搜索
第7课时一元一次不等式(组)及其应用基础知识巩固高频考向探究考点一不等式的有关概念考点聚焦1.不等式:用符号“”“”表示大小关系的式子,以及用“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是①的不等式,叫做一元一次不等式.1基础知识巩固高频考向探究考点二不等式的性质性质1:如果ab,那么a±c②b±c;性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝑎𝑐④𝑏𝑐;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝑎𝑐⑥𝑏𝑐.基础知识巩固高频考向探究考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.基础知识巩固高频考向探究不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀x≥a,x𝑏⑦同大取大x≤a,x𝑏⑧同小取小x≥a,x𝑏⑨大小小大中间找x≤a,x𝑏⑩大大小小没有解xbx≤aa≤xb无解基础知识巩固高频考向探究考点四不等式的实际问题求解步骤:认真审题,找出题目中的不等关系,根据题目中的不等关系列出不等式,解不等式,检验作答.基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】列不等式解应用题时,应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词.基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练A1.不等式𝑥2−𝑥-13≤1的解集是()A.x≤4B.x≥4C.x≤-1D.x≥-1基础知识巩固高频考向探究2.[七下P117练习]设ab,用“”或“”号填空:(1)a+2b+2;(2)a-3b-3;(3)-4a-4b;(4)𝑎2𝑏2.3.[七下P124练习第1(4)题改编]不等式𝑥+16≥2𝑥-54+1的解集是.4.[七下P133复习题9第3(4)题]不等式组-3(𝑥-2)≥4-𝑥,1+2𝑥3𝑥-1的解集是.x≤𝟓𝟒x≤1基础知识巩固高频考向探究5.若ab,则下列结论不一定成立的是()A.a-1b-1B.2a2bC.-𝑎3-𝑏3D.a2b2题组二易错题【失分点】注意不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号的方向要改变;在数轴上表示不等式的解集时,注意实心圆与空心圆的区别.[答案]D[解析]A选项,不等式两边同时减去1,不等号方向不变,故A成立.B选项,不等式两边同时乘以2,不等号方向不变,故B成立.C选项,不等式两边同时乘以-13,不等号方向改变,故C成立.D选项,举例,-5-2,但(-5)2(-2)2.故D不一定成立.故选D.基础知识巩固高频考向探究6.[2018·湘西州]不等式组𝑥-2,𝑥≤1的解集在数轴上表示正确的是()C图7-1基础知识巩固高频考向探究考向一一元一次不等式的解法例1(1)解不等式5(x-2)+86(x-1)+7;(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x-ax=3的解,求a的值.解:(1)5(x-2)+86(x-1)+7,即5x-10+86x-6+7,即5x-26x+1,即-x3,即x-3.(2)由(1)得不等式的最小整数解为x=-2,故2×(-2)-a·(-2)=3,解得a=72.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)在去分母时,注意不要漏乘不含分母的整数项;(2)最后一步化系数为1时,当未知数的系数为负数时,化系数为1时要改变不等号的方向.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|[答案]C1.[2019·呼和浩特6题]若不等式2𝑥+53-1≤2-x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式3(x-1)+55x+2(m+x)成立,则m的取值范围是()A.m-35B.m-15C.m-35D.m-15[解析]解不等式2𝑥+53-1≤2-x得:x≤45.解不等式3(x-1)+55x+2(m+x)得:x1-𝑚2.∵不等式2𝑥+53-1≤2-x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式3(x-1)+55x+2(m+x)成立,∴1-𝑚245,解得m-35.故选C.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·呼和浩特10题]若满足12x≤1的任意实数x,都能使不等式2x3-x2-mx2成立,则实数m的取值范围是()A.m-1B.m≥-5C.m-4D.m≤-4基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]∵12x≤1,∴原不等式可化为2x2-x-m2𝑥,设y1=2x2-x-m,y2=2𝑥.∵12x≤1,∴2≤y24.二次函数y1=2x2-x-m的图象的对称轴为直线x=14,开口向上,与y轴的交点为(0,-m),(0,-m)关于对称轴对称的点为12,-m.当x14时,y1随x的增大而增大,如图,结合图象可知:当-m≥4,12x≤1时,y1y2,即m≤-4,12x≤1时,不等式2x3-x2-mx2总成立.基础知识巩固高频考向探究3.[2017·呼和浩特21题]已知关于x的不等式2𝑚-𝑚𝑥212x-1.(1)当m=1时,求该不等式的解集;(2)m取何值时,该不等式有解,并求出解集.解:(1)当m=1时,2-𝑥212x-1,即2-xx-2,即x2.(2)2𝑚-𝑚𝑥212x-1,即2m-mxx-2,即(m+1)x2(m+1),当m≠-1时,不等式有解.当m-1时,原不等式的解集为x2;当m-1时,原不等式的解集为x2.基础知识巩固高频考向探究4.[2018·赛罕区二模]若关于x的一元一次不等式ax+b0的解集为x-12,求关于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)0的解集.解:由x-12及ax+b0得x-𝑏𝑎,所以𝑏𝑎=12,a=2b,a0,b0,又由(a-3b)x+(b-2a)0得b(x+3)0,所以x-3.基础知识巩固高频考向探究考向二一元一次不等式(组)的解法例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得;(2)解不等式②,得;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:图7-2(4)原不等式组的解集为.解:(1)x≥1[解析](1)移项,可得x≥1.基础知识巩固高频考向探究解:(2)x≤3[解析](2)移项,可得5x-4x≤3;合并同类项,可得x≤3.例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(2)解不等式②,得;基础知识巩固高频考向探究解:(3)[解析](3)根据解集在数轴上的表示方法“大于向右,小于向左;有等号实心点,无等号空心圈”可表示.例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:图7-2基础知识巩固高频考向探究例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(4)原不等式组的解集为.解:(4)1≤x≤3.[解析](4)根据不等式组的解集的定义可得原不等式组的解集为1≤x≤3.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】本类型考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式的解集是基础,熟知“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”的原则是解答此类型题的关键.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·呼和浩特15题]若不等式组2𝑥+𝑎0,12𝑥-𝑎4+1的解集中的任意x,都能使不等式x-50成立,则a的取值范围是.[答案]a≤-6[解析]解不等式2x+a0,得x-𝑎2,解不等式12x-𝑎4+1,得x-𝑎2+2,∴不等式组的解集为x-𝑎2+2,又不等式x-50的解集为x5,∴-𝑎2+2≥5,a≤-6.基础知识巩固高频考向探究2.[2016·呼和浩特19题]已知关于x的不等式组5𝑥+23(𝑥-1),12𝑥≤8-32𝑥+2𝑎有四个整数解,求实数a的取值范围.解:5𝑥+23(𝑥-1),①12𝑥≤8-32𝑥+2𝑎,②解不等式①,得x-52,解不等式②,得x≤a+4.∴原不等式组的解集为-52x≤a+4.∵不等式组有四个整数解,∴1≤a+42,解得-3≤a-2.基础知识巩固高频考向探究3.[2015·呼和浩特20题]若关于x,y的二元一次方程组2𝑥+𝑦=-3𝑚+2,𝑥+2𝑦=4的解满足x+y-32,求出满足条件的m的所有正整数值.解:2𝑥+𝑦=-3𝑚+2,①𝑥+2𝑦=4,②①+②得:3(x+y)=-3m+6,即x+y=-m+2,代入不等式得:-m+2-32,解得:m72,则满足条件的m的正整数值为1,2,3.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·呼和浩特一模]已知实数m是一个不等于2的常数,解不等式组-2𝑥+1≥-3,2𝑥-3𝑚3+𝑥30,并根据m的取值情况写出其解集.解:解不等式组得𝑥≤2,𝑥𝑚,∵m≠2,∴①当m2时,原不等式组的解集为mx≤2;②当m2时,原不等式组无解.基础知识巩固高频考向探究5.[2017·呼和浩特一模]已知关于x的不等式组3𝑥-𝑎≥0,12(𝑥-2)3𝑥+4无解,求实数a的取值范围.解:解不等式3x-a≥0,得x≥𝑎3,解不等式12(x-2)3x+4,得x-2,由题意得𝑎3≥-2,解得a≥-6.基础知识巩固高频考向探究考向三一元一次不等式的实际应用例3[2019·福建]某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.(1)求该车间的日废水处理量m;基础知识巩固高频考向探究(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.解:(1)因为工厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元,又370-3035=6878,所以m35,依题意得,30+8m+12(35-m)=370,解得m=20,故该车间的日废水处理量为20吨.基础知识巩固高频考向探究例3[2019·福建]某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.基础知识巩固高频考向探究(2)设一天生产废水x吨.①当0x≤20时,依题意得,8x+30≤10x,解得x≥15,所以15≤x≤20.②当x20时,依题意得,12(x-20)+20×8+30≤10x,解得x≤25.所以20x≤25.综上所述,15≤x≤25.故该厂一天