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单元思维导图第9课时平面直角坐标系与函数考点一平面直角坐标系内点的坐标特征考点聚焦1.各象限内点的坐标的符号特征(如图9-1):图9-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的特征:(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0xx=y=0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横横纵y=-x5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.图9-2(x,-y)(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮.(x,y+b)(或(x,y-b))考点二点到坐标轴的距离1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=⑱.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=⑲;PQ∥y轴⇔PQ=⑳.|y|𝒙𝟐+𝒚𝟐|x1-x2||y1-y2|(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐+(𝒚𝟏-𝒚𝟐)𝟐考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.考点四函数基础知识1.函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.2.函数的三种表示方法:㉑法、㉒法和㉓法.3.描点法画函数图象的一般步骤:㉔→㉕→㉖.解析式列表图象列表描点连线4.自变量的取值范围函数表达式的形式自变量的取值范围举例分式型使分母的实数若y=1x,则x≠0二次根式型使被开方数的实数若y=x,则x≥0分式与二次根式结合型使分母不为0且使被开方数大于或等于0的实数若y=xx-1,则x≥0且x≠1不等于0大于或等于0【温馨提示】实际问题中自变量的取值还要符合变量的实际意义.题组一必会题对点演练1.[七下P79习题7.2第4题]如图9-3,将三角形向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则平移后三个顶点的坐标是()A.(2,2),(3,4),(1,7)B.(-2,2),(4,3),(1,7)C.(-2,2),(3,4),(1,7)D.(2,-2),(3,3),(1,7)图9-3[答案]C[解析]由题意可知此题平移规律是(x+2,y+3),照此规律计算可知原三个顶点(-1,4),(-4,-1),(1,1)平移后的对应点的坐标是(1,7),(-2,2),(3,4).2.[2019·滨州]已知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()C图9-43.[七下P71习题7.1第10题改编]在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点,写出它们在第几象限或哪条坐标轴上.(1)点P(x,y)的坐标满足xy0,点P在第象限;(2)点P(x,y)的坐标满足xy0,点P在第象限;(3)点P(x,y)的坐标满足xy=0,点P在轴上.一或三二或四x或y4.[2019·临沂]在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是.[答案](-2,2)[解析]∵点P的坐标为(4,2),∴点P到直线x=1的距离为4-1=3,∴点P关于直线x=1的对称点P‘到直线x=1的距离为3,∴点P’的横坐标为1-3=-2,∴点P‘的坐标为(-2,2).故答案为:(-2,2).5.[八下P83习题19.1第9题改编]已知张强家、体育场、文具店在同一直线上.图9-5中的图象反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示张强离家的距离.根据图象回答下列问题:(1)体育场离张强家km,张强从家到体育场用了min;(2)体育场离文具店km;(3)张强在文具店停留了min;(4)张强从文具店回家的平均速度是km/min.2.515图9-5120𝟑𝟕𝟎题组二易错题【失分点】对函数中的二次根式的非负性和分母不等于0混淆;忽略坐标系中点的坐标的符号.6.[2018·娄底]函数y=𝑥-2𝑥-3中自变量x的取值范围是()A.x2B.x≥2C.x≥2且x≠3D.x≠3[答案]C[解析]根据题意得:𝑥-2≥0,𝑥-3≠0,解得x≥2且x≠3.故选C.7.在平面直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2.写出符合条件的点P的坐标.[答案](2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1)[解析]∵点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2,∴点P纵坐标绝对值为1,横坐标绝对值为2,则点P的坐标为(2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1).考向一平面直角坐标系中点的坐标特征例1已知点A(2m+1,3n-5).(1)若点A在第一象限,则m,n.(2)若点A在第四象限,则m,n.(3)若点A在x轴上,则n=.(4)若点A在y轴上,则m=.(5)若点A到x轴的距离为3,到y轴的距离为5,则m=,n=.(6)若点A在二、四象限的角平分线上,则4m+6n=.[答案](1)-1253[解析](1)∵第一象限为(+,+),∴2𝑚+10,3𝑛-50,解得𝑚-12,𝑛53.(7)若点A关于x轴的对称点为(2,-7),则m=,n=.(8)若点A关于原点的对称点为(-1,6),则m=,n=.(9)若直线AB∥x轴,点B(2,4),则m,n.(10)若点A向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到点(3,5),则m=,n=.例1已知点A(2m+1,3n-5).(2)若点A在第四象限,则m,n.[答案](2)-1253[解析](2)∵第四象限为(+,-),∴2𝑚+10,3𝑛-50,解得𝑚-12,𝑛53.例1已知点A(2m+1,3n-5).(3)若点A在x轴上,则n=.[答案](3)53[解析](3)∵x轴上的点的纵坐标为0,∴3n-5=0,∴n=53.例1已知点A(2m+1,3n-5).(4)若点A在y轴上,则m=.[答案](4)-12[解析](4)∵y轴上的点的横坐标为0,∴2m+1=0,∴m=-12.例1已知点A(2m+1,3n-5).(5)若点A到x轴的距离为3,到y轴的距离为5,则m=,n=.[答案](5)2或-383或23[解析](5)∵点到x轴的距离为纵坐标的绝对值,到y轴的距离为横坐标的绝对值,∴|2m+1|=5,∴2m+1=5或2m+1=-5,∴2m=4或2m=-6,∴m=2或m=-3.又|3n-5|=3,∴3n-5=3或3n-5=-3,∴3n=8或3n=2,∴n=83或n=23.例1已知点A(2m+1,3n-5).(6)若点A在二、四象限的角平分线上,则4m+6n=.[答案](6)8[解析](6)∵二、四象限角平分线上的点的横坐标+纵坐标=0,∴2m+1+3n-5=0,∴2m+3n=4,∴4m+6n=8.例1已知点A(2m+1,3n-5).(7)若点A关于x轴的对称点为(2,-7),则m=,n=.[答案](7)124[解析](7)∵关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标互为相反数,∴2𝑚+1=2,3𝑛-5+(-7)=0,解得𝑚=12,𝑛=4.例1已知点A(2m+1,3n-5).(8)若点A关于原点的对称点为(-1,6),则m=,n=.[答案](8)0-13[解析](8)∵关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数,∴2𝑚+1+(-1)=0,3𝑛-5+6=0,解得𝑚=0,𝑛=-13.例1已知点A(2m+1,3n-5).(9)若直线AB∥x轴,点B(2,4),则m,n.[答案](9)≠12=3[解析](9)∵AB∥x轴,∴2𝑚+1≠2,3𝑛-5=4,解得𝑚≠12,𝑛=3.例1已知点A(2m+1,3n-5).(10)若点A向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到点(3,5),则m=,n=.[答案](10)1283[解析](10)根据点的平移可得A(2,3),∴2𝑚+1=2,3𝑛-5=3,解得𝑚=12,𝑛=83.|考向精练|1.[2017·呼和浩特一模]在平面直角坐标系中,点P(--93,2)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]A[解析]∵--930,∴点P(--93,2)在第一象限.故选A.2.[2019·孝感]如图9-6,在平面直角坐标系中,将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P',则P'的坐标为()A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)图9-6D3.[2016·呼和浩特15题]已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为.(-a-2,-b)或(-a+2,-b)4.[2019·实验教育集团期中]如图9-7,已知在平面直角坐标系中,△ABO的面积为8,OA=OB,BC=12,点P的坐标是(a,6).(1)求△ABC三个顶点A,B,C的坐标.(2)若点P坐标为(1,6),连接PA,PB,则△PAB的面积为.(3)是否存在点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?如果存在,请求出点P的坐标.图9-7解:(1)∵S△ABO=12OA·OB,OA=OB,∴12OA2=8,解得OA=4,∴OB=OA=4,∴OC=BC-OB=12-4=8,∴A(0,4),B(-4,0),C(8,0).4.[2019·实验教育集团期中]如图9-7,已知在平面直角坐标系中,△ABO的面积为8,OA=OB,BC=12,点P的坐标是(a,6).(2)若点P坐标为(1,6),连接PA,PB,则△PAB的面积为.图9-7[答案]2[解析]作PH⊥x轴于H,如图①,S△PAB=S△PBH-S△AOB-S梯形AOHP=12×(4+1)×6-8-12×(4+6)×1=15-8-5=2.4.[2019·实验教育集团期中]如图9-7,已知在平面直角坐标系中,△ABO的面积为8,OA=OB,BC=12,点P的坐标是(a,6).(3)是否存在点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?如果存在,请求出点P的坐标.图9-7(3)由题意得S△ABC=12×4×12=24.当点P在第一象限,即a0时,作PM⊥x轴于M,如图②,S△PAB=S△AOB+S梯形AOMP-S△PBM=8+12(4+6)·a-12×6(a+4)=2a-4,则2a-4=24,解得a=14.此时点P坐标为(14,6);当点P在第二象限,即a0时,作PN⊥y轴于N,如图③,S△PAB=S梯形ONPB-S△PAN-S△OAB=12(4-a)×6-12(6-4)·(-a)-8=4-2a,则4-2a=24,解得a=-10.此时点P坐标为(-10,6).综上所述,点P的坐标为(-10,6)或(14,6).考向二函数图象的分析与判断例2[2017·泸州]下列曲线中不能表示y是x的函数的是()图9-8[答案]C[解析]若y是x的函数,那么x取一个值时,y有唯一的一个值与x对应,C选项的图象中,在x轴上取一点(图象与x轴交点除外),即确定一个x的值,都有两个y的值与之对应,故此图象不是y关于x的函数图象.故选C|考向精练|1.[2015·呼和浩特5题]如果两个变量x,y之间的函数关系如图9-9所示,则函数值y的取值范围是()A.-3≤y≤3B.0≤y≤2C.1≤y≤3D.0≤y≤3图9-9[答案]D[