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单元思维导图第1课时实数及其运算2.实数的分类(1)按定义分实数有理数整数分数:①小数或无限②小数无理数正无理数负无理数无限③小数考点一实数及其分类有限循环不循环1.实数:有理数和无理数统称为实数.(2)按大小分实数正实数正有理数正整数正分数正无理数零负实数负有理数负整数负分数负无理数【温馨提示】1.常见的4种无理数类型:(1)根号型:2,53等开方开不尽的数;(2)三角函数型:如sin60°,tan30°等;(3)构造型:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等;(4)与π有关的数:如𝜋3,π-1等.判断一个数是不是无理数,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.3.判断实数的正负,一定要先化简,再根据定义判断,如-(-2)=2是正数;注意-a不一定是负数,要对a进行分类讨论.2.正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“-”.如规定向东为“+”,则向西为“-”;规定零上为“+”,则零下为“-”.1.数轴规定了原点、④和⑤的直线.数轴上的点与实数一一对应.2.相反数a的相反数是⑥,0的相反数是0.图1-1考点二实数的有关概念正方向单位长度-a4.绝对值一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|,离原点越远的数的绝对值越大.|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑧(𝑎0).-a3.倒数乘积是⑦的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.15.近似数一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.1.定义把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|10,n为整数.2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位1亿=⑨,1万=⑩;1mm=10-3m,1nm=10-9m等.考点三科学记数法1081044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向⑪移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向⑫移动|n|位.右左数轴比较法数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数⑬性质比较法(1)正数0负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而⑭;(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找考点四实数的大小比较大小差值比较法对于任意实数a,b:a-b0⇔⑮;a-b=0⇔⑯;a-b0⇔⑰平方比较法a2b⇔ab(a0,b≥0),ab⇔ab≥0(主要用于含有二次根式的无理数的大小比较或无理数的估算)求商比较法当b0时,ab1⇔ab,ab1⇔ab;当b≠0时,ab=1⇔a=b（续表）aba=bab运算律交换律a+b=⑱,ab=⑲结合律(a+b)+c=⑳,(ab)c=㉑分配律a(b+c)=㉒几种常见的运算乘方an=a·a·…·a(n个a相乘)零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=㉓(a≠0)考点五实数的运算b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac1几种常见的运算负整数次幂规定a-n=1an(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=㉔(a≠0)-1的整数次幂(-1)n=㉕,n为奇数;㉖,n为偶数运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行㉗运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行（续表）-11括号内的𝟏𝒂【温馨提示】在进行负整数指数幂的运算时,防止出现以下错误:(1)3-2=-19;(2)2a-2=12𝑎2.2.[2014·呼和浩特1题]下列实数是无理数的是()A.-1B.0C.πD.131.实数tan45°,83,0,-35π,9,-13,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),其中无理数的个数是()A.4B.2C.1D.3考向一实数的分类DC3.如果收入100元记作+100元,那么支出100元记作()A.-100元B.+100元C.-200元D.+200元A4.[2019·呼和浩特1题]如图1-2,检测排球,其中质量超过标准的克数记为正数,不足的克数记为负数,下面检测过的四个排球,在其上方标注了检测结果.其中质量最接近标准的一个是()图1-2图1-3A5.下列实数中,不是无理数的是()A.2π(π表示圆周率)B.-5C.511D.86.[七下P54探究改编]如图1-4,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',点O'对应的数是.图1-4Cπ7.[2013·呼和浩特1题]-3的相反数是()A.3B.-3C.13D.-13考向二实数的相关概念及运算A8.[2016·呼和浩特1题]互为相反数的两个数的和为()A.0B.-1C.1D.2A9.[2019·益阳]-6的倒数是()A.-16B.16C.-6D.6AB10.[2019·山西]-3的绝对值是()A.-3B.3C.-13D.1311.[2019·郴州]如图1-5,数轴上表示-2的相反数的点是()A.MB.NC.PD.Q图1-5D12.[2019·枣庄]点O,A,B,C在数轴上的位置如图1-6所示,O为原点,AC=1,OA=OB,若点C所表示的数为a,则点B所表示的数为()A.-(a+1)B.-(a-1)C.a+1D.a-1[答案]B[解析]∵点C所表示的数为a,AC=1,点A在点C的左边,∴点A所表示的数为a-1,∵OA=OB,∴点A和点B所表示的数互为相反数,故点B所表示的数为-(a-1),故选B.图1-6考向三实数的大小比较13.[2015·呼和浩特1题]以下四个选项表示某天四个城市的平均气温,其中平均气温最低的是()A.-3℃B.15℃C.-10℃D.-1℃[答案]C[解析]15℃-1℃-3℃-10℃,故选C.14.[2014·呼和浩特7题]实数a,b,c在数轴上对应的点如图1-7所示,则下列式子中正确的是()A.acbcB.|a-b|=a-bC.-a-bcD.-a-c-b-cD图1-715.[2019·包头]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-8所示,下列结论正确的是()A.abB.a-bC.-abD.-ab图1-8[答案]C[解析]由图可知-3a-2,1b2,所以ab,a-b,-ab.故选C.16.[2019·呼和浩特一模]实数a,b,c,d在数轴上的位置如图1-9所示,下列关系式不正确的是()A.|a||b|B.|b-d|=|b|+|d|C.|a+c|=c-aD.|d-1||c-1|C图1-917.[2018·呼和浩特一模]若a=(-3)13-(-3)14,b=(-0.6)12-(-0.6)14,c=(-1.5)11-(-1.5)13,则a,b,c的大小关系正确的为()A.abcB.acbC.bcaD.cbaD18.若x-1,则x0,x-1,x-2的大小关系是.x0x-2x-1考向四实数的运算A19.[2018·呼和浩特1题]-3-(-2)的值是()A.-1B.1C.5D.-520.[2017·呼和浩特1题]我市冬季里某一天的最低气温是-10℃,最高气温是5℃,这一天的温差为()A.-5℃B.5℃C.10℃D.15℃[答案]D[解析]用最高气温减去最低气温,再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解.5-(-10)=5+10=15(℃).故选D.解:原式=32×-43+6-(1-3)2=-2+6-(4-23)=23.21.[2019·呼和浩特17(1)题]计算:112÷-34+3×12-11-3-2.22.[2014·呼和浩特17(1)题]计算:2cos30°+(3-2)-1+-12.解:原式=2×32+13-2+12=3-(3+2)+12=-32.考向五科学记数法C23.[2017·呼和浩特2题]中国的陆地面积约为9600000km2,将这个数用科学记数法可表示为()A.0.96×107km2B.960×104km2C.9.6×106km2D.9.6×105km224.[2019·河南]成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为()A.46×10-7B.4.6×10-7C.4.6×10-6D.0.46×10-525.[2019·安徽]2019年“五一”假日期间,我省银联网络交易总金额接近161亿元.其中161亿用科学记数法表示为()A.1.61×109B.1.61×1010C.1.61×1011D.1.61×1012CB26.[2016·赤峰]中国的领水面积约为370000km2,其中南海的领水面积约占我国领水面积的,用科学记数法表示中国南海的领水面积是()A.37×105km2B.37×104km2C.0.85×105km2D.1.85×105km2D1227.[2015·呼和浩特11题]某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元,用科学记数法表示为元.28.(1)用科学记数法表示13.7万为.(2)用科学记数法表示-0.000032=.(3)把309740四舍五入,使其精确到千位得.4.1×1061.37×105-3.2×10-53.10×105