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第11课时一次函数的实际应用考点一次函数的应用考点聚焦1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定变量的取值范围.题组一必会题对点演练1.甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图11-1所示,那么乙的速度是km/h.图11-1[答案]3.6[解析]由题意知,甲的速度为6km/h.由图象知,当甲开始运动时距B地36km,2小时后,乙开始运动,经过2.5小时两人相遇,设乙的速度为xkm/h,则2.5×(6+x)=36-12,解得x=3.6.2.[八下P98练习改编]考虑下面两种移动电话计费方式:用函数方法解答当一个月通话分钟时两种计费方式费用相等.[答案]300[解析]设一个月通话时间为x分钟,按方式一要收费(30+0.3x)元,按方式二要收费0.4x元.如果两种计费方式费用相等,则0.4x=30+0.3x,解得x=300.所以当一个月通话300分钟时两种计费方式费用相等.方式一方式二月租费(元/月)300本地通话费(元/min)0.300.403.[八下P109复习题19第13题改编]一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4min内只进水不出水,在随后的8min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图11-2所示.(1)当0≤x≤4时,y关于x的函数解析式是;(2)当4x≤12时,y关于x的函数解析式是;(3)每分钟进水L,出水L.图11-2y=5xy=𝟓𝟒x+155𝟏𝟓𝟒题组二易错题【失分点】在实际问题中自变量的取值往往有限制.4.若等腰三角形的周长是20cm,则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系的图象是()图11-3[答案]B[解析]根据题意得2y+x=20.∴y=10-12x,由y+yx,即20-xx,得x10,又x0,∴0x10,∴y关于x的函数关系式为y=10-12x(0x10).故选B.5.超市有A,B两种型号的瓶子,其容量和价格如下表,小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满,且不剩油).当日促销活动:购买A型瓶3个或以上,一次性返还现金5元,设购买A型瓶x(个),所需总费用为y(元),则下列说法不一定成立的是()型号AB单个瓶子容量(升)23单价(元)56A.购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值B.购买A型瓶最多为6个C.y与x之间的函数关系式为y=x+30D.小张一次性买瓶子的最少费用是28元[答案]C[解析]∵买瓶子用来分装15升油,瓶子都装满,且不剩油,∴购买B型瓶的个数是15-2𝑥3=5-23x.∵瓶子的个数为自然数,∴当x=0时,5-23x=5;当x=3时,5-23x=3;当x=6时,5-23x=1.∴购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值,故A成立;由上可知,购买A型瓶的个数为0个或3个或6个,∴购买A型瓶的个数最多为6个,故B成立;①当0≤x3时,y=5x+6×5-23x=x+30.∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=0时,y有最小值,最小值为30元;②当x≥3时,y=5x+6×5-23x-5=25+x.∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=3时,y有最小值,最小值为28元.综合①②可得,购买瓶子所需要的最少费用为28元.故C不成立,D成立.考向一次函数的实际应用例[八下P97问题3改编]1号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50min.设气球上升时间为xmin(0≤x≤50).(1)根据题意,填写下表:上升时间1030…x1号探测气球所在位置的海拔/m15…2号探测气球所在位置的海拔/m30…(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?如果不能,请说明理由.(3)当30≤x≤50时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?解:(1)上升时间1030…x1号探测气球所在位置的海拔/m1535…x+52号探测气球所在位置的海拔/m2030…0.5x+15例[八下P97问题3改编]1号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50min.设气球上升时间为xmin(0≤x≤50).(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?如果不能,请说明理由.(2)两个气球能位于同一高度.令x+5=0.5x+15,解得x=20,∴x+5=25.∴当两个气球位于同一高度时,气球上升了20min,都位于海拔25m的高度.例[八下P97问题3改编]1号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50min.设气球上升时间为xmin(0≤x≤50).(3)当30≤x≤50时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?(3)当30≤x≤50时,由两函数图象可知,1号探测气球所在位置始终高于2号探测气球,设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym,则y=(x+5)-(0.5x+15)=0.5x-10.∵0.50,∴y随x的增大而增大,∴当x=50时,y取得最大值15,∴两个气球所在位置的海拔最多相差15m.|考向精练|1.[2015·呼和浩特21题]某玉米种子的价格为a元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子价格打8折,某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析,并绘制出了函数图象,以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料,已知点A的坐标为(2,10),请你结合表格和图象回答问题:付款金额a7.51012b购买量(千克)11.522.53图11-4(1)指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x,并写出表中a,b的值;(2)求出当x2时,y关于x的函数解析式;(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子,乙农户购买了4165克该玉米种子,分别计算他们的购买量和付款金额.解:(1)根据函数图象可得:购买量是函数的自变量x,a=5,b=14.1.[2015·呼和浩特21题]某玉米种子的价格为a元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子价格打8折,某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析,并绘制出了函数图象,以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料,已知点A的坐标为(2,10),请你结合表格和图象回答问题:(2)求出当x2时,y关于x的函数解析式;付款金额a7.51012b购买量(千克)11.522.53图11-4(2)当x2时,设y与x的函数关系式为y=kx+n,∵直线y=kx+n经过点(2.5,12),且x=3时,y=14,∴2.5𝑘+𝑛=12,3𝑘+𝑛=14,解得:𝑘=4,𝑛=2,∴当x2时,y与x的函数关系式为y=4x+2.1.[2015·呼和浩特21题]某玉米种子的价格为a元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子价格打8折,某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析,并绘制出了函数图象,以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料,已知点A的坐标为(2,10),请你结合表格和图象回答问题:(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子,乙农户购买了4165克该玉米种子,分别计算他们的购买量和付款金额.付款金额a7.51012b购买量(千克)11.522.53图11-4(3)当y=8.8时,x=8.85=1.76,当x=4.165时,y=4×4.165+2=18.66,∴甲农户的购买量为1.76千克,乙农户的付款金额为18.66元.2.[2018·盐城]学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分)之间的函数关系如图11-5所示.(1)根据图象信息,当t=分钟时甲、乙两人相遇,甲的速度为米/分;(2)求出线段AB所表示的函数表达式.图11-524402.[2018·盐城]学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分)之间的函数关系如图11-5所示.(2)求出线段AB所表示的函数表达式.图11-5(2)∵甲、乙两人的速度和为240024=100(米/分),甲的速度为40米/分,∴乙的速度为60米/分.乙从图书馆回学校所用的时间为240060=40(分).乙到达学校时,两人之间的距离y=40×40=1600(米),∴点A的坐标为(40,1600).设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b(40≤x≤60).又∵点B的坐标为(60,2400),∴1600=40𝑘+𝑏,2400=60𝑘+𝑏,解得𝑘=40,𝑏=0.∴线段AB所表示的函数表达式为y=40x(40≤x≤60).3.[2018·湖州]“绿水青山就是金山银山”,为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,已知汽车每吨每千米的运费为2元.路程(千米)甲仓库乙仓库A果园1525B果园2020(1)根据题意,填写下表.(2)设总运费为y元,求y关于x的函数表达式,并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省?最省的总运费是多少元?运量(吨)运费(元)甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110-x2×15x2×25(110-x)B果园解:(1)运量(吨)运费(元)甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110-x2×15x2×25(110-x)B果园80-xx-102×20(80-x)2×20(x-10)3.[2018·湖州]“绿水青山就是金山银山”,为了保护环境和提高果树产量,某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A,B两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥;A,B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A,B两个果园的路程如下表所示:设甲仓库运往A果园x吨有机化肥,已知汽车每吨每千米的运费为2元.(2)设总运费为y元,求y关于x的函数表达式,并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时,总运费最省?最省的总运费是多少元?路程(千米)甲仓库乙仓库A果园1525B果园2020(2)y=2×15x+2×25(110-x)+2×20(80-x)+2×20(x-10),即y=-20x+8300.由题知𝑥≥0,110-𝑥≥0,80-𝑥≥0,𝑥-10≥0,解得10≤x≤80.在一次函数y=-20x+8300中,∵-200,10≤x≤80,∴当x=80时,y最小=6700.即当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时,总运费最省,是6700元.4.[2019·天津]甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店