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第12课时反比例函数考点一反比例函数的概念考点聚焦一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0一般形式y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值kk的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值考点二反比例函数的图象与性质减小增大对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题（续表）原点考点三反比例函数比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.2.推导:如图12-1,过双曲线y=𝑘𝑥上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=𝑘𝑥,∴xy=k,∴S=|k|.图12-1S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧S△APP1=⑨3.常见的与反比例函数有关的图形面积|k||𝒌|𝟐2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.考点五反比例函数的实际应用1.[2019·柳州]反比例函数y=2𝑥的图象位于()A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限题组一必会题对点演练A2.[2019·贺州]已知ab0,一次函数y=ax-b与反比例函数y=𝑎𝑥在同一直角坐标系中的图象可能为()[答案]A[解析]若反比例函数y=𝑎𝑥图象经过第一、三象限,则a0,所以b0.则一次函数y=ax-b的图象应该经过第一、二、三象限;若反比例函数y=𝑎𝑥图象经过第二、四象限,则a0,所以b0.则一次函数y=ax-b的图象应该经过第二、三、四象限.故选项A正确.故选A.图12-23.已知函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)(m,n为常数).(1)当m,n时,为一次函数.(2)当m,n时,为正比例函数.(3)当m,n时,为反比例函数.=1=-1≠𝟑𝟓=1=-3=34.[2019·兰州]如图12-3,矩形OABC的顶点B在反比例函数y=𝑘𝑥(k0,x0)的图象上,S矩形OABC=6,则k=.6图12-3题组二易错题【失分点】判断反比例函数的增减性时,忽略自变量的取值范围;利用函数图象解决不等式问题时,易漏解.5.[2018·日照]已知反比例函数y=-8𝑥,下列结论:①图象必经过(-2,4);②图象在二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x-1时,则y8.其中错误的结论有()A.3个B.2个C.1个D.0个[答案]B[解析]将(-2,4)代入y=-8𝑥成立,①正确;k=-80,所以反比例函数的图象在二、四象限,②正确;双曲线在每一象限内y随x的增大而增大,③错误;当-1x0时,y8,④错误.所以错误的结论有2个,故选B.6.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=𝑘2𝑥(k1k2≠0)的图象如图12-4所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x0或x1B.-2x1C.x-2或x1D.x-2或0x1[答案]D[解析]观察函数图象可知,当x-2或0x1时,直线y1=k1x+b在双曲线y2=𝑘2𝑥的上方,即若y1y2,则x的取值范围是x-2或0x1.图12-4考向一反比例函数的图象与性质例1(1)[2018·衡阳]对于反比例函数y=-2𝑥,下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B.当x0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y2D例1(2)[2019·黔三州]若点A(-4,y1),B(-2,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=-1𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y1y3y2C|考向精练|1.定义新运算:ab=𝑎𝑏(𝑏0),-𝑎𝑏(𝑏0).例如:45=45,4(-5)=45.则函数y=2x(x≠0)的图象大致是()D图12-52.[2017·呼和浩特一模]设函数y=𝑘𝑥(k≠0,x0)的图象如图12-6所示.若z=1𝑦,则z关于x的函数图象可能为()图12-6图12-7[答案]D[解析]∵y=𝑘𝑥(k≠0,x0),∴z=1𝑦=1𝑘𝑥=𝑥𝑘(k≠0,x0).∵反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0,x0)的图象在第一象限,∴k0,∴1𝑘0.∴z关于x的函数图象为第一象限内且不包括原点的正比例函数图象.故选D.3.[2019·广州]若点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=6𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3y2y1B.y2y1y3C.y1y3y2D.y1y2y3C4.[2014·呼和浩特10题]已知函数y=1|𝑥|的图象在第一象限的一支上有一点A(a,c),点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2判断正确的是()A.x1+x21,x1·x20B.x1+x20,x1·x20C.0x1+x21,x1·x20D.x1+x2与x1·x2的符号都不确定C5.[2016·呼和浩特12题]已知函数y=-1𝑥,当自变量的取值为-1x0或x≥2时,函数值y的取值为.[答案]y1或-12≤y0[解析]当x=-1时,y=-1-1=1,当x=2时,y=-12.由图象得,当-1x0时,y1;当x≥2时,-12≤y0.故答案为y1或-12≤y0.考向二反比例函数比例系数k的几何意义例2如图12-8,A,B两点在双曲线y=4𝑥上,分别过A,B两点向两坐标轴作垂线段.已知S阴影=1,则S1+S2=()A.3B.4C.5D.6图12-8[答案]D[解析]∵点A,B是双曲线y=4𝑥上的点,∴根据反比例函数图象的性质得两个大矩形的面积都为|k|=4,∴S1+S2=4+4-1×2=6.故选D.|考向精练|1.[2019·赤峰]如图12-9,点P是反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象上任意一点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M.若△POM的面积等于2,则k的值等于()A.-4B.4C.-2D.2图12-9A2.[2018·宁波]如图12-10,平行于x轴的直线与函数y=𝑘1𝑥(k10,x0),y=𝑘2𝑥(k20,x0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为()A.8B.-8C.4D.-4图12-10[答案]A[解析]设点A的坐标为(xA,yA),点B的坐标为(xB,yB),点C的坐标为(xC,0).∵AB∥x轴,∴yA=yB.过点C作CD⊥AB交直线AB于点D.∵AB=xA-xB,CD=yD-yC=yA-yC,∴S△ABC=12AB·CD=12(xA-xB)(yA-yC)=12(xA-xB)yA=12(xAyA-xByB)=12(k1-k2),即4=12(k1-k2),∴k1-k2=8.3.如图12-11,在平面直角坐标系中,△ABE的顶点E在y轴上,原点O在AB边上,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象恰好经过顶点A和B,并与BE边交于点C,若BC∶CE=3∶1,△OBE的面积为352,则k的值为()A.-2B.-4C.-6D.-7图12-11[答案]D[解析]连接OC,作CK⊥x轴于K,BF⊥x轴于F.∵BC∶CE=3∶1,△OBE的面积为352,∴S△OBC=34×352=1058,设Cm,𝑘𝑚,则B4m,𝑘4𝑚,∵S△OBC=S四边形OCBF-S△OBF=S四边形OCBF-S△OKC=S梯形CKFB,∴1058=12-𝑘𝑚−𝑘4𝑚×3m,解得k=-7,故选D.4.如图12-12,在平面直角坐标系中,若点A,点B分别是反比例函数y=2𝑥,y=𝑘𝑥图象上一点,连接OB,点A是OB的中点,则k=.图12-128考向三反比例函数与一次函数结合图12-13例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=𝑚𝑥的图象的两个交点,点C是直线y=kx+b与y轴的交点.(1)m=,n=,并求出一次函数和反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;(3)求△AOB的面积;(4)观察图象,直接写出不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为.解:(1)∵B(2,-4)在y=𝑚𝑥的图象上,∴m=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8𝑥.∵点A(-4,n)在y=-8𝑥的图象上,∴n=2,∴A(-4,2).∵一次函数y=kx+b的图象经过A(-4,2),B(2,-4),∴-4𝑘+𝑏=2,2𝑘+𝑏=-4,解得𝑘=-1,𝑏=-2,∴一次函数的解析式为y=-x-2.图12-13例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=𝑚𝑥的图象的两个交点,点C是直线y=kx+b与y轴的交点.(2)观察图象,直接写出方程kx+b-𝑚𝑥=0的解为;[答案](2)x1=-4,x2=2[解析]∵A(-4,2),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=𝑚𝑥的图象的两个交点,∴方程kx+b-𝑚𝑥=0的解是x1=-4,x2=2图12-13例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=𝑚𝑥的图象的两个交点,点C是直线y=kx+b与y轴的交点.(3)求△AOB的面积;(3)∵在y=-x-2中,当x=0时,y=-2,∴C(0,-2),∴OC=2,∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2×2=6.图12-13例3如图12-13,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=𝑚𝑥的图象的两个交点,点C是直线y=kx+b与y轴的交点.(4)观察图象,直接写出不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为.-4x0或x2|考向精练|1.[2013·呼和浩特21题]如图12-14,平面直角坐标系中,直线y=12x+12与x轴交于点A,与双曲线y=𝑘𝑥在第一象限内交于点B,作BC⊥x轴于点C,OC=2AO,求双曲线的解析式.图12-14解:当y=0时,12x+12=0,解得x=-1,∴点A的坐标为(-1,0),∴OA=1.∵OC=2OA,∴OC=2,∴点B的横坐标为2,代入y=12x+12,得y=32,∴B2,32.∵点B在双曲线y=𝑘𝑥上,∴k=xy=2×32=3,∴双曲线的解析式为y=3𝑥.2.[2018·呼和浩特22题]已知变量x,y对应关系如下表已知数值呈现的对应规律.x…-4-3-2-11234…y…122312-2-1-23