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第6课时分式方程及其应用基础知识巩固高频考向探究考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.未知数基础知识巩固高频考向探究2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:图6-1最简公分母3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.0基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.基础知识巩固高频考向探究考点二分式方程的实际应用列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同,不同的是要检验两次:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验求出的解是否符合变量的实际意义.基础知识巩固高频考向探究2.解分式方程2𝑥-1+𝑥+21-𝑥=3时,去分母后变形正确的为()A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-1)1.方程2𝑥+1𝑥-1=3的解是()A.x=-45B.x=45C.x=-4D.x=4题组一必会题对点演练DD基础知识巩固高频考向探究3.[八上P152练习(1)(2)(3)改编](1)解方程12𝑥=2𝑥+3得;(2)解方程𝑥𝑥+1=2𝑥3𝑥+3+1得;(3)解方程2𝑥-1=4𝑥2-1得.x=1x=-𝟑𝟐无解基础知识巩固高频考向探究4.[八上P159复习题15第8题改编]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产台机器.[答案]200[解析]设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x-50)台,依题意得600𝑥=450𝑥-50,解得x=200.检验:当x=200时,x(x-50)≠0.∴x=200是原分式方程的解,∴现在平均每天生产200台机器.基础知识巩固高频考向探究5.[八上P154练习第1题改编]八年级学生去距学校10km的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,则骑车学生的速度是km/h.[答案]15[解析]设骑车学生的速度是xkm/h,则汽车的速度是2xkm/h,由题意得10𝑥−102𝑥=13,解得x=15.经检验,x=15是所列方程的解,且符合实际意义,所以骑车学生的速度是15km/h.基础知识巩固高频考向探究6.[八上P155习题15.3第4题改编]A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg,A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等,A型机器人每小时搬运化工原料,B型机器人每小时搬运化工原料.基础知识巩固高频考向探究[答案]90kg60kg[解析]设B型机器人每小时搬运xkg化工原料,则A型机器人每小时搬运(x+30)kg化工原料.∵A型机器人搬运900kg与B型机器人搬运600kg所用时间相等,∴可列方程为900𝑥+30=600𝑥,解此分式方程得x=60,检验:当x=60时,x(x+30)≠0,所以x=60是分式方程的解,且符合题意.当x=60时,x+30=90(kg).故A型机器人每小时搬运90kg化工原料,B型机器人每小时搬运60kg化工原料.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】解分式方程,去分母时漏乘常数项,忽略符号变化;忘记检验根的合理性;混淆增根和无解.7.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解D基础知识巩固高频考向探究8.若关于x的方程𝑥+2𝑥+3=𝑚𝑥+3无解,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-2B基础知识巩固高频考向探究9.当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.[答案]2[解析]方程两边同乘(x-3),得:x-5=-m,x=5-m,若方程产生增根,则增根为x=3,所以5-m=3.解得m=2.基础知识巩固高频考向探究考向一分式方程的解法例1解方程:𝑥2𝑥-3+53-2𝑥=4.解:去分母得x-5=4(2x-3),去括号得x-5=8x-12,移项得-7x=-7,∴x=1.经检验,x=1为原方程的解,∴原分式方程的解为x=1.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|y2+y-2=01.[2016·呼和浩特一模]用换元法解分式方程2𝑥-1𝑥−2𝑥2𝑥-1=-1时,如果设2𝑥-1𝑥=y,并将原方程化为关于y的整式方程,那么这个整式方程是.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·呼和浩特17(2)题]解方程:𝑥-3𝑥-2+1=32-𝑥.解:x-3+x-2=-3,∴x=1.检验:当x=1时,x-2≠0.所以,x=1是原分式方程的解.基础知识巩固高频考向探究考向二分式方程的实际应用例2植树节期间,某中学九年级(2)班计划组织部分同学义务植树180棵,由于学生们参与的积极性很高,实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%,结果每人比原计划少栽了2棵树,则实际有多少人参加了这次植树活动?基础知识巩固高频考向探究解:设原计划有x人参加植树活动,则实际参加人数为1.5x人.根据题意,得180𝑥−1801.5𝑥=2,解得x=30.经检验,x=30是方程的解,且符合实际意义.1.5x=45.答:实际有45人参加了这次植树活动.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2016·呼和浩特22题]某一公路的道路维修工程准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成.根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合做此项维修工程,6天可以完成,共需工程费用385200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的工程费用甲队比乙队多4000元,从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队?基础知识巩固高频考向探究解:设甲工程队单独完成此项工程需要x天,则乙工程队单独完成需要(x+5)天.依据题意可列方程1𝑥+1𝑥+5=16,解得x1=10,x2=-3(舍去).经检验x=10是原方程的解.设甲工程队每天的工程费用为y元,依据题意可列方程6y+6(y-4000)=385200,解得y=34100.故甲工程队单独完成此项工程费用为34100×10=341000(元),乙工程队单独完成此项工程费用为30100×15=451500(元).答:从节省资金的角度考虑,应该选择甲工程队.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·包头]某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销售,减少库存,4月份在3月份售价的基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元.(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元?(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?基础知识巩固高频考向探究解:(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元.根据题意,得2400𝑥=2400+8400.9𝑥-30,解得x=40.经检验x=40是原方程的解.答:该商店3月份这种商品的售价为40元.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·包头]某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销售,减少库存,4月份在3月份售价的基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元.(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?基础知识巩固高频考向探究(2)设该商品的进价为a元,根据题意,得(40-a)×240040=900,解得a=25.4月份的售价:40×0.9=36(元),4月份的销售数量:2400+84036=90(件).4月份的利润:(36-25)×90=990(元).答:该商店4月份销售这种商品的利润是990元.