𝟏𝟑,x2=-𝟑+𝟐𝟏𝟑x1=-1,x2=1基础知识巩固高频考向探究3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有个队参加比赛.[答案]10[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.基础知识巩固高频考向探究4.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是.(1+x)2=𝟏𝟎𝟗基础知识巩固高频考向探究5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=,x1x2=;(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=,x1x2=;(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=,x1x2=;(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=,x1x2=.5-10-𝟕𝟐𝟏𝟐𝟐𝟑-24-7基础知识巩固高频考向探究6.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是.题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.x=1或x=2基础知识巩固高频考向探究7.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.[答案]a-13且a≠0[解析]∵关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且22-4a(-3)0,解得a-13且a≠0.基础知识巩固高频考向探究考向一一元二次方程的解法例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.因此原方程的根为x1=3,x2=9.基础知识巩固高频考向探究(2)配方法:原方程为x2-12x+27=0,即(x-6)2=9,∴x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:基础知识巩固高频考向探究(3)因式分解法:原方程为x2-12x+27=0,即(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(3)因式分解法:基础知识巩固高频考向探究【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.形如(x+a)2=b的一元二次方程可直接开平方;若一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·怀化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=2C基础知识巩固高频考向探究2.若一元二次方程ax2=b(ab0)的两个根分别是m+1与2m-4,则𝑏𝑎=.[答案]4[解析]原方程化简得x2=𝑏𝑎,解得x=±𝑏𝑎,即原方程的两个解互为相反数,所以m+1+(2m-4)=0,化简得3m=3,解得m=1,则方程的两根为2和-2,则𝑏𝑎=2,即𝑏𝑎=22=4.基础知识巩固高频考向探究解:原方程化为一般形式为2x2-9x-34=0,x2-92x=17,x2-92x+8116=17+8116,x-942=35316,x-94=±3534,所以x1=9+3534,x2=9-3534.3.[2019·呼和浩特19题]用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.基础知识巩固高频考向探究4.[2017·呼和浩特实验教育集团第一学期期中]阅读理解题:我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的,例如:解方程x2-2x=0,通过因式分解将方程化为x(x-2)=0,从而得到x=0和x-2=0两个一元一次方程,通过解这两个一元一次方程,求得原方程的解.(1)利用上述方法解一元二次不等式:2x(x-1)-3(x-1)0;(2)利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+50.解:(1)2x(x-1)-3(x-1)0可化为(x-1)(2x-3)0,∴①𝑥-10,2𝑥-30或②𝑥-10,2𝑥-30,解①得1x32,解②得x1且x32(此不等式组无解).∴原不等式的解集为1x32.基础知识巩固高频考向探究4.[2017·呼和浩特实验教育集团第一学期期中]阅读理解题:我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的,例如:解方程x2-2x=0,通过因式分解将方程化为x(x-2)=0,从而得到x=0和x-2=0两个一元一次方程,通过解这两个一元一次方程,求得原方程的解.(2)利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+50.(2)设y=x2+6x+5,当y=0即x2+6x+5=0时,可求得x=-5或x=-1,即二次函数y=x2+6x+5的图象与x轴的交点坐标为(-5,0)和(-1,0),∴原不等式的解集为x-5或x-1.基础知识巩固高频考向探究考向二一元二次方程根的判别式例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m分别取何值时,满足下列条件:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根.解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18且m≠1.基础知识巩固高频考向探究例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m分别取何值时,满足下列条件:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,且m-1≠0,∴m=-18,原方程可变形为-9x2-6x-1=0,解得x1=x2=-13.基础知识巩固高频考向探究例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m分别取何值时,满足下列条件:(3)方程没有实数根.(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)时刻牢记隐含条件:二次项系数不为0.(2)在计算前应先将方程化为一般式,再利用“b2-4ac”判断.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.若关于x的方程x2+(m+1)x+12=0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是()A.-52B.12C.-52或12D.1[答案]C[解析]∵Δ=(m+1)2-4×12×1=m2+2m-1,而倒数是其本身的数是1或-1,即1或-1是方程x2+(m+1)x+12=0的根,则12+(m+1)·1+12=0,即m=-52,代入根的判别式,得Δ=140,即m=-52满足题意.同理,(-1)2+(m+1)·(-1)+12=0,即m=12,代入根的判别式,得Δ=140,即m=12亦满足题意.故m的值为-52或12,故选C.基础知识巩固高频考向探究2.[2017呼和浩特一模]已知a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.不确定,与b的取值有关D.无实数根B基础知识巩固高频考向探究3.[2017·包头]若关于x的不等式x-𝑎21的解集为x1,则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定[答案]C[解析]解不等式x-𝑎21,得x𝑎2+1,因为不等式x-𝑎21的解集为x1,所以𝑎2+1=1,解得a=0,则方程x2+ax+1=0为x2+1=0,因为Δ=02-4=-40,所以方程x2+ax+1=0无实数根,故选C.基础知识巩固高频考向探究考向三一元二次方程根与系数的关系例3[2019·原创]设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,不解方程,求下列各式的值.(1)(x1-1)(x2-1)=;(2)1𝑥1+1𝑥2=.[答案](1)32(2)43[解析]根据题意得x1+x2=-2,x1x2=-32.(1)原式=x1x2-(x1+x2)+1=-32-(-2)+1=32.(2)原式=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=-2-32=43.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】运用根与系数的关系解决问题时,要注意构造出整体“x1·x2”与“x1+x2”,常见的关系式:1𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2,𝑥12·x2+x1·𝑥22=x1x2·(x1+x2),𝑥12+𝑥22=(